Drittes Reich strikes back. История Ар.

[furia_krucha]

Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности

Comments

[moonwalker72]

Для меня экстремальным и непонятным является само существование понятия о бесконечном - одного из идеалов, которому ничто в физическом мире не соответствует. Пенроуз измыслил для этого квантовую метрику с замкнутым временем, в котором число событий конечно, но число повторений каждого события - бесконечно, и такая метрика дает "вклад" в виде квантово-гравитационной суперпозиции и на выходе получается какая-то микромасштабная "загогулина", которая определенным образом влияет на редукцию уже физических квантовых состояний к классическим, причем без наличия оной "загогулины" понятие о бесконечном в сознании "не может возникнуть" - пока это чистая фантазия. А очень жаль. Бесконечное - это высокая и совершенно неочевидная абстракция.

физикализм?

[falcao]

А почему Вы именно "физический мир" берёте в качестве "мерила"? С таким же успехом можно было бы взять в качестве "эталона" то, что находится в моей комнате.

Если так оказывается, что кто-то считает физику ценной и важной, а для построения физических моделей (заведомо не тождественных реальности) используется математический аппарат с привлечением чего-то "идеального", то почему бы не принять это всё в качестве должного?

Re: физикализм?

[furia_krucha]

Тут еще интересно, почему считается что, скажем, электроны (которых, допустим, конечное число) „реальны“, а точки на траекториях этих самых электронов - „идеальны“. Притом что идеальные объекты (т.е. расстояния) можно измерить непосредственно линейкой, а вот измерять параметры электрона можно только очень и очень косвенно.

выпьем за Дедекинда?

[falcao]

Да, если эту мысль "раскручивать", то много к чему можно будет прийти. Только при этом не хотелось бы, чтобы мысль останавливалась в том месте, как у Карнапа (Вы когда-то её цитировали). Тут хотелось бы к идее Бога прийти (пусть "философского") -- это достаточно хороший шанс

Рассекая Кантора

[furia_krucha]

Но для Ар первый предельный ординал это ординал „его“ натруального ряда. Что такое наша ω он не понимает. С его точки зрения мы произвольно влепили предельный ординал в гуще конечных чисел, он в этом месте никакого ординала не видит и уж точно не замечает в его окрестностях бесконечного по Дедекинду множества. Более того, гарантировано нет формулы (первого порядка), которая отличала бы числа меньшие ω от чисел больших ω. Т.е. мы не только вставили несуществующий предельный ординал, но и отказываемся сказать где именно.

центральный момент

[falcao]

Вот это мне как раз и непонятно. Если в самом деле так оказывается, что для существа с более высоким "уровнем финитности" по каким-то причинам omega никак не выделить, то я со всеми дальнейшими выводами и следствиями соглашусь.

Но пока что я не вижу, почему обычные способы выделения не подходят. Попробуем "выделить" в качестве "особенного" число 12345 -- ничего не получится. А если я говорю про наименьший ординал, все элементы которого конечны (по Дедекинду), то в чём недостаток такого описания? Что в этом смысле происходит с точки зрения Ар? То ли в его понимании такого ординала нет, то ли это не ординал, то ли он конечен, то ли у него есть не конечные элементы -- где именно "косяк"?

Желательно объяснить этот момент заново, потому что в тексте поста встречается аргументация, с которой я не могу согласиться.

В ожидании [возвращения] Пуанкаре

[furia_krucha]

Мне пришла в голову такая иллюстрация: Ар может начать считать 0, 1, 2, 3 и дойти до числа N, которое для нас нестандартно (понятно, мы не дождемся окончания счета, если только он не начал считать бесконечно давно). Все элементы этой последовательности, кроме нуля, суть следующие ординалы, т.е. имеют форму succ(y), для какого-то y. Значит предельных ординалов в этой последовательности нет. Значит нашей ω в его математике нет.

