Drittes Reich strikes back. История Ар.
Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности ( Read more... )
По поводу второго: моя мысль была в том, что в принципе возможна такая точка зрения, что Ар рассматривает именно "наш" натуральный ряд -- просто он слишком быстро считает, и у него из-за этого возникают "иллюзии". Он из-за быстроты не может сосредоточиться на определённой идее, которая нам понятна.
Что касается предпочтения, отдаваемому "классическому" натуральному ряду, то, опять-таки, это возможная точка зрения. Мне этого как бы вполне достаточно. Я сравниваю "любимую" конструкцию с другими, и вижу, что она "лучше". У Ар описание сложнее, а наш ряд "минимален". Для Ар он при этом "не существует", то есть он не имеет возможности даже сравнить. Про Ра -- если он умеет считать только до пяти, мы сразу видим, что его картина слишком проста. А вот если бы он мог считать чуть подальше, тут мы бы сказали, что его ряд тоже мало чем отличается от стандартного: это в точности конструкция из альтернативной теории множеств Вопенки.
Кстати, я в прошлый раз забыл сказать одну вещь. Вот есть универсальная машина Тьюринга, у которой вполне определённое количество состояний. Пусть минимальное из таких чисел равно K. Мы его значения не знаем, но догадываемся, что 10, видимо, будет маловато,а миллиона точно хватит. Это значит, что существо, умеющее считать в пределах K, уже способно вместить в себя полный арифметический мир. Образы, используемые при этом, могут быть разными, но они нацелены на один и тот же "идеальный объект".
Reply
Но вы признаёте, что она лучше именно для нас, на основании нашего опыта, а не абсолютно? Ведь Ра, на основании своего опыта может выдвинуть в нашему натуральному ряду такие претензии, какие мы выдвигаем к ряду Ар („слишком сложно“), а Ар - такие же, как мы выдвигаем к Ра („слишком просто“).
> Пусть минимальное из таких чисел равно K. Мы его значения не знаем, но догадываемся, что 10, видимо, будет маловато,а миллиона точно хватит.
Пугаете. :-) Минимальная известная на данный момент универсальная машина Тьюринга имеет 2 состояния и 3 символа. Но даже если K было бы много больше, всё равно, нужно же ещё уметь пересчитывать ячейки ленты.
Reply
Что касается "внешней" точки зрения, когда мы между собой сравниваем несколько представлений, то есть видим и omega, и нестандартную модель, и "укороченную", то здесь выбор как раз однозначен по понятным причинам: omega тут выделяемо, и вступает в силу аргумент минимальности.
Сейчас у меня возник ещё один пример. Вот возьмём "классический" натуральный ряд, который рассматривался в теории чисел и начинался с 1. Потом логики включили в него 0 -- решили, что так удобнее. Хорошо известно, что 0 не сразу приобрёл статус "числа", поэтому можно себе представить взгляд из будущего, который рассматриваем ряд 1, 2, 3, ... как немотивированно "урезанный". Также можно представить себе странную точку зрения, когда кто-то пожелал начать ряд только с 2, решив, что 1 -- это слишком мало. Типа, натуральные числа возникают в процессе счёта предметов; если предмет один, то считать как бы нечего -- всё и так ясно. Однако все такие ряды взаимозаменяемы, и отличаются только обозначениями. Тот, кто начинает ряд с 0, скажет, что 1 в теории чисел -- это новое имя нуля.
Что касается универсальных машин Тьюринга, то я об этих результатах не знал. Спасибо за информацию -- эти конструкции весьма интересны. Я исходил из того, что алфавит у нас двоичный, а главное -- это то, что я представлял себе процесс создания машины, которая напрямую исполняет команды произвольной из машин, записанные в определённом коде на ленте. Здесь 10 состояний, наверное, не хватит, а миллиона должно хватить. Мне в этот момент не пришла в голову мысль, что машина может быть устроена намного проще, но при этом универсальная на ней "моделируется". Это напоминает простые полугрупповые исчисления с неразрешимой проблемой слов, где соотношений мало, и все они короткие.
Reply
> Идея ряда у нас так же, но мы её не слишком совершенно воплощаем -- только и всего.
