Ну, кроме очевидной занудной поправки (элементами пространства должны быть не функции, а классы функций с точностью до совпадения п.в.) ничего сходу в голову не приходит.
А существенно, что функцию можно компоновать только со сдвигами и умножениями на константы? М.б. если разрешить, скажем, произвольные равномерно непрерывные биекции, задача станет более решаемой?
Да, вы правы, спасибо за замечание. Добавил в текст.
Если вместо сдвигов и растяжений брать более широкий класс биекций (например, липшицевы с липшицевыми же обратными), то там, если я нигде не ошибся, даже BMO не подходит. Стоит допустить существование достаточно хорошей неограниченной функции, и ядро полунормы оказывается бесконечномерным.
Может, я не уловил как-то сути, но норма ведь характеристика функции (ну или распределения) вцелом -- даже и вещи такой нету, ||u(x)||, есть ||u||. Из ваших условий слeдует, что вас интересуют пространства функций, определенных надо всем R, так что никаких заморочек с областью определения при любой человеческой замене переменных, типа y:= ax +b, а ≠ 0, не будет, и u(x) не станет уродом, если мы ее назовем u(y).
u(x) и u(2x) - это две разные функции (хотя и с одной областью определения).
Соответственно, когда я пишу ||u(x)||, я имею в виду норму первой из этих функций, а когда ||u(2x)|| - норму второй. Вообще говоря, они не равны: например, если u(x)=1/(1+x²), а || . || - норма в пространстве L1, то
Рассмотрим функции вида e^{P(x)}, где P - многочлен чётной степени с положительным коэффициентом при старшем члене и минимальным значением 0. Тогда
1) Множество этих функций замкнуто относительно сдвигов и растяжений;
2) Эти функции линейно независимы, потому что из любых двух одна растёт бесконечно быстрее другой на плюс бесконечности;
2') Более того, никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в BMO.
Поэтому на пространстве их линейных комбинаций можно построить норму, инвариантную относительно сдвигов и растяжений (например, ||\sum_{i=1}^n c_i e^{P_i(x)}||, где все P_i разные - это max(|c_i|)), после чего построить норму на прямой сумме этого пространства и BMO как, например, опять же максимум норм прямых слагаемых.
PS Интересно, а можно ли построить пример с полным нормированным пространством? В этом примере, если не путаю, элементами пополнения будут уже не функции, а формальные функциональные ряды - вообще говоря, расходящиеся.
Да, это очень искусственная норма, так что в пополнении вроде бы будут даже ряды, расходящиеся повсюду. Не знаю, можно ли придумать что-то более естественное.
Comments 9
А существенно, что функцию можно компоновать только со сдвигами и умножениями на константы? М.б. если разрешить, скажем, произвольные равномерно непрерывные биекции, задача станет более решаемой?
Reply
Если вместо сдвигов и растяжений брать более широкий класс биекций (например, липшицевы с липшицевыми же обратными), то там, если я нигде не ошибся, даже BMO не подходит. Стоит допустить существование достаточно хорошