Drittes Reich strikes back. История Ар.
Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности ( Read more... )
Сейчас ситуация для меня выглядит вот как. Ар с его удивительными способностями пересчёта должен был за конечное время перечислить все элементы omega. После чего он должен был это осознать, сказать, что "это хорошо", а потом в очередной "день творения" ещё раз просчитать от 0 до бесконечности. Примерно как мы считаем от 1 до 5 много раз в жизни.
Если Ар захотел бы продолжить счёт, у него получились бы следующие ординалы. Я не вижу другого варианта: счёт есть счёт, и структура ряда та же. То есть, если мы понимает, что делает Ар, то должны прийти именно к такому выводу. Сам Ар может считать свои числа "конечными", если ему так нравится. Хотя бы на том основании, что он досчитал до них за конечное время в своей "вселенной". Это название ровно ничего не меняет.
Также верно то, что Ар, глядя на нас, и осознавая ограниченность наших возможностей, сказал бы, что мы умеем считать только до ... (конкретное число), подобно нашему заключению относительно способностей Ра. Тогда можно сказать, что на единицу большее число для нас "бесконечно", то есть вне пределов нашей досягаемости. Меняет ли это что-либо в структуре "настоящего" натурального ряда, о котором мы думаем? Таких, как Ра или Супер-Ра в мире много. На всех натуральных рядов не напасёшься.
Если согласиться с Вашим вторым абзацем, то есть принять такой взгляд на вещи, то и получается сказанное мной выше. То есть я как бы не против. То же касается последнего абзаца: по сути дела, Ар мог нас "расколоть" в плане чисто вычислительных возможностей, просчитав до конца тот "клеточный автомат", в котором мы обитаем. Но это факт не о нас, и не о натуральном ряде, а о некой "машинке". Я такого рода выводы могу легко принять, потому что они ничему не противоречат, да и нового ничего о нас не сообщают. Мы и так знаем, что работать нам приходится с "маленькими" объектами, но разве это мешает думать о космосе "больших"?
Что касается самого первого абзаца, то обсуждать его можно только при ясном понимании одного обстоятельства. А именно, того, что Ар думает по поводу нас, представляющих себе omega. Если он считает, что мы в силу своих ограниченных возможностей говорим "omega", а имеем в виду всего лишь очень большое конечное число, то все вопросы сразу снимаются. Ясно, что такая "пародия" на натуральный ряд не удовлетворяет даже начальному набору аксиом Пеано: у этого числа нет последующего (а мы заблуждаемся, полагая, что оно есть). При такой постановке вопроса вряд ли что-то можно опровергнуть в том же смысле, как нельзя опровергнуть отрицание аксиомы бесконечности в теории множеств.
Если же имеется в виду что-то другое, то тогда надо ответить на предыдущий вопрос по поводу того, что Ар думает о нас.
Reply
> Если Ар захотел бы продолжить счёт, у него получились бы следующие ординалы. Я не вижу другого варианта: счёт есть счёт, и структура ряда та же.
Я не совсем понимаю какие ординалы здесь имеются в виду, но уточню, на всякий случай, что до какого бы числа Ар не досчитал, включая Nos-бесконечные числа, каждое такое число будет для него либо нулём, либо иметь предыдущее, т.е. не будет предельным ординалом. Структура ряда ординалов в наших мирах разная.
> А именно, того, что Ар думает по поводу нас, представляющих себе omega.
Давайте сделаем шаг назад и вспомним, чего именно мы хотели достичь „приёмом с инъекциями“. Мы хотели дать Ар метод (алгоритм), который позволил бы ему, опираясь на его интуицию и его вычислительные способности, выделить наш натуральный ряд внутри его ряда. Мне не кажется, что то, что Ар про нас думает, играет здесь какую-либо роль. „Приём с инъекциями“ не сработает не потому, что он про нас плохо думает, а потому, что все вопросы, задаваемые в ходе этого алгоритма (например, „можно ли построить инъекцию из [0, x) в [x, y)?“), можно записать как формулы PA, и потом доказать внутри РА, что результат алгоритма выразим как определённая комбинация рекурсивно заданных функций, таких как деление. Так как это доказуемо внутри PA, то результат верен во всех моделях и раз мы не можем при помощи такой процедуры вычленить некий инициальный префикс (например, Ra-omega) внутри нашего натурального ряда, то так же не сможет и Ар.
По поводу MAXFIN. Существование, с точки зрения Ар, такого числа сильно противоречит нашей интуиции. Но Ар допустит его существование, только если он считает себя вправе использовать вполне-упорядоченностью для подмножества Nos-бесконечных чисел. Но он может так и не считать, ведь это множество какое-то „не вполне определённое“, по-крайней мере, его не получается записать в виде {x|F(х)}. Давайте, для простоты, считать, что хотя Ар точно знает, что существуют Nos-бесконечные числа, он не уверен, что существует минимальное такое число.
