Гомотопическая теория графов
Удивительное рядом.
Bisson и Tsemo опубликовали статью,
в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов.
Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей
из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними.
В частности, эта категория образует топос.
Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно
порождённую модельную структуру.
Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа
сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер.
Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких
деревьев, растущих от корня.
Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов.
В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков - вершин, из которых не выходят рёбра.
Кофибрантный граф - это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым
приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня.
Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф.
У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов,
у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория
графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория
дискретных графов: у каждой вершины есть петля.
Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов,
которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть
тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию.
А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае,
если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов.
(
Comments |Comment on this)
Bisson и Tsemo опубликовали статью,
в которой они вводят нетривиальную модельную структуру на топосе ориентированных графов.
Категория ориентированных графов определяется как категория предпучков множеств на категории, состоящей
из двух объектов и двух параллельных стрелок между ними.
В частности, эта категория образует топос.
Более удивительно, что на этом топосе можно ввести нетривиальную кофибрантно
порождённую модельную структуру.
Расслоениями в этой структуре будут морфизмы графов, индуцирующие для каждой вершины и её образа
сюръекцию на множестве выходящих из них рёбер.
Корасслоениями будут вложения, получающиеся путём приклеивания к графу путём толчка нескольких
деревьев, растущих от корня.
Наконец, слабыми эквивалентностями будут морфизмы, индуцирующие биекцию на множестве циклов.
В этой модельной структуре граф будет фибрантным, если у него нет тупиков - вершин, из которых не выходят рёбра.
Кофибрантный граф - это в точности копроизведение произвольного набора конечных циклов, к которым
приклеены путём толчка несколько деревьев, растущих от корня.
Кофибрантной заменой будет копроизведение всех циклов в графе с очевидным морфизмом в этот граф.
У категории графов есть важная цепочка подкатегорий: полная подкатегория графов,
у которых из каждой вершины выходит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория
графов, у которых в каждую вершину входит ровно одно ребро, у которой есть полная подкатегория
дискретных графов: у каждой вершины есть петля.
Между этими категориями есть несколько пар сопряжённых функторов,
которые не являются гомотопическими, но являются функторами Квиллена, и у них есть
тотальные производные функторы, вычисляющие нетривиальную информацию.
А вот забавная теорема: два конечных графа гомотопически эквивалентны в том и только в том случае,
если они почти изоспектральны, что равносильно совпадению дзета-функций этих графов.
(
Comments |Comment on this)