О математике
Отсюда
- Но, конечно, бывают исключительные случаи, когда я слышу о научном сюжете и совершенно не понимаю, как это может быть доказано. Несколько раз я слышал или читал про какую-то гипотезу, понимал, что она верна, и думал, что не доживу до тех времен, когда это будет математически строго установлено. Например, есть работы филдсовского лауреата Станислава Смирнова (который почему-то не работает в нашем институте).
- Он довольно тесно связан с нашим институтом.
- Надеюсь; он выдающийся математик. Результаты, которые он получал, не единожды вызывали это чувство: сомнений в истинности утверждения нет ни у меня, ни у многих других, но также совершенно не видно, как же можно это строго установить; я ему даже лично говорил. Я слушал один доклад Смирнова: он рассказывал некоторые шаги, доходил до определенного места, на котором я бы остановился, потому что совершенно ясно, что так ничего не выйдет. А Станислав действовал дальше, и, к изумлению публики, всё получалось. Могу рассказать, в чем дело. У него в задаче участвуют комплексные вероятности. В статистической физике и теории вероятностей есть место, где часто нужно устанавливать факт, что вероятности, для которых пишутся формулы, вещественны и положительны. Иначе никогда не делается. А Смирнов пишет про фермионные наблюдаемые, и там у него явно возникают комплексные вероятности. По мне, их нужно выбросить и забыть. А он их не боится. По своей природе (и благодаря незнанию) он понимает, что можно продвинуться дальше, и действительно, эти продвижения не раз и не два были совершенно замечательные.
- Такой физический подход к математике? Классический пример: ввели дельта-функции, хотя ясно, что дельта-функций не может быть. Потом им придали смысл совершенно другим способом. А физики с ними оперировали довольно давно…
- Смирнов так и говорит. Он физические статьи читает и утверждает, что их не надо понимать, а надо над ними медитировать (употребляет это слово). Действительно, он этот процесс реализует, и очень успешно. Его работы, в частности, я разбирал подробно - это чудо, которое хочется знать во всех подробностях.
- И логические шаги там безукоризненны?
- Да, конечно.
- А комплексные вероятности? Они вводятся без всякой аксиоматики?
- Не в этом дело. Объекты, что там получаются, можно не называть вероятностями. Но если бы они (положительными) вероятностями являлись, то я мог бы пользоваться своей вероятностной интуицией. А те объекты, которые возникают у него, хотя и определяются явными точными конструкциями, но вероятностями не являются. Поэтому я про них думать не умею. А он с ними обращается настолько, насколько с ними возможно обращаться строго, и получает результаты, которые мне казались недостижимыми.
Подумал: не тот ли это Смирнов, с которым я пересекался на математических олимпиадах в школе?
Оказался тот
Собственно, к чему это я. В школе я задумывался о том, как решаются математические задачи, что в это время происходит в голове, и почему это по-разному даётся разным людям. То, что есть люди более и менее талантливые, более и менее натренированные, разное количество связей между нейронами, разный объём активных аналогий - это, конечно, понятно. Но это не весь ответ.
Математика (как, впрочем, и современная теоретическая физика) оперирует абстрактными объектами. Человек не может думать формулами. Переставляя символы по заданным законам, не решить даже простейшую математическую задачу. Формулы нужны, во-первых, для передачи информации другим, а во-вторых, для проверки строгости. Примерно как слова в языке нужны для передачи смысла и для того, чтобы зафиксировать мысль. А думает человек в других объектах. И вот, для того, чтобы думать об абстрактных математических объектах, человеку нужно их как-то себе представить, построить для них модель. Человек видит условие задачи, понимает его (т.е. переводит в объекты своей модели), решает задачу, после чего переводит решение обратно в формулы и символы для объяснения другим. Это происходит неосознанно, и если специально за этим процессом не наблюдать, его можно не заметить. А наблюдать не очень просто, потому что мозги ведь заняты другим.