совмещение

[falcao]

Не хотелось бы "разветвлять" обсуждение (я знаю, что наличие нескольких одновременных "веток" сильно влияет на скорость моего ответа). Но раз вопрос здесь поставлен, я здесь же и напишу (а потом можно будет всё соединить

Ар-ба.

[furia_krucha]

> Что в этом смысле происходит с точки зрения Ар

минуя капитализм

[falcao]

Сейчас стало немного яснее -- я представил себе множество omega+Z (этого достаточно, наверное?), и тогда можно исходить из ситуации, когда Ар сначала пересчитал все обычные натуральные числа, а потом попал во вторую часть множества (то есть в Z), и каким-то волшебным образом просчитал все целые числа "с самого начала" -- при том, что никакого "начала" с нашей точки зрения там нет. Но мало ли -- Зенон тоже предлагал рассуждение, что стрела не может начать двигаться. Всякое бывает

Re: минуя капитализм

[furia_krucha]

> omega+Z (этого достаточно, наверное?)
Минимальная нестандартная модель будет omega+Z*Q, но рассуждения это существенно не меняет

с высоты развитого сознания

[falcao]

Я рассматривал такую аксиоматику, где присутствует только унарная операция succ(n), поэтому omega+Z было достаточно. Насколько я понял, более сложная конструкция требуется тогда, когда определения сложения и умножения считаются частью аксиоматики. Но я тоже думаю, что суть рассуждений от этих деталей не меняется

пик epsilon_0

[furia_krucha]

> Свойство конечности ординала им понятно (по Дедекинду), поэтому ничего не мешает рассмотреть совокупность всех таких конечных ординалов.
Но если Ар такую совокупность рассмотрит, то он получит _свой_ натуральный ряд, а не наш. Для него все числа его натурального ряда, включая числа с нашей точки зрения нестандартные, конечны. В частности они все записываются в виде succ(succ(...(succ(0))..)), где длина формулы с нашей точки зрения бесконечна, а с его - конечна.

Хотелось бы услышать каким образом, не ограничиваясь формулами первого порядка, вы сможете указать Ар, как отличать числа, конечные с нашей точки зрения, от бесконечных с нашей точки зрения.

сдвиг на 1

[falcao]

Так пусть он рассматривает свой. Но если он возьмёт отображение, которое x переводит в succ(x), то получится биекция на собственное подмножество. А для чисел 0, 1, 2, ... такой эффект невозможен. Значит, это позволяет выделить конечные в нашем смысле числа.

Я не сомневаюсь в том, что Вы такое рассуждение учитывали, но мне непонятно, что на него можно возразить.

Скромное обаяние неподвижной точки

[furia_krucha]

> Значит, это позволяет выделить конечные в нашем смысле числа.
Вовсе нет. Нестандартые с нашей точки зрения числа будут для Ар конечны по Дедекинду. Задумайтесь, чем обосновывается бесконечность по Дедекинду натурального ряда (т.е. наличие биекции на собственное подмножество λx:N.(x + 1))? Аксиомами Пеано и ни чем иным. А как доказывается конечность по Дедекинду всех натупальных чисел? По индукции. Точно также, Ар убедится, что его натуральный ряд бесконечен по Дедекинду, а все его натуральные числа, включая нестандартные для нас числа, конечны.

Чтобы продемострировать Ар, что некоторое нестандартное число N бесконечно по Дедекинду, нужно предъявить биекцию нежду T = {n | n < N} и его собственным подмножеством, например f = λx.(x + 1). Но для Ар (да и для нас, вообще-то) N = succ(N - 1), поэтому f не отображает T в T.

необозримые рассуждения

[falcao]

Мне с самого начала был непонятен аргумент насчёт аксиом Пеано. Их можно понимать как неявное описание свойств того, что мы понимаем под натуральным рядом. Если вдруг кто-то пожелает от одной или нескольких аксиом отказаться -- это будет другая структура. Скажем, можно наложить условие, что succ(N)=0, обосновав это, скажем, "цикличностью" времени. Но тогда это будет уже не натуральный ряд