Homo metiens
Недавно в интернете отбушевали дурацкие страсти об умножении два на девять ( например). Часть разговоров по этому поводу была интересной (в большой концентрации тут) - когда речь заходила о размерностях и их смысле. Интересной тем, что многие из говорящих разумно, кажется, не вполне понимают, что же это такое - размерности. А может, понимают, но иначе, чем надо я. Вообще-то это не новость. Но я попробую тут длинно описать своё понимание.
/pathos on Мы, люди, только и делаем, что мерим. Всё наше восприятие окружающего мира происходит через измерения, и влияние на него тоже. Протиснусь ли я через вон ту дверь, боюсь ли я кошку или пуму, ну когда уже наконец вскипит каша, ой этот стул тебя не выдержит. Нильс Бор даже сказал "ничто не существует, пока оно не измерено". Поэтому мысли о том, что же мы, собственно, делаем, когда мерим, способны изменить для человека картину мира. У большинства людей эти мысли полубессознательны, сумбурны и не сведены в стройную систему. А у которых сведены, сведены по-разному. Так что понятно, почему люди спорят. Это вам не тупой и острый конец яйца, не просто какие-то числа, помеченные буквочками, а самая основа нашего мировоззрения. Вернее, наших мировоззрений. /pathos off
Один тряпичный удав когда-то прославился, протянув голосом, похожим на голос нелюбимого мной Василия Ливанова, "а в попугаях-то я гораздо длиннее". Многим разумным людям, в отличие от тряпичных удавов, эта часть известна. Обычно они хорошо понимают, что 38 попугаев и 5 мартышек - это совершенно то же самое, если речь идёт о длине. Сообщу по секрету, что мы, разумные, вовсю пользуемся этим фактом, когда общаемся с начальниками или с клиентами. Ведь в этих двух близких категориях так часто встречаются ещё-не-прозревшие тряпичные удавы. Жестокие бюрократы, защищая их от нас, придумывают свои так называемые стандарты, запрещая мерить удавов иначе, чем попугаями, причём не любыми, а казёнными. Например, здоровое многообразие эпитетов - метрическая тонна, длинная (она же имперская) тонна, короткая тонна - постепенно вырождается в унылый консенсус. Но тонна тонной, а более тонкие штуки мы до сих пор мерим самыми разными единицами. Побороть бюрократов мы не в силах, поэтому успешно помогаем им, предлагая всё новые замечательные стандарты. От этого бюрократы безнадёжно сцепляются между собой рогами, а мы тем временем пользуемся теми единицами, которые нам удобны в данный момент. Посмотрите, например, на досуге, на список параметров своего фотоаппарата. Вы точно понимаете, что они значат? Я - нет. В смысле, не все, или не точно, или вообще никак. А ведь это моя работа. Про один из более простых из них я уже тут как-то рассказывал ( "Калибр").
Если вы всё ещё не верите мне и думаете, что измерения - это скучная ерунда, попробуйте представить себе, как оживлённо покупатели на рынке спорили с продавцами о качестве весов и гирек, в то "времечко лихое, когда" весы и гирьки у каждого были другими. Это должно дать вам намёк на то, откуда берётся оживление в подобных спорах сегодня. И на то, что там, откуда оно берётся, его запасено ещё очень-очень много. А лучше представьте себе, что в одно прекрасное утро ваши весы вдруг решили, что они будут показывать вам вес немного в других килограммах, чем вчера - скажем, на 10%. И не только весы, а, скажем, они сговорились со стиральной машиной, которая немного посадила ваши штаны, и с зеркалом, которое чуточку изогнулось. Каждый поймёт, что такая история - кошмар, почище "Превращения" Кафки. Меняется не только число килограммов, сантиметров или градусов. Меняется всё мировоззрение и самоощущение. А это значит, что и без такого кошмара, в обычное утро, наше мировоззрение полностью зависит от измерений.
