Евклидомахия 3: "вписанные" пространства и внутренняя геометрия
То, что можно сочинить много разных геометрий по типу разных «правил игры», совершенно ясно, и обсуждать тут, как мне с самого начала и говорили, нечего. Единственное ограничение при замене аксиомы - чтобы система в целом осталась непротиворечивой. В замечательном сборничке, на который я в основном опираюсь (его полное название - «Об основаниях геометрии: Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей», в конце его есть статья В.Ф.Кагана, где этот подход изложен предельно четко и, сколько могу судить, строго. Процитирую кусочек из начала статьи:
«Положим, что мы имеем какое-либо множество, или многообразие, элементами которого могут быть какие угодно объекты. В этом многообразии установим различные сопряжения его с самим собою; это всегда возможно сделать в любом многообразии. Сопряжения эти могут быть какие угодно; мы даже не предполагаем, что это должны быть непременно совершенные сопряжения. Далее, каждой паре различных элементов этого многообразия отнесем произвольно выбранное арифметическое число, отличное от нуля; это также, конечно, можно выполнить разнообразнейшими способами.
Таким образом, мы будем иметь многообразие, в котором, установлена некоторая система сопряжений его элементов и каждой паре элементов соответствует некоторое арифметическое число, произвольно, по нашему усмотрению, ей отнесенное. Когда этот процесс выполнен (т. е. когда установлены сопряжения и арифметические числа, отнесенные каждой паре элементов), мы будем называть многообразие геометрическим пространством, его элементы - точками, установленные в нем сопряжения - движениями, а числа, отнесенные парам точек,- расстояниями между точками. Так как эти сопряжения (движения) можно устанавливать чрезвычайно разнообразно и разнообразно же можно распределять между точками расстояния, то чрезвычайно разнообразны могут быть пространства. Соотношения, проистекающие из характера установленных в пространстве движений и расстояний, и составляют геометрию этого пространства». И т.д. - по-моему, все ясно.
Вопросы встают при попытках интерпретировать эти геометрии, отыскивать или строить пространства, им подчиняющиеся. Причем, как уже писал, нет нужды ограничиваться чувственно воспринимаемыми интерпретациями - у о. Павла Флоренского (давно не перечитывал) есть применения к духовному миру.
Первую попытку интерпретировать геометрию Лобачевского, так, чтобы «вписать» ее в евклидову, «отыскать ее реальный субстрат» сделал Бельтрами. У него получилось, что «гиперболическая плоскость» Лобачевского, в которой сумма углов треугольника меньше π, совпадает по метрике с евклидовой псевдосферой. При этом для трех измерений Бельтрами отрицал возможность такой интерпретации, «поскольку пространство, в котором такое представление может материализоваться, отлично от того, что мы обычно называем "пространством"».
А.Коффа рассказывает об этом как раз в интересующем меня контексте полемики вокруг кантовского «чистого созерцания» геометрических предметов и отношений. Интерпретация Бельтрами, пишет он, вполне уживается с созерцанием, псевдосферу можно увидеть. Разрыв с Кантом наступил позже. Коффа указывает на Гельмгольца как опознавшего в геометрии Лобачевского именно новую геометрию - гиперболическую.
Но вот тут можно задержаться. У Гельмгольца в той самой работе, на которую ссылается Коффа, есть большой пассаж про двумерное пространство и его геометрию: «Представим себе-а в этом нет никакой логической невозможности - одаренные рассудком существа всего лишь двух измерений, живущие на поверхности любого из наших твердых тел и движущаяся на ней. Примем, что эти существа не обладают способностью воспринимать что-либо вне этой поверхности, по обладают восприятиями, подобными нашим, внутри протяжения этой поверхности. Если такие существа выработают свою геометрию, то они естественно припишут своему пространству лишь два измерения. Они найдут, что движущаяся точка описывает линию, а движущаяся линия-поверхность, которая для них представляет наиболее совершенный, им известный, пространственный образ (Raumgebilde). Но они так же будут не в состоянии составить себе представление о дальнейшем пространственном образе, который произошел бы, если бы поверхность выдвинулась из своего поверхностного пространства, как мы не в состоянии составить себе представление об образе, который получился бы при выдвижении тела из известного нам пространства». И т.д.
Общим в обоих примерах, как можно видеть, является то, что речь в них идет об ограничении того, что именуется «геометрией», поверхностью, ее «границами», т.е. сторонами. Позднее Миндинг назвал это «внутренней геометрией» поверхности. Его работа тоже есть в сборнике, но я для простоты процитирую определение из вики: «Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус)». Понятно.
И этот подход можно распространить и на другие случаи. Всякий участок пространства, в границах которого действуют другая метрика, другие законы движения и т.д. и т.п., вполне может в этом же смысле рассматриваться как отдельное пространство со своей геометрией. Игры, на которые мне указывали (те же шахматы), подпадают под такое понятие о пространстве и геометрии. Равно как, кажется, и внутреннее пространство перспективного изображения со сходящимися параллельными, на которое мне указал seashellfreedom.
С точки зрения «правил игры», этот всё действительно разные геометрии. Но - почему я и повторяю вопрос об онтологическом статусе - их можно «вписать» в евклидову геометрию.
