Евклидомахия 11: игра ли математика?
Я считаю для себя выясненным, что на вопрос "наука ли математика?" (чтобы не вступать в терминологические споры: наука ли она в том же значении термина, как физика) ответ: нет. Это не снимает з адачи большего уяснения того, в чем именно состоит их различие и как они соотносятся между собойНо в какой мере применима к ней прозвучавшая в обсуждении
( Read more... )
1) хоть какое-то соперничество, соревнование, преодоление
2) хоть какие-то правила
3) что-то вроде развлекательности, увлекательность, а не нудятина и скука
[ основные физические результаты не получаются логическим выводом и не доказываются, а проверяются экспериментом ]
Ну, не совсем так.
Хорошая математическая модель представляет из себя дерево или цепочку доказательств от минимального количества аксиом к большому количеству теорем:
A1, A2,... An -> ... -> T1, T2,... TN
Если считать теоремы "основными результатами", так как от них "основная" полезность, тогда - да, они доказываются логически. А если считать "основными" аксиомы, так как они лежат в "основе", то аксиомы не доказываются. Они принимаются за истину, чтобы вывести теоремы. Если говорить строго логически, то в результате ни теоремы, ни аксиомы не являются доказанными. А доказанной является логическая конструкция вида если - то:
Если верны аксиомы A1 AND A2 AND ... AND An, то верны теоремы T1 AND T2 AND ... AND TN
А если аксиомы неверны, тогда насчет теорем ничего сказать нельзя.
Далее, физика. Очень качественная физическая теория имеет такую же структуру. В "основе" - постулаты, как постулат о постоянстве скорости света. А из постулатов следуют, причем следуют сугубо логическим выводом - следствия и прогнозы, то есть по сути - теоремы, и что-то из них представляет "основную" ценность. Такая физическая теория доказывает логическую конструкцию вида:
Если верны постулаты A1, A2,... An то верны следствия и прогнозы T1, T2,... TN
В особо удачных случаях эта конструкция имеет строгость математического доказательства или близко к этому, в менее удачных - где-то посредине торчат подпорки из дополнительных допущений и эмпирически полученных зависимостей. Но допустим, мы имеем "удачный" случай.
Тогда возможна еще большая удача: мы можем экспериментально подтвердить истинность постулатов A...A. Например, проверить постоянство скорости света, если не для всех возможных ситуаций во вселенной, то хотя бы для многих. Тогда у нас помимо истинной конструкции "Если A...A, то T...T" появляется истинная конструкция "A...A". И тогда по modus ponens мы утверждаем, что истинны "T...T".
В менее удачном случае мы можем проверить только некоторые выводы. Если один из выводов Tj оказывается ложным, тогда вся конструкция "T ... T" ложна, т.к. там все объединено по логическому И. Далее по modus tollens получаем ложность конструкции "A...A" в целом, а так как там тоже все объединено по И, то из этого следует (по правилу Де Моргана) ложность хотя бы одного из постулатов. Это будет фальсификация по Попперу. Далее можно попытаться найти "дефективный" постулат Ak, заменить его и "починить" теорию.
Получается, что в таком случае мы можем логически опровергнуть (фальсифицировать) теорию, но не строго логически ее доказать. Но тут есть еще один путь - чуть менее строгого доказательства - через нетривиальные предсказания. Если надо, поясню это, а пока и так много буков.
Reply
--------------
Ну в таком-то смысле общее можно найьти между чем угодно. Я говорю о структуре, вроде бы той самой, которую Вы ниже описываете.
А что касается сходства между математикой и физикой, то оно относиттся к ретроспективно оформленной "под математику" физической теории, а не к тому, как создаются и обосновываются математические и физические утверждения.
Reply
Leave a comment