Философское определение вероятности
tugodum задаёт в ru_philosophy вопрос: "разработано ли философское понятие вероятности?" Предлагаю вниманию почтеннейшей публики свой вариант ответа.
В основе любого понятия лежат, как известно, неопределяемые категории и принимаемые без доказательства постулаты - извините за эту банальность, но надо же от чего-то оттолкнуться? Будем рассуждать в системе категорий Аристотеля, перечислим их для ясности:
- сущность;
- количество;
- качество;
- отношение;
- пространство;
- время;
- состояние;
- действие;
- обладание;
- претерпевание.
Теперь построим несколько постулатов. Категории в них выделим жирным курсивом.
П1. Любая сущность с течением времени всегда претерпевает изменение состояния.
Предвижу возражение против слова «всегда» - существуют, мол, и стационарные состояния. Сразу отметаю: то, что происходит со стационарным состоянием, можно рассматривать как частный случай - «единичное» претерпевание. Поясню на математической модели. Если мы рассматриваем состояние как число, а претерпевание - как операцию умножения, то аналогией единичного претерпевания будет умножение исходного числа на единицу.
Для удобства восприятия формализуем наши рассуждения. Будем обозначать состояния большими буквами кириллицы, а претерпевания - малыми буквами латиницы. При необходимости используем также индексы. Формализованный постулат П1, применительно к некоей сущности может выглядеть, например, так:
А * t = Б
По-моему, всё прозрачно. Исходно сущность пребывает в состоянии «А». В результате претерпевания «t» сущность оказывается в состоянии «Б».
П2. Сущность может испытывать претерпевания различного качества.
Дальше, чтобы не корёжить русский язык, будем вместо словосочетания «качество претерпевания» использовать слово «путь». Не в смысле пространственной траектории, конечно, а в смысле варианта эволюции, судьбы, так сказать. А вместо слова «сущность» используем слово «система».
Итак, в переводе с философского на литературный постулат П2 означает, что состояние системы может изменяться различными путями. Ведь если путь только один, то разговоры о случайности и вероятности не имеют никакого смысла.
В качестве иллюстрации возьмём такую систему, как лототрон: ящик с пронумерованными шарами. Исходное состояние «А»: все шары в ящике. Далее мы наугад вынем один шар (это процедура и будет претепеванием) и получим будущее (с точки зрения до претерпевания) состояние «Б» - шар с каким-то номером на выходе. Вполне логично принять за локальную аксиому, что для данной системы количество путей равно исходному количеству шаров в ящике. Например, для ящика с тремя шарами формализованный постулат П2 можно расписать так:
А * t1 = Б1
А * t2 = Б2
А * t3 = Б3
Ясное дело: система, пребывающая в состоянии «А», может изменяться путями t1, t2, t3 и переходить, соответственно, в будущие состояния Б1, Б2, Б3.
Итак, в нашем простом примере количество путей соответствует количеству шаров в ящике. В общем случае количество путей определяется структурными особенностями системы и разнообразием всевозможных воздействий, влияющих на претерпевание (заставляющих претерпевание приобретать то или иное качество).
П3. Существуют состояния, разные в совокупности всех качеств, но одинаковые в одном или нескольких качествах.
Для пояснения этого постулата возьмём другой лототрон. Пусть теперь в нём лежат не шары с различными номерами, а шары чёрного или белого цветов. Скажем, один чёрный и два белых. Мы по прежнему имеем три пути и три возможных различных состояния на выходе:
А * t1 = Ч1
А * t2 = Б1
А * t3 = Б2
То есть, выпадает либо чёрный шар, либо первый белый шар, либо второй белый шар. Но если мы берём в расчёт не конкретный шар на выходе во всей совокупности его качеств, а только такое его качество, как цвет, то в таком представлении состояния Б1, Б2 - одинаковые.
Назрело вспомогательное определение:
Альтернатива - группа будущих состояний, неотличимых в каком-либо качестве.
Таким образом, с точки зрения получаемого цвета в примере мы имеем при трёх возможных путях всего две альтернативы. К альтернативе «чёрный» ведёт один путь, к альтернативе «белый» ведёт два пути.
Теперь нам достаточно сведений для того, чтобы сформулировать общее определение понятия «вероятность». Даже сразу два определения.
О1. Вероятность будущего состояния системы - число, обратное общему количеству путей:
Ps = 1/N,
где N - общее количество путей.
В предыдущем примере вероятность будущего состояния равна 1/3, разумеется.
О2. Вероятность альтернативы - число, выражающее отношение количества путей, ведущих к данной альтернативе, к общему количеству путей.
В примере вероятность альтернативы «черный» равна 1/3, вероятность альтернативы «белый» равна 2/3.
Необходимое дополнение
Вводя определение О1, мы по умолчанию ввели также ещё один постулат. Озвучим его явно:
П4. Вероятности всех будущих состояний одинаковы.
При этом вероятности альтернатив могут быть, конечно, различными, что мы только что видели на примере.
И ещё одно замечание: в реальных ситуациях, связанных со случайными или псевдослучайными событиями, в контексте разработанных определений мы всегда говорим о вероятностях альтернатив. Хотя в частных случаях и при определённых оговорках, как, скажем, в примере к постулату П2, вероятности будущих состояний и вероятности альтернатив могут совпадать.
В основе любого понятия лежат, как известно, неопределяемые категории и принимаемые без доказательства постулаты - извините за эту банальность, но надо же от чего-то оттолкнуться? Будем рассуждать в системе категорий Аристотеля, перечислим их для ясности:
- сущность;
- количество;
- качество;
- отношение;
- пространство;
- время;
- состояние;
- действие;
- обладание;
- претерпевание.
Теперь построим несколько постулатов. Категории в них выделим жирным курсивом.
П1. Любая сущность с течением времени всегда претерпевает изменение состояния.
Предвижу возражение против слова «всегда» - существуют, мол, и стационарные состояния. Сразу отметаю: то, что происходит со стационарным состоянием, можно рассматривать как частный случай - «единичное» претерпевание. Поясню на математической модели. Если мы рассматриваем состояние как число, а претерпевание - как операцию умножения, то аналогией единичного претерпевания будет умножение исходного числа на единицу.
Для удобства восприятия формализуем наши рассуждения. Будем обозначать состояния большими буквами кириллицы, а претерпевания - малыми буквами латиницы. При необходимости используем также индексы. Формализованный постулат П1, применительно к некоей сущности может выглядеть, например, так:
А * t = Б
По-моему, всё прозрачно. Исходно сущность пребывает в состоянии «А». В результате претерпевания «t» сущность оказывается в состоянии «Б».
П2. Сущность может испытывать претерпевания различного качества.
Дальше, чтобы не корёжить русский язык, будем вместо словосочетания «качество претерпевания» использовать слово «путь». Не в смысле пространственной траектории, конечно, а в смысле варианта эволюции, судьбы, так сказать. А вместо слова «сущность» используем слово «система».
Итак, в переводе с философского на литературный постулат П2 означает, что состояние системы может изменяться различными путями. Ведь если путь только один, то разговоры о случайности и вероятности не имеют никакого смысла.
В качестве иллюстрации возьмём такую систему, как лототрон: ящик с пронумерованными шарами. Исходное состояние «А»: все шары в ящике. Далее мы наугад вынем один шар (это процедура и будет претепеванием) и получим будущее (с точки зрения до претерпевания) состояние «Б» - шар с каким-то номером на выходе. Вполне логично принять за локальную аксиому, что для данной системы количество путей равно исходному количеству шаров в ящике. Например, для ящика с тремя шарами формализованный постулат П2 можно расписать так:
А * t1 = Б1
А * t2 = Б2
А * t3 = Б3
Ясное дело: система, пребывающая в состоянии «А», может изменяться путями t1, t2, t3 и переходить, соответственно, в будущие состояния Б1, Б2, Б3.
Итак, в нашем простом примере количество путей соответствует количеству шаров в ящике. В общем случае количество путей определяется структурными особенностями системы и разнообразием всевозможных воздействий, влияющих на претерпевание (заставляющих претерпевание приобретать то или иное качество).
П3. Существуют состояния, разные в совокупности всех качеств, но одинаковые в одном или нескольких качествах.
Для пояснения этого постулата возьмём другой лототрон. Пусть теперь в нём лежат не шары с различными номерами, а шары чёрного или белого цветов. Скажем, один чёрный и два белых. Мы по прежнему имеем три пути и три возможных различных состояния на выходе:
А * t1 = Ч1
А * t2 = Б1
А * t3 = Б2
То есть, выпадает либо чёрный шар, либо первый белый шар, либо второй белый шар. Но если мы берём в расчёт не конкретный шар на выходе во всей совокупности его качеств, а только такое его качество, как цвет, то в таком представлении состояния Б1, Б2 - одинаковые.
Назрело вспомогательное определение:
Альтернатива - группа будущих состояний, неотличимых в каком-либо качестве.
Таким образом, с точки зрения получаемого цвета в примере мы имеем при трёх возможных путях всего две альтернативы. К альтернативе «чёрный» ведёт один путь, к альтернативе «белый» ведёт два пути.
Теперь нам достаточно сведений для того, чтобы сформулировать общее определение понятия «вероятность». Даже сразу два определения.
О1. Вероятность будущего состояния системы - число, обратное общему количеству путей:
Ps = 1/N,
где N - общее количество путей.
В предыдущем примере вероятность будущего состояния равна 1/3, разумеется.
О2. Вероятность альтернативы - число, выражающее отношение количества путей, ведущих к данной альтернативе, к общему количеству путей.
В примере вероятность альтернативы «черный» равна 1/3, вероятность альтернативы «белый» равна 2/3.
Необходимое дополнение
Вводя определение О1, мы по умолчанию ввели также ещё один постулат. Озвучим его явно:
П4. Вероятности всех будущих состояний одинаковы.
При этом вероятности альтернатив могут быть, конечно, различными, что мы только что видели на примере.
И ещё одно замечание: в реальных ситуациях, связанных со случайными или псевдослучайными событиями, в контексте разработанных определений мы всегда говорим о вероятностях альтернатив. Хотя в частных случаях и при определённых оговорках, как, скажем, в примере к постулату П2, вероятности будущих состояний и вероятности альтернатив могут совпадать.