Некорректно поставленные задачи и школа
Оказывается, моя специализация - "обратные и некорректно поставленные задачи" - сильно влияет на акценты в преподавании.
Мне кажется важным, чтобы у математика возникло чутье на определенные, недоопределенные и переопределенные задачи. Прочитав условие задачи, в большинстве случаев можно сразу сказать, существует ли и единственно ли её решение.
Это важно стратегически: Во-первых, сразу понятно, стоит ли бороться с этой задачей или сразу обосновать отсутствие решения. Поскольку то и другое требует принципиально разного подхода, полезно сразу понять, в каком направлении двигаться, чтобы не решать заведомо нерешаемых задач. Во-вторых, если видно, что задача определена (или переопределена), то её единственное решение можно просто угадать. На этом основана куча теорем: доказываем единственность решения, а затем его угадываем, поскольку общий метод конструирования решений построить не удается.
Это важно и психологически: Часто, когда школьник не справился с задачей, это значит, что он просто испугался и не поверил в то, что решение может быть найдено. Поэтому я и пытаюсь (безуспешно) всем вдолбить: "как только вы нашли любые, сколь угодно экзотические, три элемента треугольника, из которых хотя бы один линейный - считайте, что задача у вас в кармане. По этим трём элементам всегда найдется любой другой, это математический факт."
Это важно и тактически: при решении задачи надо всегда держать в уме, какое из данных вы по существу использовали, а какое - нет. 90% школьных задач - задачи жестко определенные. Каждое данное критично, и важно чувствовать, что именно оно дает задаче и что было бы, если бы оно имело другую форму.
Мой опыт говорит, что ученик понимает суть математического явления тогда и только тогда, когда он полностью выяснил для себя степень его определенности.
Как научить этому различению? Ответа нет. По себе знаю, что когда вижу задачу, непроизвольно конструирую в голове её и возможные элементарные отклонения по начальным данным. Когда конструкция не собирается (т.е. либо распадается, либо, напротив, слишко много жестких конфликтующих элементов) значит она либо недоопределена, либо переопределена соответственно. Теоретически, здесь должны помогать задачи на построение.
У меня в школе не было такого чутья. Оно появилось только в ВУЗе, когда стало слишком уж много этих "неправильных" задач. Но от него сейчас мало толку, поскольку в высшей математике классы этих задач выявили во времена, бывшие прежде нас. Сейчас действительно "некорректная" задача это задача определенная, но неустойчивая по начальным данным. А на эту устойчивость чутье есть у моего научника, не у меня.
Мне кажется важным, чтобы у математика возникло чутье на определенные, недоопределенные и переопределенные задачи. Прочитав условие задачи, в большинстве случаев можно сразу сказать, существует ли и единственно ли её решение.
Это важно стратегически: Во-первых, сразу понятно, стоит ли бороться с этой задачей или сразу обосновать отсутствие решения. Поскольку то и другое требует принципиально разного подхода, полезно сразу понять, в каком направлении двигаться, чтобы не решать заведомо нерешаемых задач. Во-вторых, если видно, что задача определена (или переопределена), то её единственное решение можно просто угадать. На этом основана куча теорем: доказываем единственность решения, а затем его угадываем, поскольку общий метод конструирования решений построить не удается.
Это важно и психологически: Часто, когда школьник не справился с задачей, это значит, что он просто испугался и не поверил в то, что решение может быть найдено. Поэтому я и пытаюсь (безуспешно) всем вдолбить: "как только вы нашли любые, сколь угодно экзотические, три элемента треугольника, из которых хотя бы один линейный - считайте, что задача у вас в кармане. По этим трём элементам всегда найдется любой другой, это математический факт."
Это важно и тактически: при решении задачи надо всегда держать в уме, какое из данных вы по существу использовали, а какое - нет. 90% школьных задач - задачи жестко определенные. Каждое данное критично, и важно чувствовать, что именно оно дает задаче и что было бы, если бы оно имело другую форму.
Мой опыт говорит, что ученик понимает суть математического явления тогда и только тогда, когда он полностью выяснил для себя степень его определенности.
Как научить этому различению? Ответа нет. По себе знаю, что когда вижу задачу, непроизвольно конструирую в голове её и возможные элементарные отклонения по начальным данным. Когда конструкция не собирается (т.е. либо распадается, либо, напротив, слишко много жестких конфликтующих элементов) значит она либо недоопределена, либо переопределена соответственно. Теоретически, здесь должны помогать задачи на построение.
У меня в школе не было такого чутья. Оно появилось только в ВУЗе, когда стало слишком уж много этих "неправильных" задач. Но от него сейчас мало толку, поскольку в высшей математике классы этих задач выявили во времена, бывшие прежде нас. Сейчас действительно "некорректная" задача это задача определенная, но неустойчивая по начальным данным. А на эту устойчивость чутье есть у моего научника, не у меня.