„Иногда ночью, мучаясь от бессоницы, я ...“ - К. Ф. Гаусс.

[furia_krucha]

В „Алгебре“ Ленга дано универсальное свойство многочленов (на самом деле, Ленг, определяет многочлены через это свойство): многочлены K[X] это объекты, для которых определена „замена коэффициентов“, заданная гомоморфизмом f:K->R, и при этом функция вычисления в точке ev_r:K[X]->R есть гомоморфизм. Наличие функции вычисления позволяет считать

Comments

[furia_krucha]

K --- это произвольное кольцо (ввиду чудовищного разброда в номенклатуре добавляю: с единицей и ассоциативным умножением). Подробное рассмотрение ведётся для случая коммутативных колец, но в общем случае всё точно так же.

По поводу R. Ленг определяет многочлены следующим универсальным свойством: для произвольного множества X (множества переменных) и произвольного коммутативного кольца K (кольца коэффициентов), рассмотрим кольцо P, снабженное гомоморфизмом i:K->P и отображением множеств j:X->P, такое что, для произвольного коммутативного кольца R, произвольного гоморфизма колец p:K->R, и произвольного отображения множеств q:X->R, существует единственный гомоморфизм h:P->R замыкающий диаграмму до коммутативной. На самом деле, Ленг даёт не совсем такое описание, но это не важно. Важно, что мы имеем типичную диаграмму ко-произведения, только слагаемые из разных категорий. Попробую нарисовать:

X----------+
| |
|j |q
| |
V h V
P.........>R
^ ^
| |
|i |p
| |
K----------+

Кольцо P, определяемое таким условием с точностью до изоморфизма, и есть кольцо многочленов K[X].

По поводу "объектов": при таком построении не видно сразу, что элементы кольца K[X] это функции, поэтому я написал "объекты". Правильнее было бы "элементы", т.к. объекты путаются с объектами категории.

K[X] = FR(X) + K есть изоморфизм объектов категории колец. Справа ко-произведение в этой категории.

Термина "monoid ring" я не слышал, но имеется в виду очевидное изменение конструкции "group ring".