Но есть ведь и такие, которые не «вписываются». Или вписываются как-то иначе…
В завершение сошлюсь на замечательный в своем роде документ - письмо Н.Г.Чернышевского детям. Конечно, иметь в совопрошателях Чернышевского, многажды осмеянного, не слишком престижно. Тем более, что в письме этом он в отношении евклидомахов, того же Гельмгольца, груб до неприличия, но сомнения-то его не такие уж дурацкие, имхо.
«Положим, что мы имеем какое-либо множество, или многообразие, элементами которого могут быть какие угодно объекты. В этом многообразии установим различные сопряжения его с самим собою; это всегда возможно сделать в любом многообразии. Сопряжения эти могут быть какие угодно; мы даже не предполагаем, что это должны быть непременно совершенные сопряжения. Далее, каждой паре различных элементов этого многообразия отнесем произвольно выбранное арифметическое число, отличное от нуля; это также, конечно, можно выполнить разнообразнейшими способами.
Таким образом, мы будем иметь многообразие, в котором, установлена некоторая система сопряжений его элементов и каждой паре элементов соответствует некоторое арифметическое число, произвольно, по нашему усмотрению, ей отнесенное. Когда этот процесс выполнен (т. е. когда установлены сопряжения и арифметические числа, отнесенные каждой паре элементов), мы будем называть многообразие геометрическим пространством, его элементы - точками, установленные в нем сопряжения - движениями, а числа, отнесенные парам точек,- расстояниями между точками. Так как эти сопряжения (движения) можно устанавливать чрезвычайно разнообразно и разнообразно же можно распределять между точками расстояния, то чрезвычайно разнообразны могут быть пространства. Соотношения, проистекающие из характера установленных в пространстве движений и расстояний, и составляют геометрию этого пространства». И т.д. - по-моему, все ясно.
Вопросы встают при попытках интерпретировать эти геометрии, отыскивать или строить пространства, им подчиняющиеся. Причем, как уже писал, нет нужды ограничиваться чувственно воспринимаемыми интерпретациями - у о. Павла Флоренского (давно не перечитывал) есть применения к духовному миру.
Первую попытку интерпретировать геометрию Лобачевского, так, чтобы «вписать» ее в евклидову, «отыскать ее реальный субстрат» сделал Бельтрами. У него получилось, что «гиперболическая плоскость» Лобачевского, в которой сумма углов треугольника меньше π, совпадает по метрике с евклидовой псевдосферой. При этом для трех измерений Бельтрами отрицал возможность такой интерпретации, «поскольку пространство, в котором такое представление может материализоваться, отлично от того, что мы обычно называем "пространством"».
А.Коффа рассказывает об этом как раз в интересующем меня контексте полемики вокруг кантовского «чистого созерцания» геометрических предметов и отношений. Интерпретация Бельтрами, пишет он, вполне уживается с созерцанием, псевдосферу можно увидеть. Разрыв с Кантом наступил позже. Коффа указывает на Гельмгольца как опознавшего в геометрии Лобачевского именно новую геометрию - гиперболическую.
Но вот тут можно задержаться. У Гельмгольца в той самой работе, на которую ссылается Коффа, есть большой пассаж про двумерное пространство и его геометрию: «Представим себе-а в этом нет никакой логической невозможности - одаренные рассудком существа всего лишь двух измерений, живущие на поверхности любого из наших твердых тел и движущаяся на ней. Примем, что эти существа не обладают способностью воспринимать что-либо вне этой поверхности, по обладают восприятиями, подобными нашим, внутри протяжения этой поверхности. Если такие существа выработают свою геометрию, то они естественно припишут своему пространству лишь два измерения. Они найдут, что движущаяся точка описывает линию, а движущаяся линия-поверхность, которая для них представляет наиболее совершенный, им известный, пространственный образ (Raumgebilde). Но они так же будут не в состоянии составить себе представление о дальнейшем пространственном образе, который произошел бы, если бы поверхность выдвинулась из своего поверхностного пространства, как мы не в состоянии составить себе представление об образе, который получился бы при выдвижении тела из известного нам пространства». И т.д.
Общим в обоих примерах, как можно видеть, является то, что речь в них идет об ограничении того, что именуется «геометрией», поверхностью, ее «границами», т.е. сторонами. Позднее Миндинг назвал это «внутренней геометрией» поверхности. Его работа тоже есть в сборнике, но я для простоты процитирую определение из вики: «Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус)». Понятно.
И этот подход можно распространить и на другие случаи. Всякий участок пространства, в границах которого действуют другая метрика, другие законы движения и т.д. и т.п., вполне может в этом же смысле рассматриваться как отдельное пространство со своей геометрией. Игры, на которые мне указывали (те же шахматы), подпадают под такое понятие о пространстве и геометрии. Равно как, кажется, и внутреннее пространство перспективного изображения со сходящимися параллельными, на которое мне указал seashellfreedom.
С точки зрения «правил игры», этот всё действительно разные геометрии. Но - почему я и повторяю вопрос об онтологическом статусе - их можно «вписать» в евклидову геометрию.
Но есть ведь и такие, которые не «вписываются». Или вписываются как-то иначе…
В завершение сошлюсь на замечательный в своем роде документ - письмо Н.Г.Чернышевского детям. Конечно, иметь в совопрошателях Чернышевского, многажды осмеянного, не слишком престижно. Тем более, что в письме этом он в отношении евклидомахов, того же Гельмгольца, груб до неприличия, но сомнения-то его не такие уж дурацкие, имхо.