задача дня -- 8
Давным-давно ничего уже здесь не писал. Октябрь у меня традиционно является "авральным" месяцем, а в этом году он был таковым вдвойне. Нужно было в сжатые сроки составить задачи сразу к двум местным олимпиадам. Но я вроде как справился (несмотря на неудачно составленное расписание в этом семестре), так что теперь можно и в ЖЖ заглянуть. За время моего "бездействия" так называемый "социальный капитал" журнала упал до отметки "ниже 10". Что, впрочем, когда-то уже было. Но это я так, чисто для информации. А теперь собственно задача.
Она в этот раз не олимпиадная, не из области "занимательного" наподобие "головоломок", поэтому, скорее всего, заинтересует меньший круг читателей. Это упражнение по матанализу, не слишком трудное, но мне понравилось условие. Вот оно.
Дан сходящийся числовой ряд a_1+a_2+...+a_n+... . Обязательно ли сходится ряд из синусов, то есть sin(a_1)+sin(a_2)+...+sin(a_n)+... ?
Замечу на всякий случай, что для знакопостоянных рядов эта задача тривиальна. А как обстоит дело в общем случае?
Думаю, что многие эту задачу решат, и в данном случае комментарии я до времени буду скрывать. Тем более, что интересно было бы увидеть разные способы решения.
UPD (25.12.16) Комментарии я раскрыл (на самом деле, это давно надо было сделать). Спасибо всем, кто участвовал в обсуждениях. Предложенные здесь способы решения основаны примерно на одних и тех же соображениях. К тому решению, которым я располагал, ближе всего оказались рассуждения mikev.
Она в этот раз не олимпиадная, не из области "занимательного" наподобие "головоломок", поэтому, скорее всего, заинтересует меньший круг читателей. Это упражнение по матанализу, не слишком трудное, но мне понравилось условие. Вот оно.
Дан сходящийся числовой ряд a_1+a_2+...+a_n+... . Обязательно ли сходится ряд из синусов, то есть sin(a_1)+sin(a_2)+...+sin(a_n)+... ?
Замечу на всякий случай, что для знакопостоянных рядов эта задача тривиальна. А как обстоит дело в общем случае?
Думаю, что многие эту задачу решат, и в данном случае комментарии я до времени буду скрывать. Тем более, что интересно было бы увидеть разные способы решения.
UPD (25.12.16) Комментарии я раскрыл (на самом деле, это давно надо было сделать). Спасибо всем, кто участвовал в обсуждениях. Предложенные здесь способы решения основаны примерно на одних и тех же соображениях. К тому решению, которым я располагал, ближе всего оказались рассуждения mikev.