Так вот, разумные люди, в отличие от тряпичных удавов, часто хорошо понимают смысл единиц измерения. Секрет тут такой: всё относительно. Можно пользоваться любыми единицами, какими вам удобно - хоть мартышками, хоть попугаями. Этот мысль многим разумным известна и ими ин-тер-на-ли-зи-ро-ва-на. В смысле (специально для удавов), проглочена и переварена. Усвоена. Всё-таки в иврите есть свои прелести, одна из которых - слово муфнам. Правда, удобнее, чем это русское ин-тра-та-та?
Не так с размерностями. Чтобы раскрыть вам тайну размерностей, мне придётся объяснить, что же такое на самом деле физическая величина. Это одна и та же тайна, и она, повторяю, в самой серёдке нашего мировосприятия. /pathos off --- /pathos off
Сам я долгие годы нащупывал эту тайну вслепую, по частям. Возмущение официальным школьным враньём росло, но стройной и полной (да-да, это бывает одновременно) альтернативы у меня не было. А потом, лет в четырнадцать, прочитал справочник "Единицы физических величин и их размерности". И всё стало на свои места, а мир заиграл новыми красками. Это была одна из самых важных, самых замечательных книжек, что я когда-либо читал. Ну хорошо, одна из сотни самых важных. Я очень рекомендую её всем, это настоящая книжка. Вот тут, например, она есть целиком (PDF) - прочитайте, хотя бы, первую главу (потом всё равно не сможете оторваться). Недавно я узнал ( прямо в ЖЖ, спасибо galea-galley), что её автор - особенный не только этой книжкой, но и вообще замечательный человек - редкого, исчезающего сорта "гении из Вильнюса".
Давайте я вам сразу процитирую самый главный пассаж из этой книжки, а потом уже буду болтать дальше. Если кто уже знает Главную Тайну измерений, или легко ин-тер-на-ли-зи-ру-ет этот пассаж, остального можно не читать. Вот он, один из самых важных абзацев в моей жизни:
Конечно, физические величины, отражающие реальные свойства окружающего нас мира, действительно бесконечно разнообразны и несводимы друг к другу. Однако единицы физических величин сами по себе не являются объектами природы, а представляют собой лишь вспомогательный аппарат для ее изучения. Законы природы никак не изменят своего объективного характера при замене одних единиц другими, подобно тому как не изменятся никакие математические закономерности при замене десятичной системы счисления на двоичную, используемую в вычислительных машинах. Очень образно об этом говорил на вводной лекции по курсу физики в Ленинградском университете О.Хвольсон: "В школе вас учат, что скорость есть путь, проходимый в единицу времени, а я вам скажу, что скорость есть скорость, путь есть путь и ничего общего между ними нет". Поэтому основное требование, которое должно быть предъявлено к системе единиц, заключается в том, что система должна быть возможно более удобной для практических целей. Конечно, создать такую систему единиц, которая была бы одинаково удобной во всех областях науки и техники, чрезвычайно трудно.
Секрет размерностей, оказывается, точно такой же, как секрет единиц. всё относительно. Можно мерить скорость единицами не только любого размера, но и любой размерности.
Например, можно мерить скорость, сравнивая её со скоростью в "один километр в час". А можно - сравнивая со скоростью "одной стандартной лошади". Лет в пять я любил высовывать голову из окна машины на ходу - от тугого налетающего ветра бывало трудно дышать. Можно мерить скорость через усилие дышать. Или через угол волн позади лодки. Кому что удобнее. Каждое такое решение связывает скорость с ощущаемым нами эффектом. Конечно, очень удобно и полезно делить расстояние на время. Тогда я знаю, что вот таким шагом дойду до автобуса за десять минут. Но часто мы воспринимаем скорость более непосредственно. Иногда скорость - это тугой ветер в лицо, а не "надо прибавить шагу, а то опоздаю на автобус". Делить километры на часы - удобно. Но это - произвольный выбор.
В современных системах единиц есть "основные единицы" - например, метр и секунда, а есть "производные" - например, квадратный метр, метр в секунду или даже метр в секунду-в-квадрате. Не все знают, что это - произвольно, выбрано просто для удобства. Иногда нам врут, будто число основных единиц отражает что-то ужасно фундаментальное в свойствах наблюдаемого мира. Это неправда - оно произвольно и если что-то и "отражает", то только наше удобство. Расстояние нам кажется основным, потому что мы его хорошо видим. А время - потому что слышим. Если бы все люди были так же рады совать в рот всё, до чего могут дотянуться, как мой любимый русский химик Карл Карлович Клаус, то основной единицей была бы концентрация. А так она "производная" - сколько чего-то там на метр в кубе. Понимаете, в кубе! Ну причём тут какой-то куб, когда этот сок слаще, а тот - кислее?!
