Философия метаматематики и оконечивание Бесконечного
(о внутренней противоречивости понятия "актуальная бесконечность")
# 06 (42) 20 июня 2001 г.
НАУЧНАЯ КОНТРРЕВОЛЮЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ
http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html
"Левополушарная преступность" вот уже больше века правит бал во владениях "королевы всех наук"
Александр Зенкин
(09.07.1937 - 22.02.2006)
Не так давно в официальном печатном органе Российской академии наук ("Вестник РАН", 1999, # 6, с. 553-558) была опубликована статья известного математика, вице-президента Международного математического союза, академика Владимира Игоревича Арнольда. Название этого материала было довольно непривычным, я бы сказал, провокационным - "Антинаучная революция и математика". У обычных людей, привыкших относиться к науке, а тем более к математике с почти врожденным пиететом, уже одно это название вызывает "законное чувство" тревоги и недоумения. Я попросил моего недавнего собеседника Александра Зенкина, профессора, доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Вычислительного центра РАН (см. интервью с ним - "Мультимедийный вариант наскальной живописи", "НГ-наука", # 3, март 2000 г.), прокомментировать статью академика Арнольда. Тем более что Александр Александрович заявил в своем интервью: "Визуализация математических абстракций обещает революцию в научном познании". Андрей ВАГАНОВ, ответственный редактор "НГ-науки"
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855):"Я возражаю... против употребления <актуально> бесконечной величины как чего-либо завершенного, что никогда не позволительно в математике..."
Ситуация действительно не совсем обычная. Один из ведущих математиков обвиняет математику в опасной склонности к абстрактному мышлению, или в так называемом левополушарном абстракционизме. "В середине ХХ столетия, - пишет, в частности, Владимир Арнольд, - обладавшая большим влиянием МАФИЯ "левополушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями... Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений" и, более того, создает "современное резко отрицательное отношение общества и правительств к математике".
ЛОГИКА НА ЛЮБОЙ ВКУС
Диагноз, несомненно, верный, но устрашающий и... не новый. Более трех столетий назад знаменитый (в бывшем СССР особенно, поскольку с "легкой руки" В.И. Ленина был включен в "черный список" классовых врагов диалектического и исторического материализма) епископ Дж.Беркли писал: "Если ум человека с детских лет погружен в абстракции, то в зрелом возрасте он теряет способность адекватно реагировать на окружающую его действительность". Более того, один из создателей именно абстрактно-теоретических, формальных основ современной информатики, Дж. фон Нейман, еще полвека тому назад предупреждал, что "излишняя формализация и символизация математической теории опасна для здорового развития математической науки".
Так что же получается: если отнюдь не заурядные представители математической науки на протяжении трех столетий ставят один и тот же неутешительный диагноз, то болезнь неизлечима? Не совсем так.
Дело в том, что математика возникла именно как инструмент наиболее общего и объективного, а значит, и наиболее абстрактного и формального описания законов природы. Достаточно вспомнить геометрию Евклида с ее древнейшей аксиоматической системой, которая без существенных изменений дошла до наших дней и стала эталоном для всех современных формально-аксиоматических, действительно научных, построений. Поэтому возражать против естественного стремления математики к максимально общему, абстрактно-теоретическому описанию "объективной реальности" значит, пользуясь известным сравнением Гильберта, пытаться запретить "профессиональным боксерам пользоваться на ринге своими кулаками".
Тем не менее трудно спорить с тем же Арнольдом и многими другими математиками, которые считают, что сверхабстракционизм ("бурбакизм", по терминологии Арнольда) современной математики привел к тому, что два математика, работающих в соседних комнатах, уже не в состоянии понять друг друга.
Лет тридцать тому назад ради спортивного интереса я начал коллекционировать различные "логики", используемые в современных логико-математических трактатах. Когда их количество перешагнуло вторую сотню, стало ясно: если логику можно выбирать "по вкусу" (или даже конструировать "по потребности"), то такое понятие, как "наука", становится здесь просто неуместным.
Пожалуй, ситуация в некотором смысле напоминает знаменитую "Вавилонскую" эпопею: звуки-символы абстрактных речений почти одинаковы, а смысл, если таковой имеется, у каждого - свой. Чем закончился Первый Вавилон - описано в Библии...
На мой взгляд, выход из создавшейся ситуации один…
ТРЕБУЕТСЯ КОНТР-КАНТОР-РЕВОЛЮЦИЯ!
Многие, конечно, слышали и помнят о революционных открытиях в математике, например, аксиоматика того же Евклида, или открытие дифференциального и интегрального исчислений Ньютоном и Лейбницем, или, наконец, недавнее решение знаменитой проблемы Ферма. Известны также историко-революционные потрясения и противоположного типа - великие кризисы в основаниях математики, связанные с открытием иррациональных чисел, бесконечно-малых и знаменитых парадоксов теории множеств. "Но чтобы контрреволюция! И где? В математике?!" - удивятся многие.
Что есть общего между великими кризисами в основаниях математики, хотя их и разделяют тысячелетия? Если быть кратким, то - неистребимое стремление математиков понять сущность бесконечного. Хочу сразу же заметить, что раньше все математики, так или иначе вовлеченные в эти кризисы, были одновременно и выдающимися философами. Но, как утверждают ученые богословы, Бесконечное есть атрибут Божий, а для конечного человека посягательство на "святыни" всегда чревато небезопасными последствиями.
Что послужило поводом и началом Третьего кризиса оснований математики? Дерзкая попытка в то время мало кому известного немецкого математика Георга Кантора актуализировать (по-русски - оконечить) Бесконечное.
Напомню, что со времен Аристотеля различают два контрадикторных (т.е., взаимоисключающих) понятия Бесконечного. А именно, если вы начинаете считать:
1, 2, 3,... (1),
и утверждаете, что закончить этот процесс невозможно в принципе, то такой тип "отсутствия конца" у ряда (1) называется его потенциальной бесконечностью. Если же вы согласны с тем, что ряд (1) не имеет последнего, наибольшего элемента, но тем не менее, следуя Кантору, полагаете, что, как бы это ни показалось противоречивым, - нет ничего нелепого в том, чтобы обозначить ("вообразить себе" - в канторовском оригинале) этот ряд (1) неким символом, например, греческим символом w (омега), назвать этот символ целым числом и, перепрыгнув через потенциальную бесконечность ряда (1), продолжить счет далее:
w, w + 1, w + 2, w + 3, и т.д., (2),
то такое весьма вольное обращение с рядом (1) называется его актуализацией, а его бесконечность "становится" завершенной (?!), законченной (?!) или актуальной бесконечностью.
