вероятностное чутьё
Этот пост касается теоретико-вероятностной проблематики, поэтому я его делаю открытым для всех. То, что здесь написано, может представлять "общезначимый" интерес. То есть совершенно не предполагается, что нужно "знать математику" :)
Прежде всего, я хочу начать с описания такого интересного эксперимента. Группу старшеклассников разделили на две части. Половине учеников дали монетку и попросили её подбросить 200 раз, записав результаты бросаний. А второй половине предложили написать 200 знаков типа "орёл - решка", указывая их самостоятельно "случайным" способом. Затем результаты были перемешаны и направлены на "экспертизу" специалистам по математической статистике. Те должны были выяснить, какие из записей получены при помощи бросания монетки, а какие -- "сочинены". И что же? Оказалось, что математики без особого труда сумели отличить одно от другого!
Результаты описанного опыта могут "навести" на какие-то размышления, однако я сейчас не об этом. Некоторое время назад в журнале akor168 мне попался пост, в котором отстаивался тезис, что у человека нет "встроенного" способа оценивать вероятности тех или иных событий (не прибегая к математическим расчётам). У меня по этому поводу нет какого-то "сложившегося" мнения, потому что есть факты, свидетельствующие как "за", так и "против". Иногда бывает, что оценить "на глазок" ту или иную вероятность, или "среднее" значение некоторой величины, люди вполне способны. А бывают вещи достаточно "парадоксальные", в которые трудно поверить сходу, если не знаешь ответ.
Вот есть такой хорошо известный "парадокс дней рождения". Будем для простоты считать, что в году 365 дней. Наберём случайным образом группу людей, а затем выясним, найдутся ли в ней два человека, родившиеся в один и тот же день (пусть и в разные годы)? Или у всех из них дни рождения приходятся на разные дни? В связи с чем можно задать вопрос, сколько надо взять человек, чтобы вероятность совпадения дней рождения у кого-то из них превысила 50%? На этот вопрос редкий человек способен дать верный ответ -- если он, конечно, его не знает заранее. Оказывается, что уже в группе из 23 человек (что составляет всего лишь шесть с небольшим процентов от количества дней в году), вероятность совпадения дней рождения уже превысит 50%. Многим в это верится с трудом, однако здесь само значение вероятности находится по довольно простой формуле, и подсчёты (скажем, на калькуляторе) показывают, что всё именно так и обстоит.
А я в этом посте хочу проделать вот какой эксперимент. Я задам несколько вопросов, и желающие могут в комментах попытаться дать ответ (разумеется, безо всяких подсчётов или попыток решить задачу математически), основанный на чисто внутреннем ощущении. Во всех случаях, о которых у меня далее идёт речь, спрашивается не о вероятности, а об оценке того или иного среднего значения.
Я долго думал о том, следует ли "скринить" комменты, но в итоге решил, что их всё-таки полезно будет временно скрыть, чтобы участники опроса не видели ответов друг друга, то есть чтобы не было "взаимовлияния". Через некоторое время я открою результаты, сообщив точные ответы, и каждый после этого сможет определить, в какой мере у него развито "вероятностное чутьё". Призываю также всех быть как можно "смелее", потому что если кто-то будет далёк от истины, то это мало о чём говорит. Например, я вот не умею определять расстояние "на глаз", и нисколько этого не "стыжусь".
Вопросы помещены под "катом", и предполагаемые ответы лучше всего давать под теми же номерами, что и у меня. Я, кстати, если бы ответов не знал, то сам бы охотно поучаствовал в такого рода опросе! :)
1. Представьте себе, что вы бросаете монетку, которая с равной вероятностью выпадает "орлом" или "решкой". Бросания продолжаются до тех пор, пока не выпадет ТРИ ОРЛА ПОДРЯД. Какое среднее число бросаний монетки нужно сделать, чтобы дождаться такого события?
2. Тот же эксперимент, но теперь мы хотим дождаться выпадения подряд ДВУХ ОРЛОВ и следующей за ними РЕШКИ. Сколько раз в этом случае придётся подбросить монетку -- опять-таки "в среднем"?
3. При покупке многих товаров, для привлечения большего числа покупателей, изделия снабжаются какими-нибудь "купонами" или другими особенностями, где нужно собрать "полный комплект" для получения приза. Например, в канун футбольного чемпионата могут выпускаться бутылки с напитком, где под крышкой имеется изображение футбольного мяча того или иного цвета. Предполагается, что все цвета встречаются с равной вероятностью.
а) Представим себе, что требуется собрать "комплект" из ШЕСТИ цветов. Сколько надо купить бутылок -- опять-таки "в среднем" -- чтобы означенное событие произошло?