Зачем мы можем хотеть квадратные секунды, кому такое может быть удобно? Это удобно, если помнить, откуда они взялись. Сначала вспомним про скорость. Путь, поделённый на время, взятый в единицу времени - это число, пропорциональное скорости. Это одно из свойств скорости - каждый может узнать о нём, наблюдая за движением с часами в руках. Но, как я уже говорил, мы не любим длинные слова. Например, ко-эф-фи-ци-ент про-пор-ци-о-наль-но-сти. Насколько удобнее было бы сказать, что путь, поделённый на время, "равен" скорости! И ведь всё, что для этого нужно - выбрать единицы для одной из этих трёх величин через две другие. Тогда ко-эф-фи-ци-ент становится равен единице и о нём можно забыть. Выберем за единицу такую скорость, с которой каждую секунду мы пройдём один метр, вот и всё.
Точно так же и с ускорением. Единицы для него выбирают, деля скорость на время - меря, на сколько увеличится скорость за каждую единицу времени. Секунды в квадрате получаются, когда метр в секунду делят ещё на секунду. Если это помнить, никакой неловкости быть не должно. Иногда делают иначе - например, ускорение машины, пока она не в свободном падении, мерят в километрах в час в секунду. Это совершенно то же самое (помните два на девять?), что и километры в секунду в час. Но для машин это не одинаково удобно.
Получается, что метры в квадратную секунду не просто удобны тем, что не надо беспокоиться о "коэффициентах пропорциональности", а ещё и тем, что напоминают нам о свойствах ускорения. Но увы, среди физиков есть ханжи и лицемеры, которые, пытаясь скрыть странное словосочетание "секунда в квадрате", придумали слова вроде "ньютон" и "паскаль". Эти слова замечательно удобны для краткости, но нельзя заметать под ковёр то, что ньютон равен килограмм-метру на секунду в квадрате, а паскаль - килограмму на метр-секунду в квадрате. Ведь это фразы-шпаргалки, очень удобные.
У нас в фотоаппаратах сплошь да рядом встречаются люкс-секунды, электроны в квадрате и даже в кубе, кельвины в квадрате и в четвёртой степени и даже метры в пятой. Вместо того, чтобы представлять себе смысл электрона в квадрате в лоб, с нуля, надо вспомнить, откуда он взялся, тогда он из нелепого превратится в удобный.
Поэтому "основные" единицы - это просто те, от которых нам удобнее начинать танцевать. Те, которые мы воспринимаем легко, без шпаргалок. Не удивлюсь, если у пчёл основная единица - пространственная частота. Они очень хорошо различают "мелькание", густоту чёрных и жёлтых полосок. А у деревьев и собак - градиент концентрации. Они воспринимают его своими корнями и носами непосредственно, а не деля соль, сок или запах на этот нелепый метр в четвёртой степени.
Во внутреннем ухе у нас находится орган равновесия. Он помогает нам чувствовать, где у нас низ. Из-за физики получается, что заодно он реагирует и на ускорение. Поэтому на аттракционах, например, у нас внутри ёкает и нас тошнит. Недавно я прочитал о замечательной эволюционной теории - почему это происходит. Утверждают, что до того, как изобрели аттракционы, чувствовать ускорение нам было ни к чему, это был просто побочный продукт чувства равновесия. На что же он реагировал тошнотой? Оказывается, многие растительные токсины его выводят из строя. Значит, когда у наших крысоподобных предков ёкало внутри, они знали, что съели какую-то опасную гадость и надо срочно вернуть её обратно. Это я к чему говорю? Да к тому, что мы чувствуем ускорение непосредственно, ёканьем, и ничего при этом не делим ни на какие квадратные секунды - нам не до того. Можно сделать прибор по модели каналов в нашем внутреннем ухе, он будет мерить ускорение прямо, а не через производную скорости, вообще без прямой связи с секундами, тем более с квадратными. Секунды в квадрате не "в природе ускорения", они появляются только если мы этого хотим.
