„Иногда ночью, мучаясь от бессоницы, я ...“ - К. Ф. Гаусс.

[furia_krucha]

В „Алгебре“ Ленга дано универсальное свойство многочленов (на самом деле, Ленг, определяет многочлены через это свойство): многочлены K[X] это объекты, для которых определена „замена коэффициентов“, заданная гомоморфизмом f:K->R, и при этом функция вычисления в точке ev_r:K[X]->R есть гомоморфизм. Наличие функции вычисления позволяет считать

Comments

[ex_juan_gan]

Please excuse my English.

It is not easy to read this, with half of definitions omitted.

What is K, what is R? Why do you call polynomials "objects"? When you say K[X} = FR(X) + K, do you mean they are isomorphic as additive groups, or as rings?

For a monoid M, do they really call the ring over K "group ring"? Funny.

On the other hand, the result, K[X] = Z[X] + K, looks beautiful, really, and quite unusual.

[furia_krucha]

K --- это произвольное кольцо (ввиду чудовищного разброда в номенклатуре добавляю: с единицей и ассоциативным умножением). Подробное рассмотрение ведётся для случая коммутативных колец, но в общем случае всё точно так же.

По поводу R. Ленг определяет многочлены следующим универсальным свойством: для произвольного множества X (множества переменных) и произвольного коммутативного кольца K (кольца коэффициентов), рассмотрим кольцо P, снабженное гомоморфизмом i:K->P и отображением множеств j:X->P, такое что, для произвольного коммутативного кольца R, произвольного гоморфизма колец p:K->R, и произвольного отображения множеств q:X->R, существует единственный гомоморфизм h:P->R замыкающий диаграмму до коммутативной. На самом деле, Ленг даёт не совсем такое описание, но это не важно. Важно, что мы имеем типичную диаграмму ко-произведения, только слагаемые из разных категорий. Попробую нарисовать:

X----------+
| |
|j |q
| |
V h V
P.........>R
^ ^
| |
|i |p
| |
K----------+