И, наконец, по поводу того, что Ар „разобрал машинку“, но идеалы-то (включая нильрадикал, хе-хе) у нас „в сердце“. Говоря, что Ар может обозреть и проанализировать нашу вселенную, я не имел в виду нечто тривиальное, вроде того, что он может пересчитать протоны или нейроны. Я имел в виду, что он может, кроме того, обозреть нашу интуицию и наш мир идей. Каким образом? Ну например, он пишет курсовую работу „Психология самообмана и дистанционная терапия: некоторые практические результаты“, и гоняет на своём лаптопе симуляцию, которая и есть наша вселенная, включая материальные объекты (Erste Reich), наши ментальные состояния, включая интуицию (Zweiten Reich) и мир эйдосов (собственно, Drittes Reich Фреге, см. заголовок исходного сообщения). Он может, скажем при помощи отладчика, просто напечатать тот объект, к которому вы „подключаетесь“ в нашем мире эйдосов, как к натуральному ряду (в моем случае, он получит „NULL pointer dereferenced, core dumped“).
Reply
Теперь я хочу вернуться к тому примеру, обсуждение которого было начато в одном из предыдущих комментариев. Вы тогда поставили вопрос о том, а в какой момент надо ставить перед Ар проблему совершения эксперимента с инъекциями? Интуитивно понятно, что число, до которого досчитал Ар, должно быть "достаточно большим". Согласно "легенде", Ар умеет считать достаточно далеко. И если окажется, что мы "по факту" сделали запрос вовремя, то дальнейший эксперимент должен, как мне представляется, увенчаться нашим успехом. Допустим, что это не так, и что наш запрос был преждевременным, а Ар в этот момент досчитал лишь до конечного в нашем понимании слова числа. Тогда наш эксперимент не удастся, но из этого не будет следовать никакого вывода. Поэтому я сразу предлагаю принять такую версию, что мы не ошиблись, или что нам повезло, и в итоге мы "запросили" Ар в тот момент, когда он дошёл до "бесконечного" в нашем понимании слова числа. Важно то, что такое могло быть, и тогда один удачно проведённый эксперимент уже позволяет выделить omega (опять же, imho).
То есть, я предлагаю вернуться к той модели, о которой уже говорилось, и её можно считать имеющей вид N+(-N). Это согласуется и с тем, что у любого числа кроме нуля имеется предыдущее. Заметьте, что в ходе эксперимента мы просим Ар проделать нечто с "текущим" числом. Ясно, что оно не выражается формулами первого порядка -- это как бы эксперимент, похожий на физический. И при такой постановке вопроса, как и ранее, я вижу реальную возможность для Ар начать счёт заново, перебрать все числа от 0 до -0 (в этих обозначениях), и отнести каждое к одной из двух категорий на основании вполне объективных признаков, однозначно понимаемых нами всеми.
Не вижу препятствий для реализации такого эксперимента. Ясно, что 0, 1, 2 Ар сумеет отобразить в 4, ... , -0 инъективно, а 0, ... , -3 в -2, -1, -0 не сумеет.
По поводу "развенчания идеалов": мне кажется, вещи этого уровня соответствуют известным вульгарно-материалистическим установкам времён Бюхнера и восхищающегося им Базарова. Любви нет, есть нейроны и химические реакции. Даже если в каком-то смысле это и так, оно просто неинтересно. За тезисом "всё х**** кроме мозга" неизбежно приходит тезис о том, что пчёлы "моск" -- тоже она самая.
Reply
> Всем понятно, что бывают неизоморфные, но элементарно эквивалентные модели. Но никто не велит описывать их на заданном изначально языке.
Я собственно, именно про это и говорю. Просто метод, предложенный вами совершенно явно есть метод первого порядка и, как вы правильно отметили, разницы моделей выхватить не может. См. далее.
> нам повезло, и в итоге мы "запросили" Ар в тот момент, когда он дошёл до "бесконечного" в нашем понимании слова числа.
Хорошо. Давайте предположим, что мы попросили Ар провести эксперимент, в тот момент, когда он досчитал до числа x, которое с нашей точки зрения расположено на самом краю N+(-N) (которое для нас выглядит как -0). Он, как вы описывали выше, начинает перебирать все числа y меньшие х и для каждого проверять можно ли [0, y) инъективно отобразить в [y, x). Ар рассуждает так: это можно сделать тогда и только тогда, когда длина второго интервала не меньше длины первого, т.е. когда x - y >= y - 0. Т.е. (т.к. все законы арифметики для Ар работают) это значит, что y <= x/2, т.е. максимальное такое y это x/2. После этого Ар переходит к следующему числу, x' = x+1, потом к x'' = x+2 и повторяет аналогичные построения. Естественно у него получится y' = x'/2 = (x + 1)/2 и y'' = x''/2 = (x + 2)/2 = x/2 + 1 = y + 1. Т.е. „середина“ сдвигается. Где вы здесь видите ошибку? Мне кажется, вы неявно предполагаете, что в натуральном ряду Ар есть предельный ординал, через который он как-то волшебно проскакивает при пересчёте, но на котором „середина“ застопорится.
