Drittes Reich strikes back. История Ар.
Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности ( Read more... )
Теперь посмотрим на построенный объект с нашей точки зрения. Понятно, что числа из Z образуют подмножество, которое не имеет наименьшего элемента. Значит, нарушается одно из свойств вполне упорядоченного множества (как минимум, для нас). Допустим, что два определения, которые в "классической" ситуации будут эквивалентны, не окажутся таковыми в ситуации другого типа. Тогда мы должны брать за основу то, что больше подходит для наших целей.
То же самое касается языков и формул первого порядка. Если мы ясно видим, что такого рода языковых средств не хватает для выражения определённых мыслей, то надо брать другой подходящий язык. Понятно, что "привязка" к языкам определённого типа имеет чисто историческую природу: в какой-то момент людям показалось, что на этом языке выразимо "фсё", но потом выяснилось, что это не так. Тогда надо освободить себя от "пут" -- только и всего.
Единственную возможность отстаивать далее возможность "нестандартной" точки зрения я вижу в том, что мы не сможем втолковать "иновселенцу" суть того, что мы понимаем здесь под Z. Но если такое множество как-то можно выделить с помощью какого угодно признака, то в нём нет наименьшего элемента, и тогда перед нами не натуральный ряд, а нечто другое. С моей "наивной" точки зрения, перед элементами Z находится бесконечно много элементов, а для каждого n это множество конечно. Это может являться основанием для "сепарации", если только не окажется, что смысл "бесконечного" для Ар какой-то другой. Вы даже сказали явно, что он другой, но я бы выразил ту же мысль более мягко: за счёт различия представлений о конечном, смысл каких-то понятий может оказаться другим. Но какие-то вещи останутся инвариантными -- скажем, число 7 по-любому конечно, и оно есть в обеих "вселенных".
Reply
Минимальная нестандартная модель будет omega+Z*Q, но рассуждения это существенно не меняет.
> Единственную возможность отстаивать далее возможность "нестандартной" точки зрения я вижу в том, что мы не сможем втолковать "иновселенцу" суть того, что мы понимаем здесь под Z.
Собственно исходный пост и был про то, что мы не может объяснить, что такое Z (или omega, что еще проще).
> Но какие-то вещи останутся инвариантными -- скажем, число 7 по-любому конечно, и оно есть в обеих "вселенных".
В этих двух вселенных да, но ситуаицю можно развернуть. Представьте собеседника не из очень большой и старой вселенной, а из очень маленькой и коротко живущей. Нечто вроде демона в автомате Тьюринга с короткой лентой и ограниченным запасом хода. Возможно он не успевает досчитать до 7. Опять же, в исходном сообщении был достаточно прозрачный намек на ультра-финитаристов, считающих, что 10^10^10 не существует и в нашей вселенной.
Я, кстати, хотел уточнить: вы согласны, что Канонический Натуральный Ряд зависит от особенностей той части мира, где мы живем?
Reply
По поводу последней фразы: конечно, я не согласен с тем, кто Канонический Натуральный Ряд от чего-то может зависеть. Тем более от "физики". Конечно, что-то может зависеть от ограниченности ресурсов или "узости" сознания, но в данном случае мы обсуждаем существ заведомо более "продвинутых". Следовательно, их сознанию должно быть доступен наш уровень. И тогда они могут представить себе всё то же самое, что и мы. Свойство конечности ординала им понятно (по Дедекинду), поэтому ничего не мешает рассмотреть совокупность всех таких конечных ординалов. То, что при этом приходится выходить за рамки свойств, представимых формулами первого порядка, я не считаю препятствием. И в этом существенное отличие от человека, для которого 7 или 10^10^10 -- это омега "много".
Reply
Но если Ар такую совокупность рассмотрит, то он получит _свой_ натуральный ряд, а не наш. Для него все числа его натурального ряда, включая числа с нашей точки зрения нестандартные, конечны. В частности они все записываются в виде succ(succ(...(succ(0))..)), где длина формулы с нашей точки зрения бесконечна, а с его - конечна.
Хотелось бы услышать каким образом, не ограничиваясь формулами первого порядка, вы сможете указать Ар, как отличать числа, конечные с нашей точки зрения, от бесконечных с нашей точки зрения.
Reply
Я не сомневаюсь в том, что Вы такое рассуждение учитывали, но мне непонятно, что на него можно возразить.