Как известно, площадь касания шин машины с асфальтом равна весу машины, поделённому на давление внутри шин. А это давление, если вы хорошо следите за своей машиной, постоянно. Значит, площадь можно мерить через вес. Например, вот такая площадь - пустая машина, вот в неё села дочка, площадь заметно увеличилась, вот ещё дочка, ещё увеличилась. Площадь можно мерить в девочках.
Одно из моих постоянных развлечений на скучных заседаниях - прикинуть, сколько стоит минута времени всех присутствующих и сколько места займут яблоки, которые можно на это купить. Я сижу на заседаниях и слежу, как стол, а потом и вся комната, заполняется яблоками.
Специалист по водохранилищам может считать, сколько водонапорных башен заполнит вытекающая вода. Чем больше площадь озера, тем больше заполнится башен на каждый миллиметр его уровня. Он вполне может мерить площадь озёр "водонапорными башнями на миллиметр", как я мерю площадь числом яблок, которые на ней помещаются. Не всегда удобны эти знаменитые метры, возведённые в квадрат.
Конечно, разные физические величины связаны между собой. Их единицы обычно отражают эти связи. Но связей очень много, можно выбирать. Часто удобно пользоваться связью площади с длиной и шириной - мерить длину и ширину прямоугольника и перемножать их, получая квадратные метры. А иногда удобно пользоваться связью площади с подъяблочной единицей площади, высыпать из мешка яблоки и смотреть, сколько места они займут, получая площадь тарелки или полки холодильника в яблоках. Понимаете, площадь не сама по себе, своей природой, обязательно определяется через расстояние в квадрате. Она так определяется только тогда, когда нам это удобно. Это определение - произвольно, оно связано с нами, а не с ней.
Можно мерить площадь в яблоках (я бы назвал их "стандартными яблоками площади", СЯП) и считать эти яблоки основными. Тогда, возможно, расстояние будет удобно мерить в корнях из яблок. А можно площадь мерить яблоками и расстояние тоже яблоками - сколько яблок уложится вдоль удава. При этом важно понимать, что первая единица - "яблоки площади" и вторая - "яблоки длины" - не то же самое. Если вы это забудете, у вас очень быстро получится абсурд. Похожий на абсурд в магазине тканей, где площадь мерят в метрах, а рулоны при этом разной ширины.
Между этими яблоками опытным путём обнаруживается связь - площадь в яблоках пропорциональна длине в яблоках, возведённой в квадрат. Если эта связь важна, то может быть удобно заменить единицу площади на другую - "яблоко длины в квадрате". Тогда коэффициент пропорциональности станет безразмерным. Обратите внимание - размерность единицы площади поменялась - ради того, чтобы коэффициент стал безразмерным. Ради удобства.
Можно сделать и наоборот - мерить длину единицей "корень из яблока площади". Это очень удобно - возведя в квадрат длину тарелки, выраженную в этих единицах, вы тут же узнаете, сколько на тарелке помещается яблок. Обратите внимание - мы заменили "метр" или "яблоко длины" на "корень из яблока площади" - размерность единицы длины поменялась.
Если вы мне не верите и думаете, что "корень из яблока" - абсурд, почитайте про дробные размерности электрических единиц в системе СГС. СИ в 1961 году покончила с этим безобразием, но физики потом ещё много десятилетий держались за СГС. Если бы это был абсурд, они бы перешли на СИ с радостью - физики ведь не дураки.
Более того, достижения физики в ту героическую пору, когда электрический заряд имел размерность корня из грамма помноженного на корень из сантиметра и ещё на сантиметр в секунду, выглядят явно привлекательнее, чем более современные, когда это просто кулон. Может, переход на мои "корни из яблок" даст новый толчок науке? Не думаю - учёные совсем обленились.
Итак, единицу для измерения физической величины можно выбрать не только любого удобного размера, но и любой удобной размерности.
