math-9: решение уравнений в аналитических функциях
Хорошо известно, что общее уравнение 5-й степени неразрешимо в радикалах. Но гораздо менее известен тот факт, что корни уравнений 5-й степени невозможно выразить и с помощью произвольной суперпозиции любых однозначных аналитических функций, а также некоторых многозначных, вроде Ln(z). Ситуация здесь точно такая же, как и в случае выражения корней в радикалах -- некоторая группа оказывается неразрешимой. Если в случае радикалов -- это группа Галуа уравнения, то есть, группа автоморфизмов нормального расширения полей, то для произвольных аналитических функций -- это группа монодромии римановой поверхности аналитической функции.
Например, уравнение w5 - 25w3 + 60w - z = 0 задаёт некоторую многозначную аналитическую функцию w(z). Группа монодромии римановой поверхности для w(z) -- неразрешимая симметрическая группа S5 порядка 120. А у суперпозиции аналитических функций с разрешимыми группами монодромии -- группа монодромии тоже будет разрешимой. Функции извлечения корня n-й степени именно такие -- они имеют абелеву группу монодромии. Однозначные аналитические функции вообще имеют тривиальную группу монодромии. А Ln(z) -- циклическую бесконечного порядка (тоже абелеву).
Поэтому выражение корней уравнения 5-й степени через его коэффициенты имеет фундаментальное топологически-алгебраическое препятствие -- "неразрешимую" нетривиальность накрытия римановой поверхностью комплексной плоскости.
Проичитать об этом можно в замечательной книжке
Алексеев В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М.: Наука, 1976.
написанной по лекциям Арнольда для школьников.
Например, уравнение w5 - 25w3 + 60w - z = 0 задаёт некоторую многозначную аналитическую функцию w(z). Группа монодромии римановой поверхности для w(z) -- неразрешимая симметрическая группа S5 порядка 120. А у суперпозиции аналитических функций с разрешимыми группами монодромии -- группа монодромии тоже будет разрешимой. Функции извлечения корня n-й степени именно такие -- они имеют абелеву группу монодромии. Однозначные аналитические функции вообще имеют тривиальную группу монодромии. А Ln(z) -- циклическую бесконечного порядка (тоже абелеву).
Поэтому выражение корней уравнения 5-й степени через его коэффициенты имеет фундаментальное топологически-алгебраическое препятствие -- "неразрешимую" нетривиальность накрытия римановой поверхностью комплексной плоскости.
Проичитать об этом можно в замечательной книжке
Алексеев В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М.: Наука, 1976.
написанной по лекциям Арнольда для школьников.