Математика и Диалектика
Планировал три заметки, Физика и Философия, Философия и Логика, Логика и Диалектика, но требуется отступление.
(Копии Физика и Философия, Философия и Логика в своем журнале)
Отступление это связано с тем, что вопросы математики в контексте диалектики возникают достаточно часто. Поэтому хотелось бы высказать свое мнение. О математике также писал здесь: Математика, логика …
Эпиграф
«… подобно всякому математику, я с изумлением убеждался, до чего потрясающе неожиданна и неслыханно многостороння эта деятельность, вначале похожая на игру. Вступая в нее, ты гордо, открыто и безоговорочно обособляешь свою мысль от действительности и с помощью произвольных постулатов, категоричных, словно акт творения, замыкаешься в терминологических границах, призванных изолировать тебя от суетного скопища, в котором приходится жить.
Но именно этот отказ, этот полный разрыв и раскрывает нам сердцевину явлений; побег оборачивается завоеванием, дезертирство - постижением, а разрыв - примирением. Мы с удивлением замечаем, что бегство было мнимым и мы вернулись к тому, от чего убегали. Враг, сбросив старую кожу, предстает перед нами союзником, мы удостаиваемся очищения, мир молчаливо дает нам понять, что преодолеть его можно лишь с его помощью. Так усмиряется страх, оборачиваясь восхищением, - в этом необыкновенном убежище, из глубин которого открывается выход в единое пространство мироздания.»
[Станислав Лем. Глас Господа]
«Давида Гильберта как-то спросили об одном из его бывших учеников.
- Ах, этот-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения.» [Анекдот]
Понимание термина Диалектика не менее разнообразно, чем понимание термина Логика. Здесь я буду Диалектику понимать достаточно широко, т.е. как такое учение, логику, образ (способ) мышления, которые не боятся, а даже стремятся работать с противоположными, противоречивыми мыслями, высказываниями, положениями, тенденциями. Более того, диалектика возникает не просто из признания наличия противоположностей и противоречий, а тогда, когда доводит рассмотрение противоположностей до перехода их друг в друга, до тождества.
Математика же является языком (наукой), содержание которой строится на основе математической, т.е. формальной логики (ФЛ), в которой, как известно два противоречивых положения не могут быть одновременно истинными. И вообще, я лично не встречал математических работ, использующих диалектические построения в духе Гегеля, Лосева или Ильенкова. Тем не менее, не так уж редко возникает вопрос о диалектике в математике.
На мой взгляд, диалектика в математике есть. Возьмем, к примеру, типичное математическое тождество:
sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b).
В нем друг против друга (справа и слева от знака равенства) положены два совершенно разных выражения, которые одновременно являются тождественными:)
Разумеется, такая примитивная диалектика является для математики практически бесполезной и непродуктивной. Однако, математика вообще, а не только в этом примере ну просто стремиться к объединению того, что выглядит на первый (и даже второй и третий) взгляд совершенно разным. Например, аналитическая геометрия устанавливает тождество между геометрическими объектами и алгебраическими уравнениями. (Если кто-то считает это тождество самоочевидным или будет утверждать, что квадратичная функция и сечение конуса плоскостью не являются вещами разными, может дальше не читать.) Математика есть постоянное стремление к синтезу. А синтез - это собственно и есть диалектика.
В тоже время, все математические построения осуществляются по правилам ФЛ и ничего кроме ФЛ для их выражения не нужно. Поэтому в самой по себе математике диалектики нет и она для нее видимо бесполезна.
Однако, вокруг математики при ее развитии и создании, при изучении, при применении диалектики полным полно. Причем она проявляется не только в высших областях, но и в самых элементарных. Что даже с простым счетом не все так просто, неплохо понимал и Буратино. Два плюс два будет четыре. А так ли это? Возьмите две капли воды и еще две капли, сколько капель получиться? Складывать можно однородные предметы, а километры с килограммами - нелепо. А вот умножение считается краткой записью сложения, однако умножать можно только числа, обозначающие разнородные количества. Все ли об этом помнят? Все это кому-то может казаться элементарным, но это отнюдь не так просто и очевидно для людей еще слабо знакомых с математикой.
Да и самим арифметическим тождеством 2+2=4 не все так просто. Попробуйте его доказать! А еще, скажите, когда были сформулированы аксиомы, на которые можно опираться при таком доказательстве.
Перейдем к вычитанию. Вычитание в тоже время есть сложение, но с отрицательными числами. Вообще само по себе понятие отрицательного числа не так просто, что это такое отрицательное количество само по себе? А есть еще мнимые числа, которые вроде бы и числа, но какие-то они не совсем числа.
А еще есть число, а есть величина. Иногда мы настолько привыкли их считать чем-то тождественным, что почти и не делаем между ними разницы. А вот древние греки отчетливо эту разницу знали и понимали и, например, тождество (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (^ - означает «в степени») доказывали отдельно для чисел и отдельно для величин.
Математика строится на дедуктивном ФЛ доказательстве (выводе). Однако такого типа доказательство обычно трудно понять, не имея его некой образной, интуитивной идеи. Часто интуитивный подход оказывается более продуктивным, чем чисто ФЛ. Пример - исчисление бесконечно малых, т.е. анализ. От четкости и ФЛ строгости Архимеда это исчисление перешло к полуинтуитивным понятиям бесконечно малой, а затем вновь вернулось в лоно ФЛ через понятие предела.
Чего больше, натуральных чисел или точек на прямой? А как вообще сравнивать бесконечные количества? А чего больше, точек на прямой или точек на плоскости? (Ответ на последний вопрос настолько удивил первооткрывателя, что он сказал: «Я это вижу, но не верю в это».) А можно ли вообще считать, что прямая состоит из точек?
О взаимодействии математики и окружающего мира вполне диалектично сказано в приведенной цитате Лема.
В общем, хотите примеры диалектического движения мысли - читайте историю математики, их там на всех хватит. Но свои результаты математика выражает на языке ФЛ и диалектика тут является лишней, в чем каждый может убедиться, посмотрев учебники математики.
Собственно математика и есть не что иное, как абстрактные системы, представляющие собой ФЛ вывод следствий из аксиом. Причем речь уже давно не идет исключительно о числах, величинах и геометрических фигурах. Если убрать ФЛ дедукцию, то исчезнет сама математика. В том, что следствия «жестко» связаны с аксиомами по более-менее фиксированным правилам, и состоит сила математики и смысл ее существования.
Рассмотрим, например, специальную теорию относительности (СТО). Если взять преобразования Лоренца, то их математические свойства таковы, что если законы физики инвариантны относительно этих преобразований, то их совместное использование не приведет к логическим противоречиям. Порукой тому математика. Поэтому невозможно отказаться от СТО, не отказавшись от законов электродинамики Максвелла, механики Эйнштейна и квантовой электродинамики. Это чисто математическое (а значит и ФЛ) следствие. Другой вопрос, насколько все это соответствует природе. Но это уже вопрос экспериментальной физики, т.е. за пределами обсуждаемой темы.
Вот как-то так:)
(Копии Физика и Философия, Философия и Логика в своем журнале)
Отступление это связано с тем, что вопросы математики в контексте диалектики возникают достаточно часто. Поэтому хотелось бы высказать свое мнение. О математике также писал здесь: Математика, логика …
Эпиграф
«… подобно всякому математику, я с изумлением убеждался, до чего потрясающе неожиданна и неслыханно многостороння эта деятельность, вначале похожая на игру. Вступая в нее, ты гордо, открыто и безоговорочно обособляешь свою мысль от действительности и с помощью произвольных постулатов, категоричных, словно акт творения, замыкаешься в терминологических границах, призванных изолировать тебя от суетного скопища, в котором приходится жить.
Но именно этот отказ, этот полный разрыв и раскрывает нам сердцевину явлений; побег оборачивается завоеванием, дезертирство - постижением, а разрыв - примирением. Мы с удивлением замечаем, что бегство было мнимым и мы вернулись к тому, от чего убегали. Враг, сбросив старую кожу, предстает перед нами союзником, мы удостаиваемся очищения, мир молчаливо дает нам понять, что преодолеть его можно лишь с его помощью. Так усмиряется страх, оборачиваясь восхищением, - в этом необыкновенном убежище, из глубин которого открывается выход в единое пространство мироздания.»
[Станислав Лем. Глас Господа]
«Давида Гильберта как-то спросили об одном из его бывших учеников.
- Ах, этот-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения.» [Анекдот]
Понимание термина Диалектика не менее разнообразно, чем понимание термина Логика. Здесь я буду Диалектику понимать достаточно широко, т.е. как такое учение, логику, образ (способ) мышления, которые не боятся, а даже стремятся работать с противоположными, противоречивыми мыслями, высказываниями, положениями, тенденциями. Более того, диалектика возникает не просто из признания наличия противоположностей и противоречий, а тогда, когда доводит рассмотрение противоположностей до перехода их друг в друга, до тождества.
Математика же является языком (наукой), содержание которой строится на основе математической, т.е. формальной логики (ФЛ), в которой, как известно два противоречивых положения не могут быть одновременно истинными. И вообще, я лично не встречал математических работ, использующих диалектические построения в духе Гегеля, Лосева или Ильенкова. Тем не менее, не так уж редко возникает вопрос о диалектике в математике.
