О математике

[gul_kiev]

Отсюда
- Но, конечно, бывают исключительные случаи, когда я слышу о научном сюжете и совершенно не понимаю, как это может быть доказано. Несколько раз я слышал или читал про какую-то гипотезу, понимал, что она верна, и думал, что не доживу до тех времен, когда это будет математически строго установлено. Например, есть работы филдсовского лауреата

Comments

[livelight]

> По своей природе (и благодаря незнанию) он понимает, что можно продвинуться дальше

Эээээ.... Так есть доказательство, что с ними можно продвинуться дальше и получить адекватные результаты, или нет?
А то даже в начальном матане, помнится, хватало приколов, что вроде бы очевидно, что А, но доказать получается только при условии Б, а потом раз - и контрпримерчик находится, что Б не выполняется, и "очевидное" А тоже накрывается медным тазом: что-нибудь не сходится и не непрерывится.

> хороший программист эффективнее среднего программиста не на немного, а в разы.

А в чём эффективность меряется? И на каких задачах?
А то у нас тут тоже боров хватает: сделают косяк в одной подсистеме - а потом они же или другие вбивают костыль в другой, чтобы косяк в первой обходить :)
Но физику простить можно, если финальная формула соответствует эксперименту. А программистам приходится если и не прощать, то жыть с этим :)

[gul_kiev]

> Эээээ.... Так есть доказательство, что с ними можно продвинуться дальше и получить адекватные результаты, или нет

[gul_kiev]

> Так есть доказательство, что с ними можно продвинуться дальше и получить адекватные результаты, или нет?

Кстати, тут ведь приходит в голову аналогия с формулой Кардано для нахождения корней многочлена третьей степени. Ему для этого пришлось придумать "невозможные" комплексные числа и оперировать ими, чтобы в итоге сократить мнимую часть и получить действительные корни.

И до сих пор нет других способов решить уравнение третьей степени в общем виде в действительных числах, кроме как воспользоваться комплексными числами для промежуточных результатов.

[livelight]

Ну дык, для комплексных числе придумали весьма строгую теорию, доказали основную теорему алгебры, а также выяснили, что для многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни ходят парами, что превращается в многочлен второй степени, на который можно поделить исходный без остатка. В общем, всё красиво и строго.

Впрочем, статья "Действительные числа" википедии утверждает, что бОльшую часть матана успешно доказали до того, как построили хорошую теорию действительного числа, до того только с рациональными действительно строго обращались. Ну или не совсем успешно, были отдельные косяки :)

[gul_kiev]

Да, о том и речь.
О числах думали как о количественной мере, так их визуализировали. А Кардано вышел за пределы этой модели, отказался от такой интерпретации и получил формулу для решения кубического уравнения.
С комплексными вероятностями похожая история.

[ahiin]

Таки не ему, а Бомбелли все же.

[gul_kiev]

Сначала трюк с корнем из отрицательного числа для нахождения решений кубического уравнения всё-таки применил Кардано. Бомбелли развил эту тему немного позже.
Пенроуз, "Тени разума", в главе 5.5 довольно подробно описывает эту историю. Вот небольшая цитата:

Вооружившись современными обозначениями и современной же концепцией отрицательного числа (а также учитывая тот факт, что кубический корень отрицательного числа равен отрицательному кубическому корню того же, но положительного числа), мы легко убеждаемся, что выражение Кардано, в сущности, идентично выражению Тартальи. Однако в случае Кардано в том же, казалось бы, выражении появляется нечто принципиально новое. Теперь при достаточно малом q' прямая может пересечь кривую в трех точках, т.е. у исходного уравнения окажется три решения (при p> 0 два из них отрицательны). Случай этот - так называемый casus irreducibilis - возникает, когда (1/2 q') 2< (1/3 p) 3; нетрудно видеть, что w оказывается при этом квадратным корнем из отрицательного числа. Таким образом, числа 1/2 q' + w и 1/2

[ahiin]

Насколько я помню, Кардано в явном виде нигде не публиковал рассуждений, связывающих комплексные числа и кубические уравнения. Пенроуз, к.м.к., тут слегка натягивает. Т.е. вполне возможно, Кардано видел эту связь, но, строго говоря, далеко не факт. А вот Бомбелли - совершенно точно.

[gul_kiev]

Да, у Кардано это не комплексные числа, а просто трюк, позволяющий находить три решения кубического уравнения. "Невозможный" корень, который потом сокращается. А Бомбелли "легализовал" эти числа.
Поэтому как аналогия с описанным в интервью на мой взгляд больше подходит именно Кардано, а не Бомбелли. У Кардано это не числа, как и у Смирнова это не вероятности.

[ahiin]

Не, специально сейчас полез проверять. Ни в одной из опубликованных работ Кардано комплексные числа не использует при работе с кубическими уравнениями. Он их упоминает, да, но в связи с другой задачей (решение системы о произведении и сумме).

[gul_kiev]

Да, никто и не говорит, что Кардано писал про комплексные числа при решении кубических уравнений. Но он получал три решения. По-моему, и Пенроуз описал всё корректно, и я, приводя аналогию, говорил о том, что Кардано не остановился перед "невозможным" корнем из отрицательного числа, и тем самым получил три вещественных решения кубического уравнения. Может, где-то недостаточно точно высказался, прошу прощения.

Но ведь о том и речь, что математики начинают работать с какими-то сущностями до того, как становится понятно, что это вообще такое, до строгого определения понятия. Кардано не ввёл понятие "комплексное число" и не определил его, но по сути использовал. У Ньютона тоже не было определения бесконечно малых, что не мешало ему ими оперировать.

[ahiin]

Я с исходным посылом не спорю нисколько. Я только указываю на то (буквоедская поправка, да), что три вещественных корня уравнения, с помощью промежуточных выкладок с комплексными, получил Бомбелли, решив тем самым проблему casus irreducibilis. Не Кардано (или, как минимум, Кардано свои выкладки не опубликовал).