Відповідь на задачку
Щодо задачі: на жаль, повної відповіді ніхто не дав. Втім, були приведені міркування, які з незначними доповненнями можна зарахувати як відповідь. З них і почну (тільки викладу їх дещо формальніше).
Нехай в точці взаємодії апарату з потоком швидкість маємо швидкість потоку −Vп, швидкість апарату Vа (вісь напрямлена вгору, тобто для предмета, що рухається вгору, швидкість додатня). За час dt апарат провзаємодіє з масою води Q·dt=ρ·S·Vпdt (де Q масова витрата води у потоці, ρ густина води, S площа перетину потоку) і змінить швидкість цієї води на деяку величину ΔV (для простоти вважатимемо цю різницю однаковою для всієї маси води). Імпульс, переданий воді, рівний ρ·S·VпΔVdt, а, відповідно, імпульс, переданий апарату водою, рівний −ρ·S·VпΔVdt. Похідна від імпульсу по часу сила, що діє на апарат рівна Fа = −ρ·S·VпΔV. Очевидно, для того, щоб апарат міг хоча б утримуватись на одному рівні, ця величина має бути більшою за силу тяжіння, що діє на апарат, а, отже, бути додатною. Іншими словами, −ΔV > 0 або ΔV < 0. Енергія, яку набуває при цьому вода, рівна ((−Vп+ΔV)2 − (−Vп)2)ρ·S·Vпdt, апарат же набуває енергії Fаdh = FаVаdt. Очевидно, що перша величина є додатньою у випадку ΔV < 0 і Vп > 0, друга величина теж є додатньою у випадку Vа > 0. Отже, при рухові вгору по струменю, напрямленому вниз, «спиратись» на цей струмінь апарат може лише з витратою енергії, тобто нагору він неминуче прибуде з меншим запасом енергії, ніж був внизу.
Таке міркування цілком можна зарахувати за розв'язок, якщо додати до задачі одну умову, яка неявно використана в цьому рішенні, і яка, проте, зовсім не є невід'ємною складовою задачі. А саме: [Spoiler (click to open)]апарат взаємодіє зі струменем в одній точці.
Якщо ж відмовитись від такої додаткової умови, задача отримує зовсім інший розв'язок. [Ось він]Нехай наш апарат взаємодіє з потоком в двох точках. Перевіримо, чи здатен апарат без витрати енергії отримати позитивний баланс імпульсу, або, що те ж саме, силу, напрямлену догори.
Нехай наш апарат отримує в одній точці від потоку стільки ж енергії, скільки передає в другій. Порівняємо два стаціонарні стани: потік без апарату та потік з апаратом. (Зрозуміло, що стаціонарний стан можливий лише у випадку, коли апарат нерухомий, або, принаймні, його швидкість нехтовна у порівнянні зі швидкістю потоку. Для нашої мети цього цілком достатньо). У потоці без апарату вода масою dm, проходячи від однієї точки до другої, отримує додаткову енергію g·h·dm, де h різниця висот між точками. У випадку наявності апарату струмінь отримає в першій точці деяку додаткову енергію dEвз, після переміщення до другої точки додаткова енергія буде dEвз + g·h·dm, а після відбору енергії в другій точці g·h·dm. (Тут використано той факт, що dm/dt = Q в стаціонарному стані є сталим протягом усієї довжини струменю). Отже, у стаціонарному випадку, коли енергетичний баланс апарату є зрівноваженим (рівним нулю), струмінь виходить з тією ж швидкістю, з якою він пройшов би цю точку за відсутності апарату. Таким чином, вся різниця між нашими двома випадками зосереждена між цими двома точками (для простоти вважаємо, що весь наш апарат також розміщений між цими точками).
Тепер подивимось на баланс імпульсів. Розглянемо імпульс, зосереджений в ділянці між двома точками, в наших двох випадках. В стаціонарному стані похідна по часу від цього імпульсу рівна нулю. Для випадку потоку без апарату ця похідна має три доданки: dPділ = −V1dm − g·mводи + V2dm, де перший доданок (від'ємний) імпульс, що надходить у наш об'єм разом з потоком води, другий доданок імпульс, що додає воді, котра перебуває в межах ділянки, сила тяжіння, третій імпульс, що витікає з об'єму разом з потоком.
У випадку наявності апарату маємо, аналогічно, чотири доданки: dPділ = −V1dm − g·mводи − g·mапарату + V2dm. Перший та останній доданки, очевидно, в обох випадках співпадають. Масу ж води запишемо у вигляді mводи = Q·Δt, де Q секундна масова витрата нашого потоку, Δt час, за який вода доходить з початкової точки у кінцеву. Очевидно, що, надаючи достатньо велике ΔV воді в початковій точці, можна скоротити цей час до як завгодно малої величини. Отже, доданок маси води у випадку наявності апарату можна звести до майже нуля.
Таким чином, додатній баланс по імпульсу при нульовому балансі по енергії можна досягти у тому і тільки у тому випадку, якщо стовп води між початковою і кінцевою точкою взаємодії струменя з апаратом мав масу (до розміщення там апарату), не меншу за масу нашого апарату..
