Неуловимое π или Математика от простака
Уж сколько копьев было обломано об это число, сколько бумаги переведено, сколько человекочасов загублено. Все, кому не лень, ищут π. Я вот тоже со своей колокольни его поискал, так сказать. Короче, кому интересно, гляньте хотя бы по диагонали - вдруг что-то новенькое для себя откроете. ;)
Рассмотрев пару десятков формул в Википедии по расчёту этого зверя, я не нашёл для себя ничего удовлетворительного. Везде или приблизительные дроби, или сложные формулы с кучей составляющих. А вот такой, чтобы "раз - и посчитал", нету. Я понимаю, что на калькуляторе есть заветная кнопочка. Ну, а если не будет? Как получить приемлемый для себя ответ за короткое действие? И я решил подойти к данной проблеме с другой стороны.
Что есть окружность? Куча точек, равноудалённых от общего центра. Но давайте на секундочку представим, что это не абы какие точки, расположенные в хаотичном порядке по этой окружности, а с определённым шагом друг от друга. Тогда определение окружности несколько меняется: окружность - это правильный многоугольник с бесконечным количеством углов. Согласны? Ну, а раз так, тогда своё число π есть и у многоугольника с конечным количеством углов. Точнее, их два - максимальное и минимальное. И зависит от количества этих самых углов. Ведь для каждого равностороннего многоугольника существует две завязанные на него окружности - вписанная в него и описанная вокруг. Если мы примем число π за переменную, а периметр этого многоугольника постоянным и равным единице, независимо от количества углов, мы увидим, как по мере роста числа углов значения π в таких фигурах становятся всё ближе и ближе к общеизвестному значению, а упомянутые окружности сближаются. Давайте вспомним кое-какие формулы:
r=a/(2tg(180/n) и R=a/(2sin(180/n))
где "r" - радиус вписанной (то есть малой) окружности, "R" - радиус окружности описанной, "a" - длина стороны многоугольника, а "n" - количество его сторон. Уже из этих формул мы видим, что их значения никогда не совпадут, так как графики синуса и тангенса пересекаются только в нуле. Но можно бесконечно приближать искомое значение. Зная, что длина стороны равностороннего многоугольника равна периметру "P", разделённому на количество сторон, и вспомнив формулу для длины окружности, которая равна 2πR (она же периметр "P" нашего "закругляемого" многоугольника), подставим это в преобразованную для π формулу (лучше для R, так как описанная окружность имеет большее приближение изначально):
π=P/2R=an/2(a/2sin(180/n))=n∙sin(180/n)
Сидя за калькулятором, делите 180 на любое число, клацаете по синусу и умножаете результат на это же число. Просто ведь! Да, мы никогда не выйдем таким способом на абсолютно точный результат, так как эти два значения, как два автомобиля, выехавшие друг навстречу другу с постоянно растущим до бесконечности отрицательным ускорением. Но наша цель другая. Всё дело в том, что в данном случае получаемое значение имеет легко управляемую точность. Так, при n=180 значение π уже даёт точность до трёх (почти четырёх) знаков после запятой - 3,1414 против 3,1415. Первое семизначное число "n" (один миллион) уже даст точность в одиннадцать знаков, а десятизначное (один миллиард) - в 17! На сегодняшний день практическое применение имеет, насколько я знаю, что-то около 40-а знаков после запятой. Вот и прикиньте, каким должно быть число "n" в этом случае. Но оно вам надо?.. ))
Такая вот у нас получилась формула аналитически контролируемой точности. Ценность у неё, может, и никакая, зато даёт возможность по-другому посмотреть на данную тематику - всё таки π ещё никто не называл переменной (я не слыхал, по крайней мере). Заодно и математиков потроллили. :) Всем трезвого ума и крепкой памяти на цифры и формулы.