Вопрос к друзьям-математикам (разбиение плоскости на выпуклые семиугольники) ?

[gaz_v_pol]

Плоскость разбита на выпуклые шестиугольники и выпуклые семиугольники (не обязательно равные). Оказалось, что существуют такие числа r и R, что каждый из многоугольников разбиения содержит в себе круг радиуса r, и каждый из многоугольников разбиения можно покрыть кругом радиуса R. Верно ли, что число семиугольников в разбиении - конечно

Comments

[taraslive]

Отношение количества семиугольников ко всем должно стремиться к нулю, тогда их можно делать сколько угодно.

[gaz_v_pol]

Это понятно, что семиугольники должны встречаться все реже и реже, если пример существует. Но я думаю, что примера не существует (но против этого есть препятствие совсем иного рода, чем традиционное рассуждение как в теореме о том, что нельзя на выпуклые равные разбить плоскость). Если ты считаешь, что пример построить легко -- буду тебе весьма признателен.

[taraslive]

Есть, несложно строится.

Я буду строить двойственный, так проще, то есть рР- сетку из треугольников, в которой будут все вершины и меть по 6 ребер а некоторые по 7.

Возьмем правильное разбиение плоскости на треугольники. Его можно разбить на исходящие из центра 6 конусов из треугольников.

Вершины идут слоями, в первом слое 1 вершина, потом 2 потом 3 и так далее.
Выкинем к-ый слой и соединим к-1-ый слой с к+1 так, чтобы получилась ровно одна вершина с 7 ребрами.
Ну и все. Эту процедуру можно повторять например с каждым четным слоем.
Для 6 конусов надо выкидывать одинаковые слои, чтобы они срастались.
Ну и все. В круге радиуса Н будет 6Н вершин с 7 ребрами.

рР видно что не сильно портится, то есть треугольники получаются в два раза длинее, и чуть тоньше.

[gaz_v_pol]

Лёша, привет!
Спасибо, что подумал над моей задачей.
Но! Я рисую так и эдак, и у меня не получается. Если есть вершина, из которой выходит 7 ребёр, то либо появляется новая вершина (два ребра пересекаются), либо если убрать пересечения, получается вершина, из которой выходит 5 рёбер (или меньше). Можно ли попросить тебя нарисовать от руки и сфотографировать рисунок, пожалуйста? Если это затруднительно, скажи, где ты бываешь -- мне эта задача интересна, буду рад подъехать куда тебе удобно, чтобы понять твой пример. Спасибо.