Drittes Reich strikes back. История Ар.
Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности.
Как это можно установить? Например, астрономические данные параллельной вселенной показывают, что наблюдаемоё в ней распредление материи не могло установиться за конечное время. Или уравнения движения его мира требуют неархимедового анализа.
Допустим, Ар получил по библиотечному обмену книжки земного курса математической логики.
Вот он читает аксиомы Пеано и мысленно конструирует их модель, основываясь на своей интуиции счёта, основанной, в свою очередь на течении времени в его вселенной (привет Брауэру). Для нас - это какая-то нестандартная модель PA весьма специального вида: кроме обычной схемы аксиомы индукции в ней выполняется индукция по формулам бесконечной длины. Конечно, Ар усматривает в натуральных числах гораздо больше истин, так как ему естественны доказательства бесконечной с нашей точки зрения длины.
Вот он читает определение машины Тьюринга: „... неограниченно продолжающаяся в обе стороны счётно-бесконечная лента ...“ - и представляет ленту индексированную элементами своего натурального ряда. Похожим образом он интерпретирует число состояний машины и отмечает выполнение тезиса Тьюринга: класс функций, вычислимых его машинами Тьюринга, совпадает с классом рекурсивных функций на его натуральном ряде.
Вот он читает формулировку и доказательство первой теоремы Гёделя о неполноте и убеждается в её справедливости.
После этого, он подходит к телефону, звонит *вам* и говорит: „За всю мою жизнь, (продолжающуюся, кстати, уже бесконечное количество ваших вечностей) я никогда не встречал существ столь проницательных. Будучи крайне ограниченны и по времени жизни своей расы (его не хватит даже на просмотр музея подарков на мои дни рождения) и по возможностям своего разума (вы и в принципе не сможете запомнить каталог этого музея), вы создали математику моего мира!“ Станете ли вы переубеждать вашего собеседника? Как?
Как доказать Ар, что его натуральный ряд „нестандартен“, некоторые из его чисел, „на самом деле“ бесконечны, и что он содержит в качестве префикса „настоящий“ натуральный ряд?
Понятно, что аргументы о построении инициальной модели „итерацией“ или апелляцией к аксиоме бесконечности неубедительны, потому что Ар применял точно такие же соображения при построении своего натурального ряда. С его точки зрения ваша позиция выглядит как радикальный ультра-финитаризм, произвольно обрывающий итерацию в некоторой конечной точке.
Вы можете попросить Ар привести пример числа большего всех наших натуральных чисел, но лучше этого не делать, потому что конца последовательности десятичных цифр, которую он начнёт зачитывать, вы никогда не дождётесь.
Вы можете попробовать обратиться к ординалам, и убедить Ар, что ω это первый предельный ординал и модель PA.
Однако линейно упорядоченное множество вполне упорядочено точно тогда, когда всякая строго убывающая цепь имеет конечную длину. Но у Ар больше конечных чисел, следовательно, больше ординалов, а, значит, предельные ординалы „реже“. Ясно, что с точки зрения любой модели PA, эта самая модель и есть первый предельный ординал. Т.е. множества ординалов в наших вселенных тоже разные.
К этому моменту должно быть ясно, что таким же образом не сработает апелляция к определению бесконечности по Дедекинду. То, что отображение λ.x:N.(x + 1) отображает N в N обеспечивается только аксиомами Пеано.
Более тонкий подход основан на теореме о полноте (или компактности). Построим явно „гёделево высказывание“ G, независимое от аксиом PA. По теореме о полноте, такое G обязательно ложно в некоторых моделях. Всегда можно найти подходящее G ложное в арифметике Ар. Теперь мы можем сказать Ар: „В моем мире G истинно, а в твоём ложно, значит наши арифметики различны, и твоя неправильная, т.к. к ней ложно утверждение, утверждающее собственную недоказуемость“. На что Ар, после некоторого размышления ответит: „О нет, все ваши проблемы от того, что вы произвольно ограничили глубину формул неким фиксированным числом. ~G вполне доказуемо, вот его доказательство ...“. К сожалению, когда он закончит зачитывать доказательство, некому будет его осмыслить, а телефонный счёт сам будет нестандартным числом, т.к. в этом доказательстве не менее ω шагов.
Но может быть мы зря ограничиваемся теориями первого порядка? В конце концов, все модели арифметики второго порядка изоморфны. Однако, если Ар попытается воспроизвести стандартное доказательство этого факта, он убедится, что наши натуральные числа, которые для него выглядят как множество чисел меньших некоторого числа ω (конечного для него), не образуют модели арифметики второго порядка. С его точки зрения, наша математика подходит для его мира, но не для нашего!
Если мы приходим к выводу, что нет возможности убедить Ар в нестандартности его натурального ряда, давайте сами позвоним жителю другой параллельной вселенной по имени Адмирал Есвольп-3, который парадоксальным образом утверждает, что *наш* натуральный ряд нестандартен, и переубедим его.
Очевидно, это не удастся по тем же причинам. (Действительно, наш собеседник и в этом случае живёт в несколько другом времени.)
Что же нам остаётся? Либо признать, что выбор натурального ряда связан с физическими свойствами наблюдаемого мира, и в разных частях мира натуральные ряды разные. Либо признать, что гипотеза о существовании Ар вносит противоречие, что математические понятия не априорны, а подразумевают определённые свойства внешнего мира, в частности базовая интуиция числа и счёта связана со свойствами времени. Что, в принципе, не отличается от первого варианта.
Другими словами, арифметика находится в таком же положении, как и геометрия: выбор „канонического натурального ряда“ столь же мало осмысленнен, как и выбор „правильной“ формы постулата о параллельных.
Впрочем, и звонить никуда не надо. Нет никакого способа убедиться, что натуральный ряд вашего соавтора или рецензента такой же как ваш. Можно возразить, что тождество интуитивных представлений установимо по одинаковым ответам на „вопросы высших порядков“ (все свойства первого порядка, очевидно, одинаковы), но тут к вам подойдёт поздний Витгенштейн и расскажет совсем другую историю.