Как известно, еще великий Аристотель предостерегал: "Infinitum Actu Non Datur", что эквивалентно российскому утверждению: "Понятие актуальной бесконечности является внутренне противоречивым", а потому его использование в науке - недопустимо. Как показала весьма продолжительная, почти 2200-летняя историческая практика, в вопросах "высшего логического и философского порядка" Аристотелю не только можно, но и нужно верить!
Однако в самом конце XIX века нашлись некоторые, довольно известные в то время, математики, которые приняли приведенное выше почти дословно и с математической точки зрения - вопиюще наивное рассуждение Георга Кантора (в котором "желаемого" гораздо больше, чем "действительного") за строгое математическое "доказательство" правомерности введения в математику актуально-бесконечных множеств. Начался триумфальный процесс "всеобщей актуализации" бесконечных множеств в математике.
ПАТОЛОГИЧЕСКИЙ КАЗУС
Однако трагические последствия такого, довольно скоропостижного шага не замедлили сказаться. Вначале сам Кантор (1893 г.), а вскоре Бертран Рассел (1902 г.) открывают целую серию парадоксов (т. е. неразрешимых противоречий), связанных именно с актуализацией бесконечных множеств. Начался Третий Великий кризис оснований математики, который, по мнению многих известных математиков и философов, "продолжается и по сей день".
Еще один, уже чисто психологический, казус состоит в том, что открытие любого подобного противоречия в любой другой науке означало бы ее полную дискредитацию и немедленное закрытие "на все времена". Однако целая плеяда выдающихся математиков и философов первой половины двадцатого века (таких, как Рассел, Гильберт, Брауэр и др.) посвятили всю свою жизнь "спасению" канторовской теории множеств, а следовательно, его идеи актуализации бесконечности. Жертвуя при этом солидными "кусками" здорового тела математической науки: Рассел, например, принес в жертву актуальной бесконечности самоприменимость математических понятий; Брауэр - фундаментальнейший закон логики - закон исключенного третьего; а Гильберт в своей знаменитой программе формализации всей математики фактически призывал вообще отказаться от семантики, то есть от содержательного смысла, математических конструкций. Другими словами, от всякой связи математических теорий с физическим миром.
Уж очень смелой и заманчивой представлялась для многих идея выйти "в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".
Однако несомненная историческая заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическому употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа.
АКУПУНКТУРА МЕТА-МАТЕМАТИКИ
С чего же следует начинать такой анализ? Вспомним, что уже наши далекие предки в совершенстве владели таким уникальным и эффективным терапевтическим методом, который сегодня называется методом акупунктуры. Суть этого метода, как известно, заключается в практическом использовании следующего универсального, почти кибернетического принципа. А именно: в любой сложной системе (например, в человеке или социуме) имеются так называемые узкие места, или аттракторы, или акупунктурные точки, обладающие тем уникальным свойством, что даже самые слабые воздействия на них способны вызывать существенные, а нередко (при неквалифицированном вмешательстве) и катастрофические изменения в состоянии и поведении всей сложной системы (живой, технической, финансовой, социальной, политической и т.д.) в целом.
Вот этим древним методом мы и воспользуемся. Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Несомненно - знаменитая теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Эта теорема является единственным "легитимным" поводом, который позволяет современным метаматематикам глубокомысленно вещать о существенном различии бесконечных множеств по их мощности, то есть по количеству содержащихся в них элементов (а всем остальным, реально "практикующим" математикам - покорно внимать и не менее глубокомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего лишь одну эту теорему Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика потеряет всякую привлекательность даже для своих собственных, самых "отпетых" приверженцев.
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году уже почти позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня. Однако сами-то эти направления оформились как самостоятельные дисциплины примерно в 30-х годах уже XX века, то есть почти через полвека после того, как Кантор доказал свою теорему! Следовательно, и сама эта теорема, и ее доказательство не имеют никакого отношения к устрашающим образом "бурбакизированным" способам "рассуждений", практикуемых сегодня в рамках упомянутых дисциплин.
Остается подозрение, что доказательство теоремы Кантора представляет собой чисто математическое, но ужасно сложное сочинение, которое доступно далеко не каждому обладателю красного математического диплома. Увы, в действительности, не у всякого профессионального математика повернется язык назвать математической работу, в которой, как, например, в теореме Кантора, используются всего лишь три понятия элементарной (школьной, то есть доступной каждому образованному гуманитарию) математики - понятия натурального числа, действительного числа и последовательности таких чисел.
Что же остается? Может быть канторовское доказательство представляет собой трактат аж на 100 страниц, как, например, решение знаменитой математической проблемы четырех красок? Или на 1000 страницах, как знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма, недавно анонсированное американским математиком Вайлсом? Ничего подобного! Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек! Я не оговорился, всего десять строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!
Я полагаю, что Брауэр немного не закончил свою мысль (см. выше): действительно, "грядущие поколения придут в ужас".., но только от "смущения" за своих математических предшественников, которые под гипнозом этих, всего-то десяти строчек, на целых сто лет и добровольно передали свою, по Гауссу, "королеву всех наук" в услужение коварному "бурбакизму"... Прямо-таки, сказочно-научно-фантастический триллер.
ДЕСЯТЬ СТРОЧЕК, КОТОРЫЕ ПОТРЯСЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР!
Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!
Увы, речь-то идет не о простом историческом недоразумении, а, согласно Брауэру, о "патологическом казусе" в истории математики. Думаю, не последнюю роль здесь сыграл доведенный до абсурда, особенно в ХХ веке, пиетет перед так называемым профессионализмом. Вплоть до того, что "дважды два" - это моя "территория", где я говорю на своем языке, а "трижды три" - чужая "епархия", где говорят на другом языке, и в ней мне уже "не должно сметь свое суждение иметь". Как ни странно, эта опасная болезнь является прямым - сегодня уже социальным - следствием Великой Промышленной революции последних трех столетий и... современного "бурбакизма".