Фишка в том, что эти модели у разных людей могут быть разными, и разные модели по-разному подходят для разных задач. Чья-то модель эффективна для теории множеств и оперирования различными бесконечностями, чья-та для топологии и многомерных пространств, чья-то для теории чисел, чья-то для алгоритмов... Например, нередко слышал, что для школьников, показывающих хорошие результаты на олимпиадах, геометрические задачи являются провальными. То есть, если есть не очень сложная геометрическая задача, то её ещё можно решить, а если сложная - всё, провал. Собственно, и у меня было именно так. Для геометрии (я имею ввиду школьную, конечно) интерпретация изначально задана и для всех одинакова, отличия могут быть лишь в нюансах. Поэтому и результаты в решении геометрических задач получаются средними. Этим же можно объяснить разницу в эффективности программистов: известно, что хороший программист эффективнее среднего программиста не на немного, а в разы.
Тут можно вспомнить про индийского математика Рамануджана, про которого снят хороший фильм "Человек, который познал бесконечность". У него явно была собственная и эффективная модель теории чисел, но недостаток образования для того, чтобы записывать свои решения на строгом математическом языке.
Ещё есть красивая история про Эйнштейна. Когда он преподавал в Принстонском институте, однажды, прийдя на лекцию, он сказал: "Вот тут опубликована новая статья Бора (кажется), и он получил вот такие-то выводы. Они интересны, давайте я вам напишу". После чего выписывает на доске формулы из статьи, попутно их комментируя. Расписав формулами всю доску, подводит итог: "И вот, исходя из этих постулатов, он приходит к таким интересным выводам". Студенты завороженно смотрят, выводы действительно интересны. Через некоторое время Эйнштейн говорит: "А теперь найдите ошибку". Студенты опешили. Ошибку, у Бора? В опубликованной статье, в серьёзном рецензируемом журнале? "Что, никто не видит? Вот же: тут минус, а в следующей строчке при преобразовании он его потерял и написал вместо этого минуса плюс". Студенты в шоке. Так что, вся эта новая красивая теория Бора неверна из-за такой нелепой ошибки? Эйнштейн успокаивает: "Нет, конечно, всё хорошо. Вот тут, через две страницы, он этот плюс меняет обратно на минус, и результат получается верным".
Бор сделал ошибку при переводе объектов своей модели на язык формул. Но зная, что должно получиться в итоге, он подсознательно исправил эту свою ошибку. Он ведь не формулами мыслит, формулы - лишь средство выражения.
- Но, конечно, бывают исключительные случаи, когда я слышу о научном сюжете и совершенно не понимаю, как это может быть доказано. Несколько раз я слышал или читал про какую-то гипотезу, понимал, что она верна, и думал, что не доживу до тех времен, когда это будет математически строго установлено. Например, есть работы филдсовского лауреата Станислава Смирнова (который почему-то не работает в нашем институте).
- Он довольно тесно связан с нашим институтом.
- Надеюсь; он выдающийся математик. Результаты, которые он получал, не единожды вызывали это чувство: сомнений в истинности утверждения нет ни у меня, ни у многих других, но также совершенно не видно, как же можно это строго установить; я ему даже лично говорил. Я слушал один доклад Смирнова: он рассказывал некоторые шаги, доходил до определенного места, на котором я бы остановился, потому что совершенно ясно, что так ничего не выйдет. А Станислав действовал дальше, и, к изумлению публики, всё получалось. Могу рассказать, в чем дело. У него в задаче участвуют комплексные вероятности. В статистической физике и теории вероятностей есть место, где часто нужно устанавливать факт, что вероятности, для которых пишутся формулы, вещественны и положительны. Иначе никогда не делается. А Смирнов пишет про фермионные наблюдаемые, и там у него явно возникают комплексные вероятности. По мне, их нужно выбросить и забыть. А он их не боится. По своей природе (и благодаря незнанию) он понимает, что можно продвинуться дальше, и действительно, эти продвижения не раз и не два были совершенно замечательные.
- Такой физический подход к математике? Классический пример: ввели дельта-функции, хотя ясно, что дельта-функций не может быть. Потом им придали смысл совершенно другим способом. А физики с ними оперировали довольно давно…
- Смирнов так и говорит. Он физические статьи читает и утверждает, что их не надо понимать, а надо над ними медитировать (употребляет это слово). Действительно, он этот процесс реализует, и очень успешно. Его работы, в частности, я разбирал подробно - это чудо, которое хочется знать во всех подробностях.
- И логические шаги там безукоризненны?
- Да, конечно.
- А комплексные вероятности? Они вводятся без всякой аксиоматики?
