Математика эпидемии
Очень хочется поспособствовать распространению вот этого видео (спасибо за ссылку, Максим!), да и всего блога «3 blue 1 brown»:
Мой краткий пересказ на русском, с небольшим уклоном в разжёвывание для тех, кто болел в школе на математике :-)
Все мы слышали выражение «экспоненциальный рост», «растёт по экспоненте», но что означают эти слова, и откуда берётся экспоненциальный рост? Возьмём для примера нынешнюю эпидемию. По определению экспоненциальный рост некоего показателя - это умножение его на какую-то константу каждую единицу времени. Например, когда каждый день что-то вдвое больше, чем было вчера. В случае коронавируса, количество заражённых умножается каждый день примерно на 1.15 (другими словами, каждый день у нас на 15% больше больных, чем было вчера).
Экспоненциальный рост можно объяснить простой моделью: новые случаи заражения появляются благодаря уже имеющимся случаям, т.е. чем больше больных сегодня, тем больше людей они смогут заразить завтра. Обозначим N(d) - количество заражённых в день d, E - среднее количество контактов у человека в день, p - вероятность передать заразу при контакте. В таком случае количество заражённых на следующий день будет N(d+1) = N(d) + N(d)*E*p = N(d) * (1 + E*p). Вот он наш множитель, вот он наш экспоненциальный рост.
При помощи нашей модели можно по-другому смотреть на данные заражения по странам. Если в одной стране в 100 раз больше заболевших, чем в другой, то это может означать не лучший уровень медицины во второй стране, а просто факт, что первая страна вступила в заразу на месяц раньше. Примерно за такой срок экспоненциальный рост с коэффициентом 1.15 даёт стократный рост.
Это, очевидно, упрощённая модель.
Например, мы не учитываем возможность вылечиться. Эту возможность легко моделировать, предположив, что некая доля q заболевших лечится через t дней. То есть, нужно вычесть из общего количества N(d) - q*N(d-t). Видно, что эта поправка ничего существенно не изменит - за время выздоровления масштаб эпидемии успел измениться.
Мы также не учитываем факт возможности для заражённого человека встретить другого, уже заражённого человека. В видео этот вариант рассматривается: вместо экспоненты получается сигмоида, которая неотличима от экспоненты в начале, а потом перестаёт быстро расти, достигая 100% заражения всего доступного населения. Я не буду подробно останавливаться на этой части.
Мы не учитываем тот факт, что люди встречаются не со случайными людьми из всего населения земли, а всё время с одними и теми же: соседями, коллегами и т.д. В видео рассматривают вариант с кластерами и показывают, что малого количества путешественников между кластерами достаточно для того, чтобы конечный результат практически не отличался от нашей экспоненты.
Как же всё это может остановиться? Только, когда уменьшатся E и p. Вариант уменьшения p после того, как мы заразили всё население, мы уже рассмотрели, лично меня он не интересует. Какие ещё есть варианты? И вот здесь становятся понятными разнообразные меры наших правительств. Нам нужно изменить наше с вами поведение.
Уменьшить N - встречаться с меньшим количеством людей в день. Макрон вчера чётко сказал: никаких семейных встреч, никаких дружеских пробежек. Ничего, без чего можно пережить. Французские врачи с ним согласны, они замутили флешмоб #restecheztoi - буквально «сиди дома».
Уменьшить p - никого не трогать, чаще мыть руки, чихать в локоть, не лезть пальцами в рот / нос / глаза.
Дальше уже не перевод видео, а лично мои соображения.
Насколько все эти меры действенны? Ну вот снизим мы N*p с 1.15 до 1.05 - и что?
Тут снова вступает простая математика, на уровне калькулятора. Но настолько контринтуитивная, что я предлагаю всем проверить расчёты. Иначе не так вставляет.
С множителем 1.15 за каких-то 100 дней (то есть к концу июня этого года) количество больных вырастает в 1 000 000 (один миллион) раз. С множителем 1.05 - в 100 (сто) раз.
100 - это очень много. А 1 000 000 - это просто невообразимо. Если у нас останется 1.15, то планы на следующий год можно не строить. Если будет 1.05, то можно молиться на врачей, учёных и просто удачу. Так что, сидите дома и мойте руки. И расскажите об этом своим родным.