Один великий ученый открывает совершенно абстрактную формулу E=mс2, другой великий ученый открывает новый химический элемент U-238, третий, талантливый инженер, изобретает технологию обогащения урана и производит из него A-Bomb, четвертый, политик, принимает решение использовать эту A-Bomb в самых "высоких и гуманных" целях, пятый, пилот-исполнитель, доставляет этого "Малыша" куда надо и делает с ним то, что приказано. "Гуманитарные" последствия такого "подарка" напоминают о себе до сих пор. Кто виноват? Вопрос, на который не существует ответа! Так, один из величайших факторов промышленного прогресса - принцип разделения труда ради повышения его эффективности "во благо..." имеет своим следствием вначале разделение ответственности, а затем - и разделение совести.
Если не углубляться в социально-психологические "дебри" этого процесса, то... философы однажды решили, что теорема Кантора - это профессиональная математика, то есть зона для философии запретная; 99% реально работающих математиков, то есть таких математиков, чьи достижения в конечном счете проверяются числом или практикой, однажды решили, что теорема Кантора - это метаматематика, и с тех пор в эту область - "ни ногой". Так что математика получила то, что имеет, - теорему Кантора плюс "сплошная бурбакизация" всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно мнению уважаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и многие другие математики вынуждены с грустью присоединиться.
Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Тем более что в метаматематику, как правило, "идут" интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.
Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"
Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".
Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".
У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.
В чем же, однако, заключается смысл грядущей контрреволюции в математике?
Любая революция, как мы все хорошо знаем, разрушает то, что было создано до нее. Следовательно, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и надлежит восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего.
Есть еще один парадокс, связанный с теорией Кантора. Конечно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного "покушения на устои" и не глядя отправит любую работу, опровергающую теорему Кантора, в корзину. Тем не менее мои основные результаты опубликованы, причем не в самых заурядных научных журналах. Математикам (метаматематиков просят не беспокоиться - у них было более ста лет, чтобы в этом разобраться) я рекомендую мою статью "Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Кантора о несчетности)", опубликованную в журнале "Доклады РАН" (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам - более популярное, но не менее строгое изложение в работе "Ошибка Георга Кантора", опубликованной в журнале "Вопросы философии" (2000 год, номер 2, стр. 45-48). Все вопросы и замечания можно направлять по электронному адресу: alexzen@com2com.ru.
Упоминавшаяся выше статья академика Арнольда, к сожалению, содержит один существенный недостаток. Она неконструктивна, поскольку в ней не содержится критерий, по которому было бы возможно отличить нормальный, здоровый, естественный "абстракционизм" математики от метаматематического "бурбакизма". Думаю, указать такой критерий невозможно в принципе.
Поэтому я лично вижу два способа профилактики "левополушарной преступности", о которой говорит Арнольд. Первый путь - радикально-юмористический: искоренение причин, порождающих этот вид "преступности". Второй путь - не менее конструктивный: истина должна быть нарисована и предъявлена "неограниченному кругу" зрителей. Если это действительно Истина и если мой сосед не дальтоник, то мы (и все вокруг) будем видеть одно и то же. И никто при всем желании уже не сможет, прикрываясь камуфляжем "бурбакизма", выдать ложь за истину, а пустое место - за выдающееся научное достижение.
И в заключение - давайте не будем забывать, что математика все-таки - "королева всех наук, а теория чисел - королева математики", а также и о том, что обычные натуральные числа "создал Господь Бог, все остальное - дело рук человеческих".
(c) Александр Зенкин. НАУЧНАЯ КОНТРРЕВОЛЮЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ
http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html
* * *
Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. №5. 2003. С. 68-72. ТЕОРЕМА КАНТОРА И «ФИГУРЫ УМОЛЧАНИЯ» В НАУЧНОЙ ДИСКУССИИ
Я.В. Шрамко (послесловие переводчика)
Абрахам Френкель (1891-1965) - выдающийся математик, прославившийся прежде всего своими работами в области теории множеств. Наиболее знаменитое его достижение связано с построением аксиоматической теории множеств. После того как была обнаружена противоречивость «наивной» теории множеств Георга Кантора (парадокс Рассела и другие теоретико-множественные антиномии), возникла задача ее коренной реконструкции и нахождения для нее более надежного основания, чем использовавшееся Г. Кантором «наивное» понятие множества. В качестве одного из возможных способов построения такого фундамента теории множеств был выдвинут метод аксиоматизации, т.е. метод формулировки непротиворечивой (или по крайней мере такой, в которой невыводимы известные антиномии) системы аксиом, в рамках которой сохранялись бы все наиболее важные достижения канторовской теории множеств. Первая такая система была предложена в 1908 г. Э. Цермело. Первоначальная формулировка этой системы была, однако, подвергнута критике, в частности, из-за неясности и расплывчатости используемого в ней понятия «определенное свойство». В 1922 г. А. Френкель предложил важное уточнение, формализующее понятие «определенность» посредством некоторого строгого понятия функции. Кроме того, А. Френкель добавил к системе аксиом Цермело одну чрезвычайно важную аксиому - аксиому подстановки, которая, в частности, позволила развить общий метод трансфинитной индукции и общую теорию порядковых чисел. Усовершенствованная таким образом система аксиом стала с тех пор называться системой Цермело-Френкеля (ZF), и именно под таким названием она до сих пор активно используется в современной математике как одна из наиболее распространенных аксиоматизаций теории множеств.
Не менее важной была и другая сторона деятельности А. Френкеля, которая условно может быть обозначена как «просветительско-педагогическая». Будучи крупномасштабным оригинальным исследователем в области теории множеств, получившим целый ряд выдающихся результатов, А. Френкель как в преподавании, так и в своих ярких статьях и книгах не уставал пропагандировать и популяризировать достижения этой теории и разъяснять ее значение. Им было написано (частью в соавторстве) несколько монографий и учебников, которые по праву считаются стандартными трудами по теории множеств и основаниям математики и которые до сих пор являются не только необходимым чтением для всякого студента, желающего на достаточно глубоком уровне освоить теорию множеств, но и своего рода справочными изданиями, содержащими глубокий и полный обзор многих классических результатов. Отечественный читатель хорошо знаком с одной из этих монографий - книгой «Основания теории множеств», написанной А. Френкелем в соавторстве с И. Бар-Хиллелом и опубликованной издательством «Мир» в переводе Ю.А. Гастева в 1966 г.