Всі коментарі до допису з задачею відкриті.
Нехай в точці взаємодії апарату з потоком швидкість маємо швидкість потоку −Vп, швидкість апарату Vа (вісь напрямлена вгору, тобто для предмета, що рухається вгору, швидкість додатня). За час dt апарат провзаємодіє з масою води Q·dt=ρ·S·Vпdt (де Q масова витрата води у потоці, ρ густина води, S площа перетину потоку) і змінить швидкість цієї води на деяку величину ΔV (для простоти вважатимемо цю різницю однаковою для всієї маси води). Імпульс, переданий воді, рівний ρ·S·VпΔVdt, а, відповідно, імпульс, переданий апарату водою, рівний −ρ·S·VпΔVdt. Похідна від імпульсу по часу сила, що діє на апарат рівна Fа = −ρ·S·VпΔV. Очевидно, для того, щоб апарат міг хоча б утримуватись на одному рівні, ця величина має бути більшою за силу тяжіння, що діє на апарат, а, отже, бути додатною. Іншими словами, −ΔV > 0 або ΔV < 0. Енергія, яку набуває при цьому вода, рівна ((−Vп+ΔV)2 − (−Vп)2)ρ·S·Vпdt, апарат же набуває енергії Fаdh = FаVаdt. Очевидно, що перша величина є додатньою у випадку ΔV < 0 і Vп > 0, друга величина теж є додатньою у випадку Vа > 0. Отже, при рухові вгору по струменю, напрямленому вниз, «спиратись» на цей струмінь апарат може лише з витратою енергії, тобто нагору він неминуче прибуде з меншим запасом енергії, ніж був внизу.
Таке міркування цілком можна зарахувати за розв'язок, якщо додати до задачі одну умову, яка неявно використана в цьому рішенні, і яка, проте, зовсім не є невід'ємною складовою задачі. А саме: [Spoiler (click to open)]апарат взаємодіє зі струменем в одній точці.
Якщо ж відмовитись від такої додаткової умови, задача отримує зовсім інший розв'язок. [Ось він]Нехай наш апарат взаємодіє з потоком в двох точках. Перевіримо, чи здатен апарат без витрати енергії отримати позитивний баланс імпульсу, або, що те ж саме, силу, напрямлену догори.
Нехай наш апарат отримує в одній точці від потоку стільки ж енергії, скільки передає в другій. Порівняємо два стаціонарні стани: потік без апарату та потік з апаратом. (Зрозуміло, що стаціонарний стан можливий лише у випадку, коли апарат нерухомий, або, принаймні, його швидкість нехтовна у порівнянні зі швидкістю потоку. Для нашої мети цього цілком достатньо). У потоці без апарату вода масою dm, проходячи від однієї точки до другої, отримує додаткову енергію g·h·dm, де h різниця висот між точками. У випадку наявності апарату струмінь отримає в першій точці деяку додаткову енергію dEвз, після переміщення до другої точки додаткова енергія буде dEвз + g·h·dm, а після відбору енергії в другій точці g·h·dm. (Тут використано той факт, що dm/dt = Q в стаціонарному стані є сталим протягом усієї довжини струменю). Отже, у стаціонарному випадку, коли енергетичний баланс апарату є зрівноваженим (рівним нулю), струмінь виходить з тією ж швидкістю, з якою він пройшов би цю точку за відсутності апарату. Таким чином, вся різниця між нашими двома випадками зосереждена між цими двома точками (для простоти вважаємо, що весь наш апарат також розміщений між цими точками).
Тепер подивимось на баланс імпульсів. Розглянемо імпульс, зосереджений в ділянці між двома точками, в наших двох випадках. В стаціонарному стані похідна по часу від цього імпульсу рівна нулю. Для випадку потоку без апарату ця похідна має три доданки: dPділ = −V1dm − g·mводи + V2dm, де перший доданок (від'ємний) імпульс, що надходить у наш об'єм разом з потоком води, другий доданок імпульс, що додає воді, котра перебуває в межах ділянки, сила тяжіння, третій імпульс, що витікає з об'єму разом з потоком.
У випадку наявності апарату маємо, аналогічно, чотири доданки: dPділ = −V1dm − g·mводи − g·mапарату + V2dm. Перший та останній доданки, очевидно, в обох випадках співпадають. Масу ж води запишемо у вигляді mводи = Q·Δt, де Q секундна масова витрата нашого потоку, Δt час, за який вода доходить з початкової точки у кінцеву. Очевидно, що, надаючи достатньо велике ΔV воді в початковій точці, можна скоротити цей час до як завгодно малої величини. Отже, доданок маси води у випадку наявності апарату можна звести до майже нуля.
Таким чином, додатній баланс по імпульсу при нульовому балансі по енергії можна досягти у тому і тільки у тому випадку, якщо стовп води між початковою і кінцевою точкою взаємодії струменя з апаратом мав масу (до розміщення там апарату), не меншу за масу нашого апарату..
Всі коментарі до допису з задачею відкриті.