Если же вам по каким-то причинам кажется, что всё это происки каких-то хитрецов, которые хотят нажиться на спаде рынка - храните этот секрет для себя. Покупайте акции, инвестируйте, раз уж вам кажется, что таким образом вы сможете присоединиться к этим загадочным хитрецам. Но не рассказывайте об этом никому. И вам же хуже (а ну как все бросятся одновременно с вами покупать подешевевшие активы!), и нам (люди не поверят в серьёзность ситуации и выйдут из дому).
Истории же про то, какие именно спецслужбы создали вирус, и почему они выпустили его именно сейчас и именно в Китае, лично мне кажется достаточно безобидными. Я заинтересуюсь этими вопросами, когда мы победим эту эпидемию. Например, в случае, если будет ясно, что она была человеческого производства, чтобы не допустить такого в будущем. Но об этом я подумаю потом.
Возвращаясь к вопросу, когда всё это закончится - это уже не математика, а биология, здесь я некомпетентен. Может повезти, как в 2002 году, когда эпидемия остановилась на нескольких тысячах. Может не повезти, как в 1918 году, когда испанка заразила 500 миллионов человек (больше четверти всего населения Земли).
Дай бог здоровья учёным, ну и немного удачи нам всем.
То, где математика вступает вновь - это интерпретация прошедших событий. Можно ли сказать, что в 2002 году мы все облажались, поверив в риск, которого на самом деле не было? Мне кажется, что правильнее говорить, что мы поверили в риск, который на самом деле не реализовался.
Простой пример: представим, на Землю летит огромный астероид, но учёные не могут сказать достоверно, пролетит он мимо или врежется. В итоге мы все готовимся к столкновению - а астероид пролетел мимо. Можно ли говорить, что готовившиеся к катастрофе облажались? Это примерно так же, как считать облажавшимся купившего страховку, если у него в итоге не сгорел дом, он не сломал ногу, у него не умер ребёнок.
Можно говорить, что готовиться не к чему, что риска (астероида или вируса) нет вообще, или что их риск намеренно раздут. Но нельзя говорить о ненужности подготовки, если существовавший риск просто не реализовался.
Ну и - Штирлиц знал, что из разговора лучше всего запоминается последняя фраза, - если на нас летит астероид, и учёные говорят, что, сидя дома и моя руки, мы существенно увеличим вероятность того, что он пролетит мимо...
Click to viewМой краткий пересказ на русском, с небольшим уклоном в разжёвывание для тех, кто болел в школе на математике :-)
Все мы слышали выражение «экспоненциальный рост», «растёт по экспоненте», но что означают эти слова, и откуда берётся экспоненциальный рост? Возьмём для примера нынешнюю эпидемию. По определению экспоненциальный рост некоего показателя - это умножение его на какую-то константу каждую единицу времени. Например, когда каждый день что-то вдвое больше, чем было вчера. В случае коронавируса, количество заражённых умножается каждый день примерно на 1.15 (другими словами, каждый день у нас на 15% больше больных, чем было вчера).
Экспоненциальный рост можно объяснить простой моделью: новые случаи заражения появляются благодаря уже имеющимся случаям, т.е. чем больше больных сегодня, тем больше людей они смогут заразить завтра. Обозначим N(d) - количество заражённых в день d, E - среднее количество контактов у человека в день, p - вероятность передать заразу при контакте. В таком случае количество заражённых на следующий день будет N(d+1) = N(d) + N(d)*E*p = N(d) * (1 + E*p). Вот он наш множитель, вот он наш экспоненциальный рост.
При помощи нашей модели можно по-другому смотреть на данные заражения по странам. Если в одной стране в 100 раз больше заболевших, чем в другой, то это может означать не лучший уровень медицины во второй стране, а просто факт, что первая страна вступила в заразу на месяц раньше. Примерно за такой срок экспоненциальный рост с коэффициентом 1.15 даёт стократный рост.
Это, очевидно, упрощённая модель.
Например, мы не учитываем возможность вылечиться. Эту возможность легко моделировать, предположив, что некая доля q заболевших лечится через t дней. То есть, нужно вычесть из общего количества N(d) - q*N(d-t). Видно, что эта поправка ничего существенно не изменит - за время выздоровления масштаб эпидемии успел измениться.
Мы также не учитываем факт возможности для заражённого человека встретить другого, уже заражённого человека. В видео этот вариант рассматривается: вместо экспоненты получается сигмоида, которая неотличима от экспоненты в начале, а потом перестаёт быстро расти, достигая 100% заражения всего доступного населения. Я не буду подробно останавливаться на этой части.
