(no subject)
Наконец вроде осознал, когда и зачем аксиома выбора нужна, а когда она не нужна.
Если у нас есть одно непустое множество X и нам нужно взять какой-то элемент из него, мы можем формально написать ∀x∈X(...) и в скобках использовать этот x -- типа, "выбрали элемент".
Если у нас конечное заранее известное количество непустых множеств, можем проделать этот фокус нужное количество раз, и выбрать из каждого по элементу.
А вот если бесконечное, то увы (кажется, если заранее неизвестное, то тоже). Если у нас есть бесконечное семейство непустых множеств X и из каждого его элемента нужно выбрать по элементику (это не вполне конвенциальная терминология, но нужно же как-то разделять), нам нужна "функция выбора", сопоставляющая каждому элементу Х его элементик.
Тут нужно вспомнить, что такое "функция" в теории множеств. В теории множеств функция отождествляется со своим графиком, то есть это специальное множество пар. В данном случае
f := {(x,y)∈X×∪X| y∈x ∧ ... тут какое-то условие ...}
осталось написать "какое-то условие", чтобы это получилась именно функция, то есть чтобы каждому элементу X соответствовал ровно один элементик (это основное свойство функции: для каждого x f(x) должно быть определено однозначно).
Если наши множества какие-то хорошие, например, если каждое из них это множество натуральных чисел, это можно обеспечить. На натуральных есть порядок и есть теорема, что в любом множестве натуральных есть минимальный элемент, значит его всегда можно выбрать, вот и готова функция. Это будет выглядеть как-то так
f := {(x,y)∈X×∪X| y∈x ∧ ∀z∈x(y ≤ z)}
и никакая аксиома выбора не понадобилась, справились без неё.
Но если у нас какие-то произвольные множества, про которые мы может ничего не знаем, нам никакое такое условие в общем виде не записать. То есть явным образом предъявить функцию не получается.
Казалось бы, ну ёжику же понятно, что ну конечно такая функция должна быть, ну ничего же не мешает же! Но ёжика к делу не пришьешь, и тогда в отчаянии мы кастуем аксиому выбора: существует!
То есть, формально можно записать
∃f(f:X --> ∪X ∧ ∀u∈X(f(u) ∈ u))
И дальше её использовать.
Если у нас есть одно непустое множество X и нам нужно взять какой-то элемент из него, мы можем формально написать ∀x∈X(...) и в скобках использовать этот x -- типа, "выбрали элемент".
Если у нас конечное заранее известное количество непустых множеств, можем проделать этот фокус нужное количество раз, и выбрать из каждого по элементу.
А вот если бесконечное, то увы (кажется, если заранее неизвестное, то тоже). Если у нас есть бесконечное семейство непустых множеств X и из каждого его элемента нужно выбрать по элементику (это не вполне конвенциальная терминология, но нужно же как-то разделять), нам нужна "функция выбора", сопоставляющая каждому элементу Х его элементик.
Тут нужно вспомнить, что такое "функция" в теории множеств. В теории множеств функция отождествляется со своим графиком, то есть это специальное множество пар. В данном случае
f := {(x,y)∈X×∪X| y∈x ∧ ... тут какое-то условие ...}
осталось написать "какое-то условие", чтобы это получилась именно функция, то есть чтобы каждому элементу X соответствовал ровно один элементик (это основное свойство функции: для каждого x f(x) должно быть определено однозначно).
Если наши множества какие-то хорошие, например, если каждое из них это множество натуральных чисел, это можно обеспечить. На натуральных есть порядок и есть теорема, что в любом множестве натуральных есть минимальный элемент, значит его всегда можно выбрать, вот и готова функция. Это будет выглядеть как-то так
f := {(x,y)∈X×∪X| y∈x ∧ ∀z∈x(y ≤ z)}
и никакая аксиома выбора не понадобилась, справились без неё.
Но если у нас какие-то произвольные множества, про которые мы может ничего не знаем, нам никакое такое условие в общем виде не записать. То есть явным образом предъявить функцию не получается.
Казалось бы, ну ёжику же понятно, что ну конечно такая функция должна быть, ну ничего же не мешает же! Но ёжика к делу не пришьешь, и тогда в отчаянии мы кастуем аксиому выбора: существует!
То есть, формально можно записать
∃f(f:X --> ∪X ∧ ∀u∈X(f(u) ∈ u))
И дальше её использовать.