Reply
Вовсе нет. Нестандартые с нашей точки зрения числа будут для Ар конечны по Дедекинду. Задумайтесь, чем обосновывается бесконечность по Дедекинду натурального ряда (т.е. наличие биекции на собственное подмножество λx:N.(x + 1))? Аксиомами Пеано и ни чем иным. А как доказывается конечность по Дедекинду всех натупальных чисел? По индукции. Точно также, Ар убедится, что его натуральный ряд бесконечен по Дедекинду, а все его натуральные числа, включая нестандартные для нас числа, конечны.
Чтобы продемострировать Ар, что некоторое нестандартное число N бесконечно по Дедекинду, нужно предъявить биекцию нежду T = {n | n < N} и его собственным подмножеством, например f = λx.(x + 1). Но для Ар (да и для нас, вообще-то) N = succ(N - 1), поэтому f не отображает T в T.
Reply
Что касается положения succ(N-1)=N, то мне пока непонятно, откуда оно берётся. Каков его статус? Это утверждение о какой-то определённой модели? Тогда надо задать интерпретацию succ. То есть этот вопрос для меня пока не ясен.
Что касается индуктивного доказательства, о котором Вы говорите, то надо его более подробно проанализировать. Я пока не вижу состоятельного способа такое рассуждение провести. Дело в том, что в "ультраинтуиционизме" Есенина - Вольпина рассматриваются "обозримые" и "необозримые" числа, с соответствующими свойствами, но там наложен запрет на доказательства "необозримой" длины -- в противном случае аксиоматика сразу становится противоречивой. Здесь же я не вижу возможности совместить "оголтелую" индукцию со свойством succ(N-1)=N. Казалось бы, в чём проблема? Досчитай до N (он же умеет?), и убедись, что это не так.
Reply
Вы говорите, что существо с „обширным умом“ сможет выделить множество стандартных чисел, как множество чисел конечных по Дедекинду (отождествляя N c множеством T(N) всех чисел меньших N).
В частности, досчитав до некоторого нестандартного с нашей точки здения числа N, это существо сможет убедиться, что это число бесконечно по Дедекинду, т.е. сможет найти биекцию между T(N) и неким собственным подмножеством T(N).
Как именно это существо сможет построить такое отображение, убедиться, что у него нужные области определения и значения и убедиться в его биективности?
Reply
Можно поступить по-другому: у нас есть счётные линейно упорядоченные множества, и каждое из них можно вложить в R (и даже в Q) с сохранением порядка. Тогда "пересчёт" можно было бы представлять себе так, что эти множества кто-то изобразил, а мы потом их окинули взглядом слева направо (то есть мы сами можем делать почти то же, что и Ар). Для случая N+Z, пусть он и упрощённый, элементы имеют вид a(k) при k \in N, а также b(m) при m \in Z. Здесь переводом k в k+1 и m в m+1 всё достигается.
P.S. Я сейчас заметил, что в предыдущем комментарии внёс некоторую путаницу. У Вас было сказано, что succ(N-1)=N, что само собой разумеется, а мне почему-то подумалось, что у "очень большого" числа последующим является оно само, то есть я мысленно посчитал, что Вы говорите про succ(N)=N. Поскольку это не так, то соответствующая часть вопроса снимается. А то могло быть так, что "много" плюс один -- это то же самое "много".
Reply
Представим, что Ар строит последовательность таких пар в процессе счета. Досчитав до произвольного числа N, он получил последовательность (0, 1), ..., (N - 1, N), задающее отображение f. Но f явно не является биекцией между T(N) и T(N)-{0}, потому что f(N-1)=N \notin T(N). Так как N произвольно, то всякое число, до которого Ар может досчитать конечно для него по Дедекинду (разумеется, мы не можем сразу заключить этого из рассмотрения одного единственного отображения f, но общий принцип должен быть понятен).
> Здесь переводом k в k+1 и m в m+1 всё достигается.
(Наверное имелся в виду перевод k в k+1 и m в m, так как мы хотим доказать бесконечность некоторого нестандартного числа, расположенного в Z-части, а не бесконечность всего нестандартного натурального ряда, которая не оспаривается.)
