Математический еж
Мир больше никогда не будет прежним!
Сегодня ежиха узнала, что славные представители вида Erinaceus europaeus особо отмечены в высшей математике, в разделе виртуальных многогранников! Более того, существуют гладкие ежи, многогранные ежи и даже гиперболические ежи!!! Правда, зачастую их обзывают, на французский лад, хериссонами, однако сути это не меняет!
Вот портрет ежа И. Мартинез-Мора
Определение 1. Гладким ежом в Rn , соответствующим гладкой функции h : Sn−1 → R, называется огибающая семейства плоскостей (1), т. е. образ отображения xh: Sn−1 → Rn, заданного формулой (2). При этом исходная функция h называется опорной функцией ежа, собственные значения касательного отображения Tpxh в точке p ∈ Sn−1 называются главными радиусами кривизны ежа в точке xh(p), их произведение (т. е. det(Tpxh)) называется функцией кривизны Rh ежа, а величина 1/Rh - гауссовой кривизной ежа. Ежа, соответствующего гладкой функции h : Sn−1 → R, обозначают через Hh.
Термин объясняется тем, что гладкие ежи параметризуются сферой посредством своей нормали, т. е. каждой точке сферы соответствует нормаль к ежу, причём только одна. Наверное, это есть идеал живого ежа (лат. Erinaceus europaeus): его иглы должны быть направлены во все стороны (чтобы враг не прошёл), и в каждую сторону должно быть направлено не более одной иглы (чтобы не наткнуться на неё самому).
Определение 2. Многогранным ежом в R3 называется многогранная поверхность P в R3, каждая грань которой оснащена единичным вектором nj, перпендикулярным к Qj , таким образом, что если грани Qj и Qk имеют общее ребро, то nj + nk ≠ 0, а значит концы векторов nj и nk могут быть соединены на единичной сфере S2 ⊂ R3 единственной кратчайшей. Обозначив эту кратчайшую через ljk, потребуем дополнительно, чтобы при любых значениях индексов j и k, соответствующих смежным граням, две дуги вида ljk либо не пересекались, либо имели один общий конец. Потребуем, наконец, чтобы объединение всех дуг ljk образовывало разбиение сферы S2 на многоугольники, хотя бы и не выпуклые.
Не сказать, чтобы насекомоядная это все усвоила, бо с математикой последний раз сталкивалась в школе, но все равно впечатлилась.
Сегодня ежиха узнала, что славные представители вида Erinaceus europaeus особо отмечены в высшей математике, в разделе виртуальных многогранников! Более того, существуют гладкие ежи, многогранные ежи и даже гиперболические ежи!!! Правда, зачастую их обзывают, на французский лад, хериссонами, однако сути это не меняет!
Вот портрет ежа И. Мартинез-Мора
Определение 1. Гладким ежом в Rn , соответствующим гладкой функции h : Sn−1 → R, называется огибающая семейства плоскостей (1), т. е. образ отображения xh: Sn−1 → Rn, заданного формулой (2). При этом исходная функция h называется опорной функцией ежа, собственные значения касательного отображения Tpxh в точке p ∈ Sn−1 называются главными радиусами кривизны ежа в точке xh(p), их произведение (т. е. det(Tpxh)) называется функцией кривизны Rh ежа, а величина 1/Rh - гауссовой кривизной ежа. Ежа, соответствующего гладкой функции h : Sn−1 → R, обозначают через Hh.
Термин объясняется тем, что гладкие ежи параметризуются сферой посредством своей нормали, т. е. каждой точке сферы соответствует нормаль к ежу, причём только одна. Наверное, это есть идеал живого ежа (лат. Erinaceus europaeus): его иглы должны быть направлены во все стороны (чтобы враг не прошёл), и в каждую сторону должно быть направлено не более одной иглы (чтобы не наткнуться на неё самому).
Определение 2. Многогранным ежом в R3 называется многогранная поверхность P в R3, каждая грань которой оснащена единичным вектором nj, перпендикулярным к Qj , таким образом, что если грани Qj и Qk имеют общее ребро, то nj + nk ≠ 0, а значит концы векторов nj и nk могут быть соединены на единичной сфере S2 ⊂ R3 единственной кратчайшей. Обозначив эту кратчайшую через ljk, потребуем дополнительно, чтобы при любых значениях индексов j и k, соответствующих смежным граням, две дуги вида ljk либо не пересекались, либо имели один общий конец. Потребуем, наконец, чтобы объединение всех дуг ljk образовывало разбиение сферы S2 на многоугольники, хотя бы и не выпуклые.
Не сказать, чтобы насекомоядная это все усвоила, бо с математикой последний раз сталкивалась в школе, но все равно впечатлилась.