Интересная мысль. Т.е. вы считаете, что если, например, у некоторого Ар гигантский по нашим меркам натуральный ряд, мощность которого выглядит для нас большим кардиналом, который в нашу ZFC нужно добавлять особой аксиомой, то „идея“ у нас всё-равно одинаковая? Тут непонятно, что собственно останется общего. Только принцип итерации? Но совершенно не очевидно, что именно итерация лежит в основе нашего представления о натуральном ряде. Исторически (и в смысле развития способностей считать и в более узком смысле истории математики) и „идеологически“ первичны, мне кажется, операции сложения и умножения. Итерация была выдвинута на первый план конкретной аксиоматизацией (Пеано-Дедекинда) и последующим развитием теории множеств, строимых итеративно. То же самое применимо и к вашему примеру ряда, начинающегося с 2 (числа и начинались с 2 у пифагорейцев). „1 в теории чисел -- это новое имя нуля“ пройдёт только если забыть про все операции, кроме succ. Но если не забывать про сложение и умножение, то ряды „идеи“ получаются разные, как ваш пример и показывает: в одном ряду сложение имеет нейтральный элемент, а в другом нет.
> здесь выбор как раз однозначен по понятным причинам: omega тут выделяемо, и вступает в силу аргумент минимальности.
Но по аргументу минимальности нужно выбрать натуральный ряд Ra.
Reply
Не могу согласиться с "первичностью" сложения и умножения для натурального ряда. Это уже мышление в рамках алгебраических структур. В эту же категорию тогда просится кольцо целых чисел, но ясно, что это не тот объект, хотя и во многом похожий.
Бывает так, что аксиоматизация сильно удаляет нас от "первоисточника" и от первичной интуиции, но в связи с аксиоматикой Пеано это всё-таки не так.
По поводу ряда, начинающегося с 2, это была моя чистая фантазия, но оказалось, что это и впрямь было реализовано! Не удивлюсь, если у каких-нибудь "ископаемых китайцев" что-то начиналось с 3 или 4 по каким-либо "мистическим" соображениям в духе "нумерологии" (тм) :)
То, что нет нейтрального элемента -- это же ничему не противоречит. И сложение, и умножение будут операциями на любом "урезанном" с начала натуральном ряде.
Натуральный ряд Ра трудно выбрать в качестве "минимального", так как их много, и непонятно, на каком из них следует остановиться. Тогда можно дойти до идеи не рассматривать вообще ничего :) А если брать "укороченный" ряд, состоящий из чисел, до которых мы умеем досчитывать, то это, как уже говорилось, одна из "версий" всё того же omega.
Reply
Тут я вас не понимаю. С точки зрения „независимой экспертной комиссии“, сравнивающей ряды „внешним образом“ есть ряд Ра, потом какие-то ещё промежуточные ряды, потом наша омега, потом ещё ряды, потом ряд Ар, потом ещё и ещё. И этот ряд рядов однороден. Если выбрать критерием минимальность, то нужно идти до упора до ряда {0} или {}. Мне кажется мы выяснили, что наша омега не выделена ничем, кроме некоторого опыта, характерного только для нашего мира, поэтому при сравнении „внешним образом“ она никакой особой роли не играет.
Reply
Reply
Слишком сильное для кого? Во-первых, представитель Ра в комиссии будет явно возражать, во-вторых, вполне вероятно, что для Ар наша omega настолько же мала, насколько для нас мало 5. Непонятно, как определить критерии „малости“ и „достаточно необозримости“ независимым способом.
Reply
Критерии здесь для "стороннего" наблюдателя простые: omega является моделью натурального ряда, с которой "начинается" другая модель. Значит, она "лучше". А ряды типа 0, 1, ... , 5 не годятся, потому что не удовлетворяют аксиомам Пеано.
Reply
А чтобы отвергнуть нашу точку зрения, ей достаточно досчитать до нестандартного числа.
> А ряды типа 0, 1, ... , 5 не годятся, потому что не удовлетворяют аксиомам Пеано.
С нашей точки зрения не удовлетворяют, но точки зрения Ра удовлетворяют. Точно также, как омега не годится, потому что с точки зрения Ар она не удовлетворяет аксиомам Пеано.
Т.е. несмотря на заявления об обратном, вы явно сформировали комиссию исключительно из представителей восставших матросов, рабочего класса и трудового крестьянства.
Reply
Да, но тогда это означает встать на точку зрения Ар, и в результате утратить само понятие нашей "омеги". Тогда просто нечего будет оценивать.