Теперь у меня возникает такой вопрос: каким образом вы устанавливаете, что построенное таким образом отображение есть биекция? Является ли это непосредственным и неделимым актом интуиции, или вы можете вывести биективность из каких-то более базовых принципов? Т.е. фактически вопрос такой: чем обосновывается утверждение о том, что succ это биекция из omega на omega-{0}?
Reply
Иными словами, если в самом деле построен "натуральный ряд", то он должен быть бесконечен по Дедекинду. Также можно заметить, что начальные члены ряда конечны по Дедекинду, и Ар имеет возможность в этом убедиться, перебирая конечное число вариантов биекций между множеством и его собственным подмножеством. Ввиду того, что такая проверка возможна на каждом шаге, не получится ли у нас, что Ар отследит самый первый шаг, когда он из конечного перешёл в бесконечное?
Reply
> Также можно заметить, что начальные члены ряда конечны по Дедекинду, Ар имеет возможность в этом убедиться, перебирая конечное число вариантов биекций между множеством и его собственным подмножеством.
Ар имеет возможность явно убедиться в конечности любого члена своего натурального ряда. Или он может отметить, что множество T(N+1) получается из T(N) добавлением одного элемента и конечность T(N+1) по Дедекинду следует из конечности T(N). Т.е. доказать конечность всех своих натуральных чисел индукцией. Не какой-то „трансфинитной“ индукцией, а самой обычной индукцией по своему натуральному ряду.
Если вы ему скажете, что для нестандартных N, T(N) содержит подмножество omega, такое что succ(omega) \subset omega, то он вам возразит, что здесь налицо элементарная ошибка, т.к. если succ(omega) \subset omega, то тем более succ(succ(omega)) \subset omega и вообще succ^n(omega) \subset omega, (где n любой ординал) однако пересчет чисел по порядку 0, 1, 2, ... в точности описывается последовательностью succ^0(0), succ^1(0), succ^2(0), ... и эта последовательность гарантировано доходит до N, т.е. выходит за omega.
Т.е. с его точки зрения то, что нам кажется, будто посреди его натурального ряда спрятан предельный ординал есть обычная ошибка, связанная с нашей неспособностью отчетливо мыслить о больших числах.
Симметрично, дух в конечном автомате, для которого 7 - нестандартное число, будет считать, что есть предельный ординал меньший 7 и нестандартная модель арифметики для него может выглядеть как
0, 1, 2, 3, 4, 5, omega, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, omega
Для этого духа числа 4 и 5 такие гигантские, что помыслить succ(5) он не в состоянии. А цепь 0, 1, 2, ... обрывается на 5 потому что к этому моменту в его вселенной проходит вечность.
Reply
Ар рассматривает некоторый отрезок своего натурального ряда. Для нас он имеет вид 0,1,2,...,...-2,-1,-0 (суть обозначений понятна). С нашей точки зрения, "омеги" тут вообще нет, и с точки зрения Ар это тоже так. Далее, Ар считает, что его число -0 в этом ряду конечно, так как он до него лично досчитал. И для него нет принципиального отличия этого числа от 54321. Это значит, что он его считает конечным в "классическом" смысле. Что до конечности по Дедекинду, мы легко строим собственное вложение по принципу, скажем, k -> k+1 и (-m) -> (-(m+1)), то есть ряд сжимается с двух сторон. Ар этого отображения не понимает, потому что для него нет границы между числами вида +k и -m, то есть он не понимает, по какому принципу мы идём вперёд или назад. И с его точки зрения, это отображение не задано.
Вроде бы всё нормально, но с нашей точки зрения получается так, что Ар не видит чего-то, что видим мы. Тогда Вы проводите сравнение между нами и "духом". Но тогда я хотел бы увидеть более полную аналогию. Тот ряд, который построил "дух" (назовём его "АнтиАр"), содержит "омега", а в изучаемой нами ситуации этого ни у кого нет. Классический натуральный ряд содержит только конечные числа, и мы ординальный счёт не ведём. Ар тоже считает как умеет, и у него "омега" не возникает. По идее, "АнтиАр" должен оборвать счёт там, где мы его продолжаем. Тогда я могу согласиться с тем, что его ряд имеет вид 0, 1, ... , 5, а дальше просто ничего нет. Дальше идёт бесконечное число, аналогичное нашему "омега", и оно не есть член натурального ряда. При этом succ(5) не определено, и оно даже не может быть названо, потому что для АнтиАр это странный объект типа succ(succ(....(succ(0))...), где оператор succ применён недостижимое число раз.
