Drittes Reich strikes back. История Ар.

[furia_krucha]

Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности

Comments

[zeit_raffer]

Прекрасное обсуждение, спасибо за удовольствие.
Если можно пару вопросов.

1. При чем здесь третий рейх? Постмодернистские аллюзии бывают непрозрачны, а читатели - не слишком искушены.

2. Есть ли способы описать универсум, в котором живет Есвольп, классическими средствами? С Ар все понятно - элегантный (но, возможно, слишком мощный) подход с ультрастепенью; или минимальная модель с присоединенным нестандартным числом, которую вы с собеседником строите в комментариях. Понятно, что эти шаги "вперед" можно делать в разных направлениях и повторять, так что мы получим достатояный запас нестандартных моделей. Но как сделать шаг назад?

[furia_krucha]

Drittes Reich это термин Фреге, обозначение области математических объектов, отличной от области ментальных состояний (второй рейх) и физического мира (первый рейх).

По поводу второго вопроса можно предложить несколько вариантов.

Можно формализовать теорию множеств Вопенки и построить её модель в ZFC. А можно просто рассмотреть счётную модель ZFC, в ней есть свой континуум, но он с нашей точки зрения счётен, т.е. обитатели этой модели с нашей точки зрения ограничены.

Более интересный подход, это рассмотреть такое число N, что [0, N) это модель PA при условии, что все мета-математические рассуждения ограничены N, т.е. рассматриваются только формулы и доказательства длины меньшей N. Понятно, что таким образом на N накладываются некоторые условия, определяющие ряд „субстандартных“ моделей.

[zeit_raffer]

С Фреге понятно. Вот кто виноват. По-нашему это должно звучать скорее как "тридевятое царство

[furia_krucha]

> Выше вы заметили, что наша омега в мире Ар находится на нелегальном положении.
Не обязательно. Посмотрите обсуждение MAXFIN выше.

Говоря про Вопенку, я имел в виду, что его теория даёт возможность рассматривать нечёткие множества, поэтому в ней можно будет построить в каком-то смысле „конечный“ натуральный ряд, без пародоксального последнего числа (собственно она и строилась как основание ультра-финитаризма).

[zeit_raffer]

Нехорошо повторять вопросы, но я рискну. Вам известны работы, где устанавливается существование таких N, что [0, N) образует "субстандартную" модель?

[furia_krucha]

Прошу прощения, вопроса не заметил (в оправдание, собственно вопроса не было, было грамматически повествовательное предложение, как мне показалось выражавшее сомнение). Нет, никаких похожих результатов я нигде не видел.

[zeit_raffer]

Извините, забыл вопросительный знак. Спасибо.

[zeit_raffer]

Из комментов у Вербицкого:

« Годов пять назад Есенин Вольпин на семинаре Нагорного рассказывал что он сделал "грандиозное открытие" и "всю математику можно построить на числе 27 роль которого совершенно недо оценивается современными учеными" »

Но вряд ли это правда :)

[furia_krucha]

Это просто ультрафинитаристский вариант теории простого числа Гротендика (57).

[zeit_raffer]

Это тема для нового поста!
"Представим, что мы разговариваем по телефону с жителем вселенной Гро, и он непротиворечивым образом уверяет нас, что в его мире число 57 - простое. Какой могла бы выглядеть там алгебраическая геометрия?"

[furia_krucha]

Жизнь удивительней. https://en.wikipedia.org/wiki/57_(number)#In_mathematics

[zeit_raffer]

Если можно, я вернусь к [0, N). Можно сделать шаг вперед и спросить о то же о паре мы/Ар. А именно, существуют ли нестандартные модели, в которых стандартная "омега" выглядит как [0, N) для гипердействительного N? Упоминаемая выше минимальная N+Z*Q (хотя мне кажется, что на роль модели больше подходит N+Z*{все арифметические функции}) не имеет числа, следующего после начального отрезка N. С классическими ультрастепенями то же самое. Известны ли "отрезочные" модели?

[zeit_raffer]

Более конкретно, Ар в таком случае может предъявить нам MAXFIN=MININF-1, которое, хотя и является числом нашей вселенной, но таким большим, что увидев его, мы сразу окончим свою жизнь. Вот можем ли мы промоделировать такую ситуацию с чем-то вроде ультрафильтров. Вопросительный знак.

Насколько я понимаю, положительный ответ влечет за собой непротиворечивость предположения о существовании "субстандартных" моделей.

[furia_krucha]

Ответа на вопросительный знак я не знаю, но мне кажется вопрос несколько не о том. Чтобы получить какую-то косвенную информацию о существовании субстандартных моделей, нужно рассматривать не нестандартные модели PA, а модели RA-PA т.е. инфинитарной версии PA. Если у такой модели можно выделить омега-подобный префикс вида [0, N), то возможно и субстандартные модели существуют. Но тут возникает проблема в том, что для полной симметрии мета-язык тоже должен быть инфинитарным, что проблематично.