math-10: число образующих декартовых степеней конечных групп
А знаете ли вы, что A519 порождается двумя элементами, а A520 -- уже тремя (двух недостаточно)?
По-другому это явление можно выразить так: свободная группа ранга 2 F(2) имеет в качестве своего эпиморфного образа 19-ю декартову степень группы A5, но не 20-ю. Или (если извратиться) так: A519 -- это свободная группа ранга 2 в формации, порождённой A5.
Это, вообще говоря, довольно удивительный феномен, если подумать. Ведь свободная группа F(2) содержит в себе в качестве подгрупп все другие свободные группы конечного и даже счётного ранга. А вот "в смысле факторгрупп" сложность (или богатство) группы F(2) оказывается ограниченным.
Точная формула, выражающая максимальную степень n=h(G,m), такую что Gn порождается в точности m элементами, для совершенных групп G задаётся с помощью так называемой функции Эйлера группы:
Ф(G,s) = |G|s - Сумма_H Ф(H,s)
Здесь Ф(1,s)=1 и суммирование распространяется на все собственные подгруппы H группы G. Тогда h(m,G) будет задаваться формулой:
h(G,m) = Ф(G,m) / |Aut(G)|.
Её получил в 1936 году Филипп Холл. Вообще-то эта функция h(m,G) даёт число эпиморфизмов из свободной группы ранга F(m) на G. Но в случае, когда G не содержит абелевых факторов, это число равно максимальной декартовой степени, получающейся как эпиморфный образ F(m).
Вот несколько первых значений функции h(G,m) для неабелевых простых групп малого порядка (вычисленные в системе GAP):
A5 : 0, 19, 1668, 106549, 6464040, 388621849
PSL(3,2) : 0, 57, 13368, 2352735, 397870800, 66903926487
A6 : 0, 53, 30132, 11538875, 4191989400, 1511246667623
PSL(2,8) : 0, 142, 83472, 42613410, 21504717600, 10839869166242
PSL(2,11) : 0, 254, 212784, 143449598, 94856151360, 62615599617494
PSL(2,13) : 0, 495, 592980, 650845125, 710966649000, 776394389547225
PSL(2,17) : 0, 1132, 2986368, 7333794160, 17956079155200, 43956878235186112
A7 : 0, 916, 3076140, 7972539694, 20154485906520, 50809580871541666Таким образом, для порождения A5106549 достаточно 4-х её элементов и т.д. (Нули в первой позиции означают, что группа одним элементом не порождается, т.е. не является циклической.)
Эта функция исследовалась в цикле работ Wiegold'а о "growth sequences" в конце 70-х годов. Он доказал, что число образующих группы Gn (т.е. функция, обратная к h(G,m)) растёт как логарифм от n.
И всё-таки удивительно, что существует некоторая максимальная степень произвольной конечной группы, которая может быть получена из свободной данного ранга...
По-другому это явление можно выразить так: свободная группа ранга 2 F(2) имеет в качестве своего эпиморфного образа 19-ю декартову степень группы A5, но не 20-ю. Или (если извратиться) так: A519 -- это свободная группа ранга 2 в формации, порождённой A5.
Это, вообще говоря, довольно удивительный феномен, если подумать. Ведь свободная группа F(2) содержит в себе в качестве подгрупп все другие свободные группы конечного и даже счётного ранга. А вот "в смысле факторгрупп" сложность (или богатство) группы F(2) оказывается ограниченным.
Точная формула, выражающая максимальную степень n=h(G,m), такую что Gn порождается в точности m элементами, для совершенных групп G задаётся с помощью так называемой функции Эйлера группы:
Ф(G,s) = |G|s - Сумма_H Ф(H,s)
Здесь Ф(1,s)=1 и суммирование распространяется на все собственные подгруппы H группы G. Тогда h(m,G) будет задаваться формулой:
h(G,m) = Ф(G,m) / |Aut(G)|.
Её получил в 1936 году Филипп Холл. Вообще-то эта функция h(m,G) даёт число эпиморфизмов из свободной группы ранга F(m) на G. Но в случае, когда G не содержит абелевых факторов, это число равно максимальной декартовой степени, получающейся как эпиморфный образ F(m).
Вот несколько первых значений функции h(G,m) для неабелевых простых групп малого порядка (вычисленные в системе GAP):
A5 : 0, 19, 1668, 106549, 6464040, 388621849
PSL(3,2) : 0, 57, 13368, 2352735, 397870800, 66903926487
A6 : 0, 53, 30132, 11538875, 4191989400, 1511246667623
PSL(2,8) : 0, 142, 83472, 42613410, 21504717600, 10839869166242
PSL(2,11) : 0, 254, 212784, 143449598, 94856151360, 62615599617494
PSL(2,13) : 0, 495, 592980, 650845125, 710966649000, 776394389547225
PSL(2,17) : 0, 1132, 2986368, 7333794160, 17956079155200, 43956878235186112
A7 : 0, 916, 3076140, 7972539694, 20154485906520, 50809580871541666Таким образом, для порождения A5106549 достаточно 4-х её элементов и т.д. (Нули в первой позиции означают, что группа одним элементом не порождается, т.е. не является циклической.)
Эта функция исследовалась в цикле работ Wiegold'а о "growth sequences" в конце 70-х годов. Он доказал, что число образующих группы Gn (т.е. функция, обратная к h(G,m)) растёт как логарифм от n.
И всё-таки удивительно, что существует некоторая максимальная степень произвольной конечной группы, которая может быть получена из свободной данного ранга...