Астрономическая задачка
Может, кому-то будет интересно поразмыслить над нехитрой астрономической задачей, на уровне школьной планиметрии и основ матанализа.
Пусть в планетной системе звезды С есть несколько планет, движущихся по круговым орбитам в одной плоскости, и астрономы на одной из этих планет, З, с радиусом орбиты 1, наблюдают за другими планетами.
При наблюдении за внешней планетой М (у которой радиус орбиты больше 1), наилучшим периодом наблюдений является противостояние, то есть такое положение, при котором З находится между С и внешней планетой. В этом случае М находится ближе всего к З, полностью повернута к З освещенной стороной, к тому же видна всю ночь в наиболее темной части неба.
При наблюдении же за внутренней планетой В (с радиусом орбиты r < 1), такого явно выгодного для наблюдения положения нет. Когда В находится между ближе всего к З, то есть между З и С, она обращена к З темной стороной, и ее вообще не видно. Наоборот, полный диск у В виден, когда В находится дальше всего от З, то есть по другую сторону от С. Кроме того, в обоих этих случаях В засвечивается лучами С.
Для земной астрономии последний фактор наиболее важен. Поэтому лучшим для наблюдения считается конфигурация, при котором В имеет наибольшую элонгацию, то есть угол В-З-С. Происходит это, очевидно, в тот момент, когда В находится в точке касания взглядом наблюдателя с З орбиты В, то есть когда угол З-В-С прямой. В этот момент элонгация равна arcsin(r).
Поставим, однако, вопрос немного по другому:
Задача. Будем считать условия для наблюдений лучшими, когда В видна с З наиболее яркой. Известно, что яркость прямо пропорциональна площади освещенной части В и обратно пропорциональна квадрату расстояния до В. При каком значении угла В-С-З яркость В будет максимальной?
Интересны также дополнительные вопросы:
- при каком r наиболее яркое положение В совпадет с точкой максимума элонгации?
- начиная с какого r наиболее ярким окажется положение В с обратной стороны С от З?
Комментарии скрывать не буду.
Пусть в планетной системе звезды С есть несколько планет, движущихся по круговым орбитам в одной плоскости, и астрономы на одной из этих планет, З, с радиусом орбиты 1, наблюдают за другими планетами.
При наблюдении за внешней планетой М (у которой радиус орбиты больше 1), наилучшим периодом наблюдений является противостояние, то есть такое положение, при котором З находится между С и внешней планетой. В этом случае М находится ближе всего к З, полностью повернута к З освещенной стороной, к тому же видна всю ночь в наиболее темной части неба.
При наблюдении же за внутренней планетой В (с радиусом орбиты r < 1), такого явно выгодного для наблюдения положения нет. Когда В находится между ближе всего к З, то есть между З и С, она обращена к З темной стороной, и ее вообще не видно. Наоборот, полный диск у В виден, когда В находится дальше всего от З, то есть по другую сторону от С. Кроме того, в обоих этих случаях В засвечивается лучами С.
Для земной астрономии последний фактор наиболее важен. Поэтому лучшим для наблюдения считается конфигурация, при котором В имеет наибольшую элонгацию, то есть угол В-З-С. Происходит это, очевидно, в тот момент, когда В находится в точке касания взглядом наблюдателя с З орбиты В, то есть когда угол З-В-С прямой. В этот момент элонгация равна arcsin(r).
Поставим, однако, вопрос немного по другому:
Задача. Будем считать условия для наблюдений лучшими, когда В видна с З наиболее яркой. Известно, что яркость прямо пропорциональна площади освещенной части В и обратно пропорциональна квадрату расстояния до В. При каком значении угла В-С-З яркость В будет максимальной?
Интересны также дополнительные вопросы:
- при каком r наиболее яркое положение В совпадет с точкой максимума элонгации?
- начиная с какого r наиболее ярким окажется положение В с обратной стороны С от З?
Комментарии скрывать не буду.