В чём же тогда физический смысл размерности? Да просто в том, что она делает коэффициент пропорциональности того или иного физического закона безразмерным. "Метр в квадрате" значит, что площадь в этих единицах можно получить перемножением линейных размеров, и облегчает переход с метров в километры или миллиметры. Это очень удобно, ведь если бы длину мы мерили в метрах, а площадь - в яблоках, то размерность коэффициента пропорциональности была бы "яблоко на метр в квадрате". Это значит, что переход на миллиметры был бы сложнее - нам бы приходилось считаться с размерностью коэффициента, или, что то же самое, помнить, как меняется площадь яблока, выраженная в метрах в квадрате, когда переходят на миллиметры в квадрате.
Если вы мне и тут не верите, подумайте о смысле гравитационной постоянной. Размерность массы и силы выбрали так, чтобы второй закон Ньютона не имел размерного коэффициента. Если бы вместо этого выбрали закон всеобщего тяготения, то мы бы ничего не слышали о гравитационной постоянной, зато помнили бы об инерционной. А можно подобрать единицы так, чтобы оба этих коэффициента пропали одновременно, и тогда в справочниках стало бы на одну строчку меньше. "Фундаментальные постоянные", ха.
Итак, размерность связана с тем, какой именно закон мы выбрали. "Стандартные яблоки площади", девочки, квадратные метры и "водонапорные башни на миллиметр" - различаются только удобством. Замечательный вздох проф. Сены - "чрезвычайно трудно" - связан не только с тем, что области разные, но ещё и с тем, что люди разные. Даже в одной области разным людям иногда удобно опираться на разные законы.
У самой физической величины нет "естественной" размерности. Физическая величина, например, площадь - сама по себе. У неё есть много свойств, закономерностей, связей с другими величинами. Обычно мы пользуемся одной из таких связей, по нашему выбору, чтобы удобно определить размерность её единиц. Смысл размерности - в нашем удобстве. Её физический смысл просто в том, что она напоминает о некоторой физической закономерности.
На фотографии сверху - знаменитый фотограф Хельмут Ньютон, прославившийся, в основном, эротическими чёрно-белыми снимками. Нет, он родился не в Вильнюсе, а в Берлине. Измерения, хоть и не совсем такие, как у физика, составляли существо его работы - пропорции, углы, размеры, освещение, контраст. Видите, он и на фото что-то мерит своими пальцами - интересно, что именно. Он умер в 2004 году, и в том же году я использовал это фото, как иллюстрацию к одному своему отчёту. Отчёт был о новом методе измерения искажений линзы - искривлений в изображении. Для пущего эффекта я тогда искривил и саму иллюстрацию - это заметно по прямым линиям на ней, которые у меня стали кривыми. Ничего особенно хитрого, но метод работал удобнее, шире и гораздо точнее, чем то, что было до тех пор. А пару недель назад я был в гостях в лаборатории одной огромной фирмы, и обнаружил там плакаты во всю стенку, повторяющие мой дизайн. Оказывается, теперь одна оптическая компания продаёт точно такой же метод, вместе с аппаратурой, за сумасшедшие деньги. Они в своё время купили тех, с кем мы тогда работали, так что вполне возможно, что их продукт - на основе моего отчёта. А может и нет - мысль-то совсем простая, она тогда и потом буквально носилась в воздухе - например, "Кинект" устроен похоже.
Вы спросите - в каких единицах мерят искажение? Ох, лучше бы вы не спрашивали. В чём только его не мерят. В процентах - хорошо, если в обычных, а не в обратных или относительных. В метрах и в обратных метрах. В условных пикселях. В парах телевизионных линий (честное слово, логика такая - если бы это искажение было бы не у луча света в современном цифровом фотоаппарате, а у пучка электронов в старинном кинескопе, то на сколько пар строчек прогнулась бы посередине горизонтальная прямая черта на верхней границе изображения - и это я ещё упростил). Так что размерность у искажения бывает самая разная. Главное, чтобы она не создавала искажения в голове. Или наоборот, чтобы создавала. Достичь единства в этом вопросе "чрезвычайно трудно".
Послесловие: Как важно быть серьёзным