б) Аналогичный вопрос для случая, когда в покупаемое изделие (например, в пачку сигарет) вкладывается одна игральная карта из колоды в 36 листов. Какое "среднее" число покупок надо сделать, чтобы собрать полную колоду?
Прежде всего, я хочу начать с описания такого интересного эксперимента. Группу старшеклассников разделили на две части. Половине учеников дали монетку и попросили её подбросить 200 раз, записав результаты бросаний. А второй половине предложили написать 200 знаков типа "орёл - решка", указывая их самостоятельно "случайным" способом. Затем результаты были перемешаны и направлены на "экспертизу" специалистам по математической статистике. Те должны были выяснить, какие из записей получены при помощи бросания монетки, а какие -- "сочинены". И что же? Оказалось, что математики без особого труда сумели отличить одно от другого!
Результаты описанного опыта могут "навести" на какие-то размышления, однако я сейчас не об этом. Некоторое время назад в журнале akor168 мне попался пост, в котором отстаивался тезис, что у человека нет "встроенного" способа оценивать вероятности тех или иных событий (не прибегая к математическим расчётам). У меня по этому поводу нет какого-то "сложившегося" мнения, потому что есть факты, свидетельствующие как "за", так и "против". Иногда бывает, что оценить "на глазок" ту или иную вероятность, или "среднее" значение некоторой величины, люди вполне способны. А бывают вещи достаточно "парадоксальные", в которые трудно поверить сходу, если не знаешь ответ.
Вот есть такой хорошо известный "парадокс дней рождения". Будем для простоты считать, что в году 365 дней. Наберём случайным образом группу людей, а затем выясним, найдутся ли в ней два человека, родившиеся в один и тот же день (пусть и в разные годы)? Или у всех из них дни рождения приходятся на разные дни? В связи с чем можно задать вопрос, сколько надо взять человек, чтобы вероятность совпадения дней рождения у кого-то из них превысила 50%? На этот вопрос редкий человек способен дать верный ответ -- если он, конечно, его не знает заранее. Оказывается, что уже в группе из 23 человек (что составляет всего лишь шесть с небольшим процентов от количества дней в году), вероятность совпадения дней рождения уже превысит 50%. Многим в это верится с трудом, однако здесь само значение вероятности находится по довольно простой формуле, и подсчёты (скажем, на калькуляторе) показывают, что всё именно так и обстоит.
А я в этом посте хочу проделать вот какой эксперимент. Я задам несколько вопросов, и желающие могут в комментах попытаться дать ответ (разумеется, безо всяких подсчётов или попыток решить задачу математически), основанный на чисто внутреннем ощущении. Во всех случаях, о которых у меня далее идёт речь, спрашивается не о вероятности, а об оценке того или иного среднего значения.
Я долго думал о том, следует ли "скринить" комменты, но в итоге решил, что их всё-таки полезно будет временно скрыть, чтобы участники опроса не видели ответов друг друга, то есть чтобы не было "взаимовлияния". Через некоторое время я открою результаты, сообщив точные ответы, и каждый после этого сможет определить, в какой мере у него развито "вероятностное чутьё". Призываю также всех быть как можно "смелее", потому что если кто-то будет далёк от истины, то это мало о чём говорит. Например, я вот не умею определять расстояние "на глаз", и нисколько этого не "стыжусь".
Вопросы помещены под "катом", и предполагаемые ответы лучше всего давать под теми же номерами, что и у меня. Я, кстати, если бы ответов не знал, то сам бы охотно поучаствовал в такого рода опросе! :)
1. Представьте себе, что вы бросаете монетку, которая с равной вероятностью выпадает "орлом" или "решкой". Бросания продолжаются до тех пор, пока не выпадет ТРИ ОРЛА ПОДРЯД. Какое среднее число бросаний монетки нужно сделать, чтобы дождаться такого события?
2. Тот же эксперимент, но теперь мы хотим дождаться выпадения подряд ДВУХ ОРЛОВ и следующей за ними РЕШКИ. Сколько раз в этом случае придётся подбросить монетку -- опять-таки "в среднем"?
3. При покупке многих товаров, для привлечения большего числа покупателей, изделия снабжаются какими-нибудь "купонами" или другими особенностями, где нужно собрать "полный комплект" для получения приза. Например, в канун футбольного чемпионата могут выпускаться бутылки с напитком, где под крышкой имеется изображение футбольного мяча того или иного цвета. Предполагается, что все цвета встречаются с равной вероятностью.
а) Представим себе, что требуется собрать "комплект" из ШЕСТИ цветов. Сколько надо купить бутылок -- опять-таки "в среднем" -- чтобы означенное событие произошло?
б) Аналогичный вопрос для случая, когда в покупаемое изделие (например, в пачку сигарет) вкладывается одна игральная карта из колоды в 36 листов. Какое "среднее" число покупок надо сделать, чтобы собрать полную колоду?