Так вот, аналогия будет более полной, если окажется, что АнтиАр с его ограниченным сознанием будет считать, что он умеет делать со своим рядом нечто, что мы делать не умеем. Подобно тому, как мы умеем в своих представлениях отделять числа k от следующих за ними чисел -m.
Reply
Рассмотрим ту же модель N+(-N) из чисел вида k и (-m). Укажем на число из левой половины, которая нам видна. Скажем, на 1000. Ясно, что Ар не составит труда инъективно отобразить числа 1, 2, ... , 1000 из начала в конец. Если бы мы указали ему на число из правой половины, типа -1234, то Ар бы не сумел инъективно отобразить предшествующие ему числа 1, 2, ...,...,-1235 в множество следующих за ним чисел. Этот пример показывает, что "лево" и "право" здесь не симметричны.
Более того, обладая критерием различения чисел "слева" и чисел "справа", Ар имеет возможность "персонально" проверить каждое число своего ряда (так как их для него "конечное" множество), и omega оказывается выделено при помощи объективного признака.
Reply
Мне ситуация представляется ровно обратной: Ар четко видит, что наше отображение succ не является биекцией. Он устанавливает это самым надежным способом: пересчетом. Мы же, из-за своей близорукости видим вместо отчетливых, хотя и больших, чисел, „пятно“ омеги. Я повторю вопрос: чем мы можем доказать Ар биективность succ?
> И с его точки зрения, это отображение не задано.
Это отображение определено только если succ - биекция, иначе это даже не функция, что Ар вам корректно и заметит.
> Тот ряд, который построил "дух" (назовём его "АнтиАр"), содержит "омега", а в изучаемой нами ситуации этого ни у кого нет.
Да, конечно, омега там используется только как маркер позиции, в которой у духа наступает бесконечность. Я хотел отметить это, но потом решил, что это и так понятно. Видимо телепатия опять не сработала.
> Так вот, аналогия будет более полной, если окажется, что АнтиАр с его ограниченным сознанием будет считать, что он умеет делать со своим рядом нечто, что мы делать не умеем.
Конечно! Ра (давайте так его называть для краткости), считает, что он может построить биекцию succ:{0, 1, 2, 3, 4, 5} -> {1, 2, 3, 4, 5}.
> Ар бы не сумел инъективно отобразить предшествующие ему числа 1, 2, ...,...,-1235 в множество следующих за ним чисел.
Почему? Сумел бы элементарно. По вашему предложению стал бы считать, произнося при этом пары: (-1234, 1), (-1233, 2), ... (-1234 + -1235 - 1, -1235).
Reply
Вместе с тем, коль скоро Вы задаёте этот вопрос, я хотел бы понять, в каких именно свойства отображения succ Вы сомневаетесь? В том, что succ(x)=succ(y) влечёт x=y?
Конструкцию Ра желательно описать подробнее. Я пока что не понимаю, как он строит свою биекцию, и почему это для него биекция. Пока что я понимаю, что он очень медленно считает, и его процедура нахождения succ(5) длится "вечность". Но если это так, что получается, что это значение для него вообще не определено?
В самом последнем абзаце я не понял Ваших обозначений. Давайте ещё раз опишем ситуацию. Мы берём не весь натуральный ряд Ар, а только его начальный отрезок, обозначаемый нами в виде N+(-N). Все отображения осуществляются в пределах этого множества. Аналогия такая: если бы мы взяли числа 1, 2, 3, 4, 5 и стали рассматривать, существует ли инъективное отображение из {1,2,...,k} в своё дополнение. Тогда бы мы поняли, что для k=1,2 это верно, а для k=3,4,5 неверно.
Идея в том, что мы берём элемент x из N+(-N) и просим Ар проверить, может ли он построить инъекцию из {1,...,x} в дополнение, оставаясь в пределах выделенного конечного отрезка своего натурального ряда, то есть не идя дальше -1. Если x конечно в нашем смысле, то он сможет отобразить одно в другое. Если же x берётся из второй половины, то я хотел бы понять, как он построит инъекцию, например, из {1,2,...,k,...;...,-m,...,-3} в {-2,-1}?
Reply
Leave a comment