> омега не годится, потому что с точки зрения Ар она не удовлетворяет аксиомам Пеано
По-моему, мы с самого начала говорили, что Ар не умеет выделять "омега". То есть сам этот тезис нуждается в коррекции.
> c точки зрения Ра удовлетворяют
У нас нет одного Ра: есть Ра-5, Ра-6, и так далее, и каждый кулик своё болото хвалит уверен в своей правоте. Может ли Комиссия, видя всё это, не отнестись иронически к такой ситуации, будь она составлена из матросов, или из приват-доцентов? :)
Кстати, если говорить про Ар, то он в любом случае считает, что его множеству M принадлежит 0, и вместе с каждым n из M число succ(n) тоже принадлежит M. При этом M минимально относительно этого свойства. То есть, с нашей точки зрения, он именно omega и рассматривает. Тот факт, что у него умственные представления другие, ничего не меняет. "Эйдос" тот же, а мысли по его поводу, конечно, могут зависеть от настроения, от ширины железнодорожного полотна -- от чего угодно. На единственности представлений об идеальных объектах я никогда не настаивал.
Reply
> Да, но тогда это означает встать на точку зрения Ар, и в результате утратить само понятие нашей "омеги". Тогда просто нечего будет оценивать.
Так по отношению к Ра вы и встали на такую точку зрения. Он же считает у него есть своя Ра-омега, а вы говорите: „могу досчитать до 7 и знать ничего не желаю“.
С точки зрения жителя любой вселенной, его натуральный ряд заканчивается омегой, а с точки зрения „верхних этажей“ этой омеги нет.
> У нас нет одного Ра: есть Ра-5, Ра-6, и так далее
Всё правильно: Ра-5, Ра-6, ... Ра-омега (это мы), Ра-омега+Х, ... И как в этом ряду выбрать „правильную“ точку непонятно, они все совершенно одинаковы, что изнутри, что и снаружи. (Для непредвзятого наблюдателя, конечно.)
> M принадлежит 0, и вместе с каждым n из M число succ(n) тоже принадлежит M. При этом M минимально относительно этого свойства.
Это не может быть идеей натурального ряда целиком. Допустим, я сообщу человеку, не знающему математики, что такая функция succ есть на континууме (а она есть, т.к. любое множество можно вполне-упорядочить), т.е. на множестве точек прямой. Согласится ли он, что континуум есть натуральный ряд? Нет. Почему? Видимо у нас есть некие интуитивные основания утверждать, что существует меньшее M с такими же свойствами. Эти „основания“ суть тоже часть интуитивного представления о натуральном ряде. Это можнт быть представление о последовательности единиц времени или отрезков на прямой, или какой-либо другой вид опыта, но так или иначе они есть, они часть идеи натурального ряда и они в разных вселенных разные.
И потом, с вашим определением получается, что Ра нас гораздо умнее, т.е. он смог „минимизировать“ свои M сильнее, чем мы.
Reply
Вот мы изучили "автомат" Ра, пришли к выводу, что он умеет считать только до 7, а мы умеем считать дальше, и тем самым мы его как бы "покрыли", то есть показали, что его ряд в каком-то смысле "неполный". Он может с нами не согласиться, но суть не в этом. Рассмотрим теперь ту же ситуацию в плане уже обсуждавшейся "пропорции" Ар:Nos=Nos:Ра. Может ли Ар проделать с нами то же самое, что мы только что проделали с Ра? Я здесь не просматриваю "симметрии" вот в каком плане: мы смогли выделить то начало натурального ряда, которым оперирует Ра (думая, что что это и есть "омега"), а что выделит Ар? Если он выделит реальное "омега", то это будет противоречить всему, о чём говорилось ранее. То есть у Ар нет какого-то "замечательного" собственного начала его натурального ряда, заслуживающего внимания. Так же как для нас ничем не "замечательны" ряды от 0 до 6 или от 0 до 100. Тогда на чём же нас в принципе можно "поймать"? Если на том, что наша Вселенная слишком маленькая, и мы в принципе не можем строить числа, большие определённой величины, то в этом никакого открытия нет -- это мы и сами прекрасно знаем. А есть ли какой-то ещё способ "разоблачения", отличный от того, как мы это сделали с Ра, при этом явно выделив его натуральный ряд? Ведь мы указали, на чём именно Ра остановился, и "сторонний" наблюдатель в этом деле с нами согласится. А что должен указать Ар?