На мой взгляд, диалектика в математике есть. Возьмем, к примеру, типичное математическое тождество:
sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b).
В нем друг против друга (справа и слева от знака равенства) положены два совершенно разных выражения, которые одновременно являются тождественными:)
Разумеется, такая примитивная диалектика является для математики практически бесполезной и непродуктивной. Однако, математика вообще, а не только в этом примере ну просто стремиться к объединению того, что выглядит на первый (и даже второй и третий) взгляд совершенно разным. Например, аналитическая геометрия устанавливает тождество между геометрическими объектами и алгебраическими уравнениями. (Если кто-то считает это тождество самоочевидным или будет утверждать, что квадратичная функция и сечение конуса плоскостью не являются вещами разными, может дальше не читать.) Математика есть постоянное стремление к синтезу. А синтез - это собственно и есть диалектика.
В тоже время, все математические построения осуществляются по правилам ФЛ и ничего кроме ФЛ для их выражения не нужно. Поэтому в самой по себе математике диалектики нет и она для нее видимо бесполезна.
Однако, вокруг математики при ее развитии и создании, при изучении, при применении диалектики полным полно. Причем она проявляется не только в высших областях, но и в самых элементарных. Что даже с простым счетом не все так просто, неплохо понимал и Буратино. Два плюс два будет четыре. А так ли это? Возьмите две капли воды и еще две капли, сколько капель получиться? Складывать можно однородные предметы, а километры с килограммами - нелепо. А вот умножение считается краткой записью сложения, однако умножать можно только числа, обозначающие разнородные количества. Все ли об этом помнят? Все это кому-то может казаться элементарным, но это отнюдь не так просто и очевидно для людей еще слабо знакомых с математикой.
Да и самим арифметическим тождеством 2+2=4 не все так просто. Попробуйте его доказать! А еще, скажите, когда были сформулированы аксиомы, на которые можно опираться при таком доказательстве.
Перейдем к вычитанию. Вычитание в тоже время есть сложение, но с отрицательными числами. Вообще само по себе понятие отрицательного числа не так просто, что это такое отрицательное количество само по себе? А есть еще мнимые числа, которые вроде бы и числа, но какие-то они не совсем числа.
А еще есть число, а есть величина. Иногда мы настолько привыкли их считать чем-то тождественным, что почти и не делаем между ними разницы. А вот древние греки отчетливо эту разницу знали и понимали и, например, тождество (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (^ - означает «в степени») доказывали отдельно для чисел и отдельно для величин.
Математика строится на дедуктивном ФЛ доказательстве (выводе). Однако такого типа доказательство обычно трудно понять, не имея его некой образной, интуитивной идеи. Часто интуитивный подход оказывается более продуктивным, чем чисто ФЛ. Пример - исчисление бесконечно малых, т.е. анализ. От четкости и ФЛ строгости Архимеда это исчисление перешло к полуинтуитивным понятиям бесконечно малой, а затем вновь вернулось в лоно ФЛ через понятие предела.
Чего больше, натуральных чисел или точек на прямой? А как вообще сравнивать бесконечные количества? А чего больше, точек на прямой или точек на плоскости? (Ответ на последний вопрос настолько удивил первооткрывателя, что он сказал: «Я это вижу, но не верю в это».) А можно ли вообще считать, что прямая состоит из точек?
О взаимодействии математики и окружающего мира вполне диалектично сказано в приведенной цитате Лема.
В общем, хотите примеры диалектического движения мысли - читайте историю математики, их там на всех хватит. Но свои результаты математика выражает на языке ФЛ и диалектика тут является лишней, в чем каждый может убедиться, посмотрев учебники математики.
Собственно математика и есть не что иное, как абстрактные системы, представляющие собой ФЛ вывод следствий из аксиом. Причем речь уже давно не идет исключительно о числах, величинах и геометрических фигурах. Если убрать ФЛ дедукцию, то исчезнет сама математика. В том, что следствия «жестко» связаны с аксиомами по более-менее фиксированным правилам, и состоит сила математики и смысл ее существования.
Рассмотрим, например, специальную теорию относительности (СТО). Если взять преобразования Лоренца, то их математические свойства таковы, что если законы физики инвариантны относительно этих преобразований, то их совместное использование не приведет к логическим противоречиям. Порукой тому математика. Поэтому невозможно отказаться от СТО, не отказавшись от законов электродинамики Максвелла, механики Эйнштейна и квантовой электродинамики. Это чисто математическое (а значит и ФЛ) следствие. Другой вопрос, насколько все это соответствует природе. Но это уже вопрос экспериментальной физики, т.е. за пределами обсуждаемой темы.
Вот как-то так:)