Мы не учитываем тот факт, что люди встречаются не со случайными людьми из всего населения земли, а всё время с одними и теми же: соседями, коллегами и т.д. В видео рассматривают вариант с кластерами и показывают, что малого количества путешественников между кластерами достаточно для того, чтобы конечный результат практически не отличался от нашей экспоненты.
Как же всё это может остановиться? Только, когда уменьшатся E и p. Вариант уменьшения p после того, как мы заразили всё население, мы уже рассмотрели, лично меня он не интересует. Какие ещё есть варианты? И вот здесь становятся понятными разнообразные меры наших правительств. Нам нужно изменить наше с вами поведение.
Уменьшить N - встречаться с меньшим количеством людей в день. Макрон вчера чётко сказал: никаких семейных встреч, никаких дружеских пробежек. Ничего, без чего можно пережить. Французские врачи с ним согласны, они замутили флешмоб #restecheztoi - буквально «сиди дома».
Уменьшить p - никого не трогать, чаще мыть руки, чихать в локоть, не лезть пальцами в рот / нос / глаза.
Дальше уже не перевод видео, а лично мои соображения.
Насколько все эти меры действенны? Ну вот снизим мы N*p с 1.15 до 1.05 - и что?
Тут снова вступает простая математика, на уровне калькулятора. Но настолько контринтуитивная, что я предлагаю всем проверить расчёты. Иначе не так вставляет.
С множителем 1.15 за каких-то 100 дней (то есть к концу июня этого года) количество больных вырастает в 1 000 000 (один миллион) раз. С множителем 1.05 - в 100 (сто) раз.
100 - это очень много. А 1 000 000 - это просто невообразимо. Если у нас останется 1.15, то планы на следующий год можно не строить. Если будет 1.05, то можно молиться на врачей, учёных и просто удачу. Так что, сидите дома и мойте руки. И расскажите об этом своим родным.
Если же вам по каким-то причинам кажется, что всё это происки каких-то хитрецов, которые хотят нажиться на спаде рынка - храните этот секрет для себя. Покупайте акции, инвестируйте, раз уж вам кажется, что таким образом вы сможете присоединиться к этим загадочным хитрецам. Но не рассказывайте об этом никому. И вам же хуже (а ну как все бросятся одновременно с вами покупать подешевевшие активы!), и нам (люди не поверят в серьёзность ситуации и выйдут из дому).
Истории же про то, какие именно спецслужбы создали вирус, и почему они выпустили его именно сейчас и именно в Китае, лично мне кажется достаточно безобидными. Я заинтересуюсь этими вопросами, когда мы победим эту эпидемию. Например, в случае, если будет ясно, что она была человеческого производства, чтобы не допустить такого в будущем. Но об этом я подумаю потом.
Возвращаясь к вопросу, когда всё это закончится - это уже не математика, а биология, здесь я некомпетентен. Может повезти, как в 2002 году, когда эпидемия остановилась на нескольких тысячах. Может не повезти, как в 1918 году, когда испанка заразила 500 миллионов человек (больше четверти всего населения Земли).
Дай бог здоровья учёным, ну и немного удачи нам всем.
То, где математика вступает вновь - это интерпретация прошедших событий. Можно ли сказать, что в 2002 году мы все облажались, поверив в риск, которого на самом деле не было? Мне кажется, что правильнее говорить, что мы поверили в риск, который на самом деле не реализовался.
Простой пример: представим, на Землю летит огромный астероид, но учёные не могут сказать достоверно, пролетит он мимо или врежется. В итоге мы все готовимся к столкновению - а астероид пролетел мимо. Можно ли говорить, что готовившиеся к катастрофе облажались? Это примерно так же, как считать облажавшимся купившего страховку, если у него в итоге не сгорел дом, он не сломал ногу, у него не умер ребёнок.
Можно говорить, что готовиться не к чему, что риска (астероида или вируса) нет вообще, или что их риск намеренно раздут. Но нельзя говорить о ненужности подготовки, если существовавший риск просто не реализовался.
Ну и - Штирлиц знал, что из разговора лучше всего запоминается последняя фраза, - если на нас летит астероид, и учёные говорят, что, сидя дома и моя руки, мы существенно увеличим вероятность того, что он пролетит мимо...