Небольшая статья А. Френкеля «О диагональном методе Кантора» вышла в 1935 г. в 25-м томе журнала «Fundamenta Mathematicae» (с. 45-50). Эта статья примечательна тем, что, будучи посвященной одному из «наиболее сильных и знаменитых методов» [1], используемых в основаниях логики и математики, она написана, скорее, на идейном уровне и имеет целью разъяснить суть этого метода посредством разбора некоторых критических замечаний, направленных против него. Диагональный метод Кантора играет ключевую роль не только при доказательстве несчетности континуума (множества действительных чисел), но и в знаменитой теореме Геделя о неполноте, в теории общерекурсивных и частично рекурсивных функций, для установления неразрешимости исчисления предикатов и для решения многих других важных метаматематических задач. Г. Кантор разработал и впервые применил диагональный метод для доказательства теоремы, названной впоследствии его именем. Речь идет о теореме, утверждающей, что мощность («количество» элементов) произвольного множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. Частным случаем этого утверждения как раз и является утверждение о несчетности множества действительных чисел.
Мы не будем здесь подробно останавливаться на значении этого фундаментального результата (формулировку которого можно встретить даже в элементарных математических справочниках) для современной математики, в частности для математического анализа. Об этом подробно говорится в обширной как математической, так и философской литературе. Остановимся на одном связанном с теоремой Кантора интересном феномене, относящемся не столько к сфере математики и философии, сколько к области психологии. Дело в том, что теорема Кантора практически с самого момента ее доказательства является излюбленной мишенью многочисленных дилетантов и «математиков-любителей», пытающихся всевозможными способами ее «опровергнуть». В этом отношении судьба данной теоремы схожа с судьбой многих классических общенаучных результатов и проблем - таких как проблема создания вечного двигателя, квадратуры круга или трисекции угла. Что заставляет людей, часто весьма далеких от физики и математики, снова и снова, не обращая внимания на закон сохранения энергии, разрабатывать проекты вечного двигателя? Или пытаться при помощи циркуля и линейки строить квадрат, равновеликий данному кругу, несмотря на то что невозможность такого построения установлена Ф. Линдеманом в 1882 г. вместе с доказательством трансцендентности числа я? Или же предлагать очередной способ деления произвольно заданного угла на три равновеликие части (опять же с помощью циркуля и линейки), хотя хорошо известно, что в 1837 г. П. Ванцель показал, что в общем виде эта задача не имеет решения? Такого рода вопросы, несомненно, представляют значительный интерес с точки зрения определенных разделов психологии, например психологии творчества, тем более что время от времени среди тех, кто объявляет войну Кантору и его теореме, встречаются и серьезные исследователи, хотя и не работающие профессионально в области математики, но известные по своим работам в других отраслях науки. Так, в начале 30-х годов XX в. диагональный метод Кантора был подвергнут критике П.У. Бриджменом (1882-1961), основателем оригинального направления в методологии и философии науки - операционализма. Как раз разбору выступления Бридж-мена и посвящена статья А. Френкеля, который убедительно показывает, что критические выпады Бриджмена хотя и не лишены видимой основательности, но все же несостоятельны [2]. Попутно Френкель с присущим ему мастерством, не принося в жертву популярности изложения глубину рассматриваемого вопроса, знакомит читателя с различными формулировками теоремы Кантора, излагает ее традиционное доказательство и разъясняет саму суть диагонального метода. Именно этим, в первую очередь, данная статья и интересна современному читателю, именно поэтому на нее до сих пор ссылаются в философско-математической литературе и регулярно перепечатывают в различных антологиях, посвященных теории множеств, основаниям математики и логики.
Существует, однако, еще одна причина, по которой российскому читателю, возможно, будет интересно ознакомиться со статьей А. Френкеля. Дело в том, что не так давно российское философское сообщество стало свидетелем очередной попытки «опровержения» теоремы Кантора. Речь идет об опубликованной в журнале «Вопросы философии» заметке А.А. Зенкина [3], в которой утверждается, что теорема Кантора якобы является ошибочной. В короткой реплике на эту заметку я показал, в чем заключается ошибка А.А. Зенкина и почему его «опровержение» не может быть принято всерьез [4]. Однако в своем «ответе» на мою реплику А.А. Зенкин не только повторил все те заблуждения, которые содержались в его первоначальной заметке (добавив к ним еще и несколько новых), но также позволил себе ряд сознательных передергиваний и серьезных искажений фактов («фигур умолчания», пользуясь выражением самого А.А. Зенкина) [5]. В качестве примера рассмотрим одну из таких «фигур умолчания».
А.А. Зенкин утверждает, что существуют якобы две разные теоремы Кантора - одна образца 1873 г. (А.А. Зенкин называет ее «Теорема I»), а другая - 1890 г. («Теорема II», согласно А.А Зенкину) и что я в своей реплике ссылаюсь на «ранний опус» 1873 г., в то время как он, А.А. Зенкин, говорит о теореме «образца 1890 г.» Итак, если верить АА Зенкину, в моем сообщении «речь идет исключительно о Теореме I и нет вообще ни слова о доказательстве Теоремы II», а значит, все мои «обильные примечания по поводу довольно сомнительных достоинств Теоремы I» не достигают цели. К сожалению, здесь мы сталкиваемся с грубой подтасовкой фактов со стороны А.А. Зенкина. В своей реплике я привожу точную формулировку теоремы, цитируя при этом статью Кантора «Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre», которая, как это прекрасно известно А.А. Зенкину (хотя он об этом и «умалчивает»), впервые была опубликована в журнале «Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung» (т. 1, 1890-1891 гг.). Именно к формулировке 1890 г. и относятся все мои «обильные примечания». Кроме того, вообще не существует никаких «двух различных теорем Кантора». Имеются, во-первых, две эквивалентные формулировки - позитивная и негативная - одной и той же теоремы и, во-вторых, два ее случая: общий случай, относящийся к мощности множества-степени, и частный случай о несчетности континуума. Если этот факт по каким-либо причинам ускользнул от внимания «профессионального математика, который не понаслышке знает, что есть такое математическое доказательство», то он может ознакомиться с ним, например, в публикуемой статье А. Френкеля, где как раз очень хорошо говорится о двух формулировках теоремы, указывается элементарное логическое правило, на основании которого они являются эквивалентными, а также отмечаются общий и частный случаи теоремы Кантора. Таким образом, «аргументация» А.А. Зенкина рассыпается, как карточный домик, поскольку она в значительной степени строится именно на мнимом противопоставлении «двух теорем Кантора».
[...]
# 06 (42) 20 июня 2001 г.
НАУЧНАЯ КОНТРРЕВОЛЮЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ
http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html
"Левополушарная преступность" вот уже больше века правит бал во владениях "королевы всех наук"
Александр Зенкин
(09.07.1937 - 22.02.2006)
Не так давно в официальном печатном органе Российской академии наук ("Вестник РАН", 1999, # 6, с. 553-558) была опубликована статья известного математика, вице-президента Международного математического союза, академика Владимира Игоревича Арнольда. Название этого материала было довольно непривычным, я бы сказал, провокационным - "Антинаучная революция и математика". У обычных людей, привыкших относиться к науке, а тем более к математике с почти врожденным пиететом, уже одно это название вызывает "законное чувство" тревоги и недоумения. Я попросил моего недавнего собеседника Александра Зенкина, профессора, доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Вычислительного центра РАН (см. интервью с ним - "Мультимедийный вариант наскальной живописи", "НГ-наука", # 3, март 2000 г.), прокомментировать статью академика Арнольда. Тем более что Александр Александрович заявил в своем интервью: "Визуализация математических абстракций обещает революцию в научном познании". Андрей ВАГАНОВ, ответственный редактор "НГ-науки"
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855):"Я возражаю... против употребления <актуально> бесконечной величины как чего-либо завершенного, что никогда не позволительно в математике..."
Ситуация действительно не совсем обычная. Один из ведущих математиков обвиняет математику в опасной склонности к абстрактному мышлению, или в так называемом левополушарном абстракционизме. "В середине ХХ столетия, - пишет, в частности, Владимир Арнольд, - обладавшая большим влиянием МАФИЯ "левополушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического образования (сперва во Франции, а потом и в других странах), заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями... Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений" и, более того, создает "современное резко отрицательное отношение общества и правительств к математике".
ЛОГИКА НА ЛЮБОЙ ВКУС
Диагноз, несомненно, верный, но устрашающий и... не новый. Более трех столетий назад знаменитый (в бывшем СССР особенно, поскольку с "легкой руки" В.И. Ленина был включен в "черный список" классовых врагов диалектического и исторического материализма) епископ Дж.Беркли писал: "Если ум человека с детских лет погружен в абстракции, то в зрелом возрасте он теряет способность адекватно реагировать на окружающую его действительность". Более того, один из создателей именно абстрактно-теоретических, формальных основ современной информатики, Дж. фон Нейман, еще полвека тому назад предупреждал, что "излишняя формализация и символизация математической теории опасна для здорового развития математической науки".
Так что же получается: если отнюдь не заурядные представители математической науки на протяжении трех столетий ставят один и тот же неутешительный диагноз, то болезнь неизлечима? Не совсем так.
Дело в том, что математика возникла именно как инструмент наиболее общего и объективного, а значит, и наиболее абстрактного и формального описания законов природы. Достаточно вспомнить геометрию Евклида с ее древнейшей аксиоматической системой, которая без существенных изменений дошла до наших дней и стала эталоном для всех современных формально-аксиоматических, действительно научных, построений. Поэтому возражать против естественного стремления математики к максимально общему, абстрактно-теоретическому описанию "объективной реальности" значит, пользуясь известным сравнением Гильберта, пытаться запретить "профессиональным боксерам пользоваться на ринге своими кулаками".
Тем не менее трудно спорить с тем же Арнольдом и многими другими математиками, которые считают, что сверхабстракционизм ("бурбакизм", по терминологии Арнольда) современной математики привел к тому, что два математика, работающих в соседних комнатах, уже не в состоянии понять друг друга.
Лет тридцать тому назад ради спортивного интереса я начал коллекционировать различные "логики", используемые в современных логико-математических трактатах. Когда их количество перешагнуло вторую сотню, стало ясно: если логику можно выбирать "по вкусу" (или даже конструировать "по потребности"), то такое понятие, как "наука", становится здесь просто неуместным.
Пожалуй, ситуация в некотором смысле напоминает знаменитую "Вавилонскую" эпопею: звуки-символы абстрактных речений почти одинаковы, а смысл, если таковой имеется, у каждого - свой. Чем закончился Первый Вавилон - описано в Библии...
На мой взгляд, выход из создавшейся ситуации один…
ТРЕБУЕТСЯ КОНТР-КАНТОР-РЕВОЛЮЦИЯ!
Многие, конечно, слышали и помнят о революционных открытиях в математике, например, аксиоматика того же Евклида, или открытие дифференциального и интегрального исчислений Ньютоном и Лейбницем, или, наконец, недавнее решение знаменитой проблемы Ферма. Известны также историко-революционные потрясения и противоположного типа - великие кризисы в основаниях математики, связанные с открытием иррациональных чисел, бесконечно-малых и знаменитых парадоксов теории множеств. "Но чтобы контрреволюция! И где? В математике?!" - удивятся многие.
Что есть общего между великими кризисами в основаниях математики, хотя их и разделяют тысячелетия? Если быть кратким, то - неистребимое стремление математиков понять сущность бесконечного. Хочу сразу же заметить, что раньше все математики, так или иначе вовлеченные в эти кризисы, были одновременно и выдающимися философами. Но, как утверждают ученые богословы, Бесконечное есть атрибут Божий, а для конечного человека посягательство на "святыни" всегда чревато небезопасными последствиями.
Что послужило поводом и началом Третьего кризиса оснований математики? Дерзкая попытка в то время мало кому известного немецкого математика Георга Кантора актуализировать (по-русски - оконечить) Бесконечное.
Напомню, что со времен Аристотеля различают два контрадикторных (т.е., взаимоисключающих) понятия Бесконечного. А именно, если вы начинаете считать:
1, 2, 3,... (1),
и утверждаете, что закончить этот процесс невозможно в принципе, то такой тип "отсутствия конца" у ряда (1) называется его потенциальной бесконечностью. Если же вы согласны с тем, что ряд (1) не имеет последнего, наибольшего элемента, но тем не менее, следуя Кантору, полагаете, что, как бы это ни показалось противоречивым, - нет ничего нелепого в том, чтобы обозначить ("вообразить себе" - в канторовском оригинале) этот ряд (1) неким символом, например, греческим символом w (омега), назвать этот символ целым числом и, перепрыгнув через потенциальную бесконечность ряда (1), продолжить счет далее:
w, w + 1, w + 2, w + 3, и т.д., (2),
то такое весьма вольное обращение с рядом (1) называется его актуализацией, а его бесконечность "становится" завершенной (?!), законченной (?!) или актуальной бесконечностью.
Как известно, еще великий Аристотель предостерегал: "Infinitum Actu Non Datur", что эквивалентно российскому утверждению: "Понятие актуальной бесконечности является внутренне противоречивым", а потому его использование в науке - недопустимо. Как показала весьма продолжительная, почти 2200-летняя историческая практика, в вопросах "высшего логического и философского порядка" Аристотелю не только можно, но и нужно верить!
Однако в самом конце XIX века нашлись некоторые, довольно известные в то время, математики, которые приняли приведенное выше почти дословно и с математической точки зрения - вопиюще наивное рассуждение Георга Кантора (в котором "желаемого" гораздо больше, чем "действительного") за строгое математическое "доказательство" правомерности введения в математику актуально-бесконечных множеств. Начался триумфальный процесс "всеобщей актуализации" бесконечных множеств в математике.
ПАТОЛОГИЧЕСКИЙ КАЗУС
Однако трагические последствия такого, довольно скоропостижного шага не замедлили сказаться. Вначале сам Кантор (1893 г.), а вскоре Бертран Рассел (1902 г.) открывают целую серию парадоксов (т. е. неразрешимых противоречий), связанных именно с актуализацией бесконечных множеств. Начался Третий Великий кризис оснований математики, который, по мнению многих известных математиков и философов, "продолжается и по сей день".
Еще один, уже чисто психологический, казус состоит в том, что открытие любого подобного противоречия в любой другой науке означало бы ее полную дискредитацию и немедленное закрытие "на все времена". Однако целая плеяда выдающихся математиков и философов первой половины двадцатого века (таких, как Рассел, Гильберт, Брауэр и др.) посвятили всю свою жизнь "спасению" канторовской теории множеств, а следовательно, его идеи актуализации бесконечности. Жертвуя при этом солидными "кусками" здорового тела математической науки: Рассел, например, принес в жертву актуальной бесконечности самоприменимость математических понятий; Брауэр - фундаментальнейший закон логики - закон исключенного третьего; а Гильберт в своей знаменитой программе формализации всей математики фактически призывал вообще отказаться от семантики, то есть от содержательного смысла, математических конструкций. Другими словами, от всякой связи математических теорий с физическим миром.
Уж очень смелой и заманчивой представлялась для многих идея выйти "в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".
Однако несомненная историческая заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическому употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа.
АКУПУНКТУРА МЕТА-МАТЕМАТИКИ
С чего же следует начинать такой анализ? Вспомним, что уже наши далекие предки в совершенстве владели таким уникальным и эффективным терапевтическим методом, который сегодня называется методом акупунктуры. Суть этого метода, как известно, заключается в практическом использовании следующего универсального, почти кибернетического принципа. А именно: в любой сложной системе (например, в человеке или социуме) имеются так называемые узкие места, или аттракторы, или акупунктурные точки, обладающие тем уникальным свойством, что даже самые слабые воздействия на них способны вызывать существенные, а нередко (при неквалифицированном вмешательстве) и катастрофические изменения в состоянии и поведении всей сложной системы (живой, технической, финансовой, социальной, политической и т.д.) в целом.
Вот этим древним методом мы и воспользуемся. Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Несомненно - знаменитая теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Эта теорема является единственным "легитимным" поводом, который позволяет современным метаматематикам глубокомысленно вещать о существенном различии бесконечных множеств по их мощности, то есть по количеству содержащихся в них элементов (а всем остальным, реально "практикующим" математикам - покорно внимать и не менее глубокомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего лишь одну эту теорему Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика потеряет всякую привлекательность даже для своих собственных, самых "отпетых" приверженцев.
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году уже почти позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня. Однако сами-то эти направления оформились как самостоятельные дисциплины примерно в 30-х годах уже XX века, то есть почти через полвека после того, как Кантор доказал свою теорему! Следовательно, и сама эта теорема, и ее доказательство не имеют никакого отношения к устрашающим образом "бурбакизированным" способам "рассуждений", практикуемых сегодня в рамках упомянутых дисциплин.
Остается подозрение, что доказательство теоремы Кантора представляет собой чисто математическое, но ужасно сложное сочинение, которое доступно далеко не каждому обладателю красного математического диплома. Увы, в действительности, не у всякого профессионального математика повернется язык назвать математической работу, в которой, как, например, в теореме Кантора, используются всего лишь три понятия элементарной (школьной, то есть доступной каждому образованному гуманитарию) математики - понятия натурального числа, действительного числа и последовательности таких чисел.
Что же остается? Может быть канторовское доказательство представляет собой трактат аж на 100 страниц, как, например, решение знаменитой математической проблемы четырех красок? Или на 1000 страницах, как знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма, недавно анонсированное американским математиком Вайлсом? Ничего подобного! Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек! Я не оговорился, всего десять строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!
Я полагаю, что Брауэр немного не закончил свою мысль (см. выше): действительно, "грядущие поколения придут в ужас".., но только от "смущения" за своих математических предшественников, которые под гипнозом этих, всего-то десяти строчек, на целых сто лет и добровольно передали свою, по Гауссу, "королеву всех наук" в услужение коварному "бурбакизму"... Прямо-таки, сказочно-научно-фантастический триллер.
ДЕСЯТЬ СТРОЧЕК, КОТОРЫЕ ПОТРЯСЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР!
Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!
Увы, речь-то идет не о простом историческом недоразумении, а, согласно Брауэру, о "патологическом казусе" в истории математики. Думаю, не последнюю роль здесь сыграл доведенный до абсурда, особенно в ХХ веке, пиетет перед так называемым профессионализмом. Вплоть до того, что "дважды два" - это моя "территория", где я говорю на своем языке, а "трижды три" - чужая "епархия", где говорят на другом языке, и в ней мне уже "не должно сметь свое суждение иметь". Как ни странно, эта опасная болезнь является прямым - сегодня уже социальным - следствием Великой Промышленной революции последних трех столетий и... современного "бурбакизма".
Один великий ученый открывает совершенно абстрактную формулу E=mс2, другой великий ученый открывает новый химический элемент U-238, третий, талантливый инженер, изобретает технологию обогащения урана и производит из него A-Bomb, четвертый, политик, принимает решение использовать эту A-Bomb в самых "высоких и гуманных" целях, пятый, пилот-исполнитель, доставляет этого "Малыша" куда надо и делает с ним то, что приказано. "Гуманитарные" последствия такого "подарка" напоминают о себе до сих пор. Кто виноват? Вопрос, на который не существует ответа! Так, один из величайших факторов промышленного прогресса - принцип разделения труда ради повышения его эффективности "во благо..." имеет своим следствием вначале разделение ответственности, а затем - и разделение совести.
Если не углубляться в социально-психологические "дебри" этого процесса, то... философы однажды решили, что теорема Кантора - это профессиональная математика, то есть зона для философии запретная; 99% реально работающих математиков, то есть таких математиков, чьи достижения в конечном счете проверяются числом или практикой, однажды решили, что теорема Кантора - это метаматематика, и с тех пор в эту область - "ни ногой". Так что математика получила то, что имеет, - теорему Кантора плюс "сплошная бурбакизация" всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно мнению уважаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и многие другие математики вынуждены с грустью присоединиться.
Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Тем более что в метаматематику, как правило, "идут" интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.
Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"
Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".
Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".
У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.
В чем же, однако, заключается смысл грядущей контрреволюции в математике?
Любая революция, как мы все хорошо знаем, разрушает то, что было создано до нее. Следовательно, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и надлежит восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего.
Есть еще один парадокс, связанный с теорией Кантора. Конечно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного "покушения на устои" и не глядя отправит любую работу, опровергающую теорему Кантора, в корзину. Тем не менее мои основные результаты опубликованы, причем не в самых заурядных научных журналах. Математикам (метаматематиков просят не беспокоиться - у них было более ста лет, чтобы в этом разобраться) я рекомендую мою статью "Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Кантора о несчетности)", опубликованную в журнале "Доклады РАН" (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам - более популярное, но не менее строгое изложение в работе "Ошибка Георга Кантора", опубликованной в журнале "Вопросы философии" (2000 год, номер 2, стр. 45-48). Все вопросы и замечания можно направлять по электронному адресу: alexzen@com2com.ru.
Упоминавшаяся выше статья академика Арнольда, к сожалению, содержит один существенный недостаток. Она неконструктивна, поскольку в ней не содержится критерий, по которому было бы возможно отличить нормальный, здоровый, естественный "абстракционизм" математики от метаматематического "бурбакизма". Думаю, указать такой критерий невозможно в принципе.
Поэтому я лично вижу два способа профилактики "левополушарной преступности", о которой говорит Арнольд. Первый путь - радикально-юмористический: искоренение причин, порождающих этот вид "преступности". Второй путь - не менее конструктивный: истина должна быть нарисована и предъявлена "неограниченному кругу" зрителей. Если это действительно Истина и если мой сосед не дальтоник, то мы (и все вокруг) будем видеть одно и то же. И никто при всем желании уже не сможет, прикрываясь камуфляжем "бурбакизма", выдать ложь за истину, а пустое место - за выдающееся научное достижение.
И в заключение - давайте не будем забывать, что математика все-таки - "королева всех наук, а теория чисел - королева математики", а также и о том, что обычные натуральные числа "создал Господь Бог, все остальное - дело рук человеческих".
(c) Александр Зенкин. НАУЧНАЯ КОНТРРЕВОЛЮЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ
http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html
* * *
Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. №5. 2003. С. 68-72. ТЕОРЕМА КАНТОРА И «ФИГУРЫ УМОЛЧАНИЯ» В НАУЧНОЙ ДИСКУССИИ
Я.В. Шрамко (послесловие переводчика)
Абрахам Френкель (1891-1965) - выдающийся математик, прославившийся прежде всего своими работами в области теории множеств. Наиболее знаменитое его достижение связано с построением аксиоматической теории множеств. После того как была обнаружена противоречивость «наивной» теории множеств Георга Кантора (парадокс Рассела и другие теоретико-множественные антиномии), возникла задача ее коренной реконструкции и нахождения для нее более надежного основания, чем использовавшееся Г. Кантором «наивное» понятие множества. В качестве одного из возможных способов построения такого фундамента теории множеств был выдвинут метод аксиоматизации, т.е. метод формулировки непротиворечивой (или по крайней мере такой, в которой невыводимы известные антиномии) системы аксиом, в рамках которой сохранялись бы все наиболее важные достижения канторовской теории множеств. Первая такая система была предложена в 1908 г. Э. Цермело. Первоначальная формулировка этой системы была, однако, подвергнута критике, в частности, из-за неясности и расплывчатости используемого в ней понятия «определенное свойство». В 1922 г. А. Френкель предложил важное уточнение, формализующее понятие «определенность» посредством некоторого строгого понятия функции. Кроме того, А. Френкель добавил к системе аксиом Цермело одну чрезвычайно важную аксиому - аксиому подстановки, которая, в частности, позволила развить общий метод трансфинитной индукции и общую теорию порядковых чисел. Усовершенствованная таким образом система аксиом стала с тех пор называться системой Цермело-Френкеля (ZF), и именно под таким названием она до сих пор активно используется в современной математике как одна из наиболее распространенных аксиоматизаций теории множеств.
Не менее важной была и другая сторона деятельности А. Френкеля, которая условно может быть обозначена как «просветительско-педагогическая». Будучи крупномасштабным оригинальным исследователем в области теории множеств, получившим целый ряд выдающихся результатов, А. Френкель как в преподавании, так и в своих ярких статьях и книгах не уставал пропагандировать и популяризировать достижения этой теории и разъяснять ее значение. Им было написано (частью в соавторстве) несколько монографий и учебников, которые по праву считаются стандартными трудами по теории множеств и основаниям математики и которые до сих пор являются не только необходимым чтением для всякого студента, желающего на достаточно глубоком уровне освоить теорию множеств, но и своего рода справочными изданиями, содержащими глубокий и полный обзор многих классических результатов. Отечественный читатель хорошо знаком с одной из этих монографий - книгой «Основания теории множеств», написанной А. Френкелем в соавторстве с И. Бар-Хиллелом и опубликованной издательством «Мир» в переводе Ю.А. Гастева в 1966 г.