Reply
Мне кажется возникла путаница из-за того, что в разные моменты времени рассматривались разные по „силе интеллекта“ Ар.
„Слабый“ вариант такой:
Ра считает, что его натуральный ряд начинается с 0, 1, ... . За этим рядом для него идёт его омега.
Мы знаем из нематематических соображений, что 7 - бесконечное для Ра число. Отсюда непосредственно следует, что натуральный ряд Ра, с нашей точки зрения, построен на заблуждении, что его Ra-succ - биекция.
Мы сами считаем, что наш натуральныя ряд начинается с 0, 1, ... . За этим рядом для нас идёт омега.
Ар знает из нематематических соображений, что X - бесконечное для нас число. Отсюда непосредственно следует, что наш натуральный ряд, с точки зрения Ар, построен на заблуждении, что Nos-succ - биекция.
В „сильном“ варианте в дополнение ко всему, что есть в слабом, известно кое-что ещё.
Мы знаем не только, что 7 бесконечное для Ра число, но знаем (например простым перебором), что наименьшее из Ра-бесконечных чисел это 6, а, значит Ra-omega = [0. 6).
Соответственно, Ар не просто знает, что X является Nos-бесконечным, но и знает наименьшее Nos-бесконечное число MININF, а, значит, с его сильной точки зрения наш натуральный ряд есть [0, MININF).
Имеет смысл рассматривать всё в слабом или всё в сильном варианте. Мне слабый вариант кажется предпочтительнее, т.к. он меньше коробит нашу интуицию.
> Если на том, что наша Вселенная слишком маленькая, и мы в принципе не можем строить числа, большие определённой величины, то в этом никакого открытия нет -- это мы и сами прекрасно знаем.
Это соображение уже встречалось выше. Речь идёт не о числах, которые мы не может строить потому, что „атомов не хватает“, а о числах нестандартных, т.е. находящихся за пределами нашего натурального ряда. Утверждение о том, что Ра может досчитать до таких чисел можно воспринимать либо как условие задачи („ Представим жителя параллельной вселенной [...] для которого множество единиц времени [...] образует ординал, больший ω.“), либо как неким образом обоснованное, например, физическими наблюдениями за его вселенной, предположением, что наша вселенная им симулируется, предположением, что он божество, способное наблюдать за нашими эйдосами и сравнивать их со своей интуицией, и т. д.
Reply
Пусть будет так. Но мы уже раньше выясняли, что в модели N+Z*Q число X подразумевается находящимся "за" N. У нас возникли некоторые трудности с предъявлением критерия, отличающего числа из N от последующих. Это значит, что X есть для Ар какое-то вполне "ординарное" натуральное число -- возможно, имеющее какое-то своё название типа "ардодекальон". Оно для Ар ничем не отличается принципиально от остальных чисел. Он просто замечает, что "земляне" до этого количества не могут досчитать. А кто-то ещё -- скажем, "марсиане", до этого количества считать умеет, но не умеет считать до 10 в степени ардодекальон. Это всё хоть в слабом, хоть в сильном варианте означает то ограничение, о котором мы в принципе знаем сами. Никакого "радикального" разоблачения при этом всё-таки не происходит. Скажем, про себя мы считаем, что представляем себе omega, а про Ра думаем, что его представление неполное, хотя он сам склонен считать, что работает с тем же omega. Поэтому идея везде остаётся той же -- разными будут лишь способы её "воплощения", с чем я совершенно не спорю. Одну и ту же "радиоволну" можно улавливать в совершенно разном аудиокачестве.
Reply
Со всем до этого места я согласен, но о каком „разоблачении“ тут говорится не совсем понимаю. Моя позиция всегда была в том, что натуральные ряды разные, каждый из них полностью правомерен для своих создателей. „Разоблачать“ с моей точки зрения можно только попытки объявить один из натуральных рядов выделенным, но мы кажется договорились, что это невозможно.
> Поэтому идея везде остаётся той же
Хотелось бы уточнить, что здесь понимается под идеей. На мой взгляд, единственное что здесь более-менее сохраняется „тем же“ это аксиоматика Пеано.
Если под идеей понимается „эйдос“ натурального ряда, то он явно разный, т.к. совокупности истин о натуральных числах в разных мирах существенно разные, это сразу следует из теорем о полноте и неполноте, как в исходном сообщении и было указано.
Reply
Leave a comment