- Не в этом дело. Объекты, что там получаются, можно не называть вероятностями. Но если бы они (положительными) вероятностями являлись, то я мог бы пользоваться своей вероятностной интуицией. А те объекты, которые возникают у него, хотя и определяются явными точными конструкциями, но вероятностями не являются. Поэтому я про них думать не умею. А он с ними обращается настолько, насколько с ними возможно обращаться строго, и получает результаты, которые мне казались недостижимыми.
Подумал: не тот ли это Смирнов, с которым я пересекался на математических олимпиадах в школе?
Оказался тот
Собственно, к чему это я. В школе я задумывался о том, как решаются математические задачи, что в это время происходит в голове, и почему это по-разному даётся разным людям. То, что есть люди более и менее талантливые, более и менее натренированные, разное количество связей между нейронами, разный объём активных аналогий - это, конечно, понятно. Но это не весь ответ.
Математика (как, впрочем, и современная теоретическая физика) оперирует абстрактными объектами. Человек не может думать формулами. Переставляя символы по заданным законам, не решить даже простейшую математическую задачу. Формулы нужны, во-первых, для передачи информации другим, а во-вторых, для проверки строгости. Примерно как слова в языке нужны для передачи смысла и для того, чтобы зафиксировать мысль. А думает человек в других объектах. И вот, для того, чтобы думать об абстрактных математических объектах, человеку нужно их как-то себе представить, построить для них модель. Человек видит условие задачи, понимает его (т.е. переводит в объекты своей модели), решает задачу, после чего переводит решение обратно в формулы и символы для объяснения другим. Это происходит неосознанно, и если специально за этим процессом не наблюдать, его можно не заметить. А наблюдать не очень просто, потому что мозги ведь заняты другим.
Фишка в том, что эти модели у разных людей могут быть разными, и разные модели по-разному подходят для разных задач. Чья-то модель эффективна для теории множеств и оперирования различными бесконечностями, чья-та для топологии и многомерных пространств, чья-то для теории чисел, чья-то для алгоритмов... Например, нередко слышал, что для школьников, показывающих хорошие результаты на олимпиадах, геометрические задачи являются провальными. То есть, если есть не очень сложная геометрическая задача, то её ещё можно решить, а если сложная - всё, провал. Собственно, и у меня было именно так. Для геометрии (я имею ввиду школьную, конечно) интерпретация изначально задана и для всех одинакова, отличия могут быть лишь в нюансах. Поэтому и результаты в решении геометрических задач получаются средними. Этим же можно объяснить разницу в эффективности программистов: известно, что хороший программист эффективнее среднего программиста не на немного, а в разы.
Тут можно вспомнить про индийского математика Рамануджана, про которого снят хороший фильм "Человек, который познал бесконечность". У него явно была собственная и эффективная модель теории чисел, но недостаток образования для того, чтобы записывать свои решения на строгом математическом языке.
Ещё есть красивая история про Эйнштейна. Когда он преподавал в Принстонском институте, однажды, прийдя на лекцию, он сказал: "Вот тут опубликована новая статья Бора (кажется), и он получил вот такие-то выводы. Они интересны, давайте я вам напишу". После чего выписывает на доске формулы из статьи, попутно их комментируя. Расписав формулами всю доску, подводит итог: "И вот, исходя из этих постулатов, он приходит к таким интересным выводам". Студенты завороженно смотрят, выводы действительно интересны. Через некоторое время Эйнштейн говорит: "А теперь найдите ошибку". Студенты опешили. Ошибку, у Бора? В опубликованной статье, в серьёзном рецензируемом журнале? "Что, никто не видит? Вот же: тут минус, а в следующей строчке при преобразовании он его потерял и написал вместо этого минуса плюс". Студенты в шоке. Так что, вся эта новая красивая теория Бора неверна из-за такой нелепой ошибки? Эйнштейн успокаивает: "Нет, конечно, всё хорошо. Вот тут, через две страницы, он этот плюс меняет обратно на минус, и результат получается верным".
Бор сделал ошибку при переводе объектов своей модели на язык формул. Но зная, что должно получиться в итоге, он подсознательно исправил эту свою ошибку. Он ведь не формулами мыслит, формулы - лишь средство выражения.