Небольшая статья А. Френкеля «О диагональном методе Кантора» вышла в 1935 г. в 25-м томе журнала «Fundamenta Mathematicae» (с. 45-50). Эта статья примечательна тем, что, будучи посвященной одному из «наиболее сильных и знаменитых методов» [1], используемых в основаниях логики и математики, она написана, скорее, на идейном уровне и имеет целью разъяснить суть этого метода посредством разбора некоторых критических замечаний, направленных против него. Диагональный метод Кантора играет ключевую роль не только при доказательстве несчетности континуума (множества действительных чисел), но и в знаменитой теореме Геделя о неполноте, в теории общерекурсивных и частично рекурсивных функций, для установления неразрешимости исчисления предикатов и для решения многих других важных метаматематических задач. Г. Кантор разработал и впервые применил диагональный метод для доказательства теоремы, названной впоследствии его именем. Речь идет о теореме, утверждающей, что мощность («количество» элементов) произвольного множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. Частным случаем этого утверждения как раз и является утверждение о несчетности множества действительных чисел.
Мы не будем здесь подробно останавливаться на значении этого фундаментального результата (формулировку которого можно встретить даже в элементарных математических справочниках) для современной математики, в частности для математического анализа. Об этом подробно говорится в обширной как математической, так и философской литературе. Остановимся на одном связанном с теоремой Кантора интересном феномене, относящемся не столько к сфере математики и философии, сколько к области психологии. Дело в том, что теорема Кантора практически с самого момента ее доказательства является излюбленной мишенью многочисленных дилетантов и «математиков-любителей», пытающихся всевозможными способами ее «опровергнуть». В этом отношении судьба данной теоремы схожа с судьбой многих классических общенаучных результатов и проблем - таких как проблема создания вечного двигателя, квадратуры круга или трисекции угла. Что заставляет людей, часто весьма далеких от физики и математики, снова и снова, не обращая внимания на закон сохранения энергии, разрабатывать проекты вечного двигателя? Или пытаться при помощи циркуля и линейки строить квадрат, равновеликий данному кругу, несмотря на то что невозможность такого построения установлена Ф. Линдеманом в 1882 г. вместе с доказательством трансцендентности числа я? Или же предлагать очередной способ деления произвольно заданного угла на три равновеликие части (опять же с помощью циркуля и линейки), хотя хорошо известно, что в 1837 г. П. Ванцель показал, что в общем виде эта задача не имеет решения? Такого рода вопросы, несомненно, представляют значительный интерес с точки зрения определенных разделов психологии, например психологии творчества, тем более что время от времени среди тех, кто объявляет войну Кантору и его теореме, встречаются и серьезные исследователи, хотя и не работающие профессионально в области математики, но известные по своим работам в других отраслях науки. Так, в начале 30-х годов XX в. диагональный метод Кантора был подвергнут критике П.У. Бриджменом (1882-1961), основателем оригинального направления в методологии и философии науки - операционализма. Как раз разбору выступления Бридж-мена и посвящена статья А. Френкеля, который убедительно показывает, что критические выпады Бриджмена хотя и не лишены видимой основательности, но все же несостоятельны [2]. Попутно Френкель с присущим ему мастерством, не принося в жертву популярности изложения глубину рассматриваемого вопроса, знакомит читателя с различными формулировками теоремы Кантора, излагает ее традиционное доказательство и разъясняет саму суть диагонального метода. Именно этим, в первую очередь, данная статья и интересна современному читателю, именно поэтому на нее до сих пор ссылаются в философско-математической литературе и регулярно перепечатывают в различных антологиях, посвященных теории множеств, основаниям математики и логики.
Существует, однако, еще одна причина, по которой российскому читателю, возможно, будет интересно ознакомиться со статьей А. Френкеля. Дело в том, что не так давно российское философское сообщество стало свидетелем очередной попытки «опровержения» теоремы Кантора. Речь идет об опубликованной в журнале «Вопросы философии» заметке А.А. Зенкина [3], в которой утверждается, что теорема Кантора якобы является ошибочной. В короткой реплике на эту заметку я показал, в чем заключается ошибка А.А. Зенкина и почему его «опровержение» не может быть принято всерьез [4]. Однако в своем «ответе» на мою реплику А.А. Зенкин не только повторил все те заблуждения, которые содержались в его первоначальной заметке (добавив к ним еще и несколько новых), но также позволил себе ряд сознательных передергиваний и серьезных искажений фактов («фигур умолчания», пользуясь выражением самого А.А. Зенкина) [5]. В качестве примера рассмотрим одну из таких «фигур умолчания».
А.А. Зенкин утверждает, что существуют якобы две разные теоремы Кантора - одна образца 1873 г. (А.А. Зенкин называет ее «Теорема I»), а другая - 1890 г. («Теорема II», согласно А.А Зенкину) и что я в своей реплике ссылаюсь на «ранний опус» 1873 г., в то время как он, А.А. Зенкин, говорит о теореме «образца 1890 г.» Итак, если верить АА Зенкину, в моем сообщении «речь идет исключительно о Теореме I и нет вообще ни слова о доказательстве Теоремы II», а значит, все мои «обильные примечания по поводу довольно сомнительных достоинств Теоремы I» не достигают цели. К сожалению, здесь мы сталкиваемся с грубой подтасовкой фактов со стороны А.А. Зенкина. В своей реплике я привожу точную формулировку теоремы, цитируя при этом статью Кантора «Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre», которая, как это прекрасно известно А.А. Зенкину (хотя он об этом и «умалчивает»), впервые была опубликована в журнале «Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung» (т. 1, 1890-1891 гг.). Именно к формулировке 1890 г. и относятся все мои «обильные примечания». Кроме того, вообще не существует никаких «двух различных теорем Кантора». Имеются, во-первых, две эквивалентные формулировки - позитивная и негативная - одной и той же теоремы и, во-вторых, два ее случая: общий случай, относящийся к мощности множества-степени, и частный случай о несчетности континуума. Если этот факт по каким-либо причинам ускользнул от внимания «профессионального математика, который не понаслышке знает, что есть такое математическое доказательство», то он может ознакомиться с ним, например, в публикуемой статье А. Френкеля, где как раз очень хорошо говорится о двух формулировках теоремы, указывается элементарное логическое правило, на основании которого они являются эквивалентными, а также отмечаются общий и частный случаи теоремы Кантора. Таким образом, «аргументация» А.А. Зенкина рассыпается, как карточный домик, поскольку она в значительной степени строится именно на мнимом противопоставлении «двух теорем Кантора».
[...]