> вещи этого уровня соответствуют известным вульгарно-материалистическим установкам времён Бюхнера и восхищающегося им Базарова.
Тут я бы мог сделать замечание, что „желательно не привлекать никаких аргументов“, связанных с тем, что прогрессивная мировая общественность давно заклеймила определённые философские учения как ретроградские, дурацкие и явным образом созданные дутыми ослами, но самое забавное заключается в том, что пример, вызвавший такую вашу реакцию, был ровно об обратном. Я как раз написал, что Ар *не* основывался на содержимом вашего мозга (т.е. не „пересчитал нейроны“), а именно получил доступ к вашему миру эйдосов. Каким образом не важно. Из общих соображений, мне было бы интересно узнать, как мой пассаж можно проинтерпретировать образом практически противоположным.
Reply
Я не вижу ничего предосудительного в том, что какие-то направления философской или научной мысли могли в ходе развития приобрести статус чего-то не слишком "респектабельного". Да, в таких вещах бывают ошибки, если современники не увидели какого-то глубокого содержания, а спустя столетия это дело было переоценено. Типа учения Лейбница о бесконечно малых после появления нестандартного анализа. Но видите ли Вы лично глубокое содержание в Бюхнере? Если да, то так и скажите -- что не надо недооценивать этого глубокого и тонкого мыслителя. А так -- почему бы и не поиронизировать "с высоты" над какой-нибудь алхимией или астрологией?
Суть здесь, как Вы понимаете, в "редукционизме", то есть в попытке "высшее" свести к "низшему". Какая при этом разница, идёт ли речь о моделировании мозга с нейронами, или чего-то другого? В Вашей "притче" всё равно ведь получается, что некая более высокая цивилизация "разоблачила" некие вещи (интуиция, эйдосы) сведя их к чему-то "машинному", а тогда чем это отличается от всего остального "безбожия"?
Теперь по поводу основной части. Я понимаю Ваше соображение, но дело вот в чём. У нас есть модель того, что делает Ар. Она "фрагментарна", но это в данном случае ничему не мешает. Вот он взял число x, которое мы называем -0, и получил некую "середину" в виде x/2. Никто в принципе не против, но мы задаёмся вопросом, чему она соответствует в рассматриваемой нами модели. Там два множества чисел: N и -N. Мы прекрасно знаем, что для чисел из первой половины нельзя осуществить отображение в одну сторону, а для чисел из второй половины -- в другую. Это вывод на уровне "классической" математики, который делаем мы, то есть это я считаю несомненной вещью. Однако Ар удалось осуществить и то, и другое. Какой вывод из этого мы можем извлечь? Я думаю, тот, что рассматриваемая нами модель N+(-N) или какая-то на неё похожая, не отражает сути того, что делает Ар. Значит, либо он имеет дело не с натуральным рядом, а с каким-то другим объектом, внешне его чем-то напоминающим. Либо надо предложить другую модель, на которой всё видно. Подобно тому, как модель Клейна или Пуанкаре убеждает в состоятельности неевклидовой геометрии.
Reply
> Но видите ли Вы лично глубокое содержание в Бюхнере?
Мне просто кажется сама идея такого рода аргументации кажется спорной. Вот, например... :-) Современная философия (скажем, с 1940-х) делится на „континентальную“ (это Деррида, Фуко, поструктуралисты и пр.) и „аналитическую“ (в части философии математики это венский кружок, Бенацераф, Думмет, Путнам, Карнап и пр.). Так вот, и те и другие это и есть практически „Бюхнер“, может только „мозг“ нужно заменить на „язык“. Т.е. с точки зрения современной прогрессивной общественности идея эйдосов это жуткое мракобесие и анахронизм провинциальных самоучек. :-) Общественность она такая.
> "разоблачила" некие вещи (интуиция, эйдосы) сведя их к чему-то "машинному"
Но если для Ар наша вселенная лишь эксперимент, то он по отношению к нам трансцендентен и тут нет никакой „редукции“: он уже находится на уровне наших эйдосов.
> Я думаю, тот, что рассматриваемая нами модель N+(-N)
Здесь вы правы. Чтобы проверять наличие инъекций недостаточно операции succ и упорядоченности, нужно уметь вычитать, а значит и складывать. Т.е. минимальная модель это N + Z*Z, или N + Z*Q, если добавить умножение и деление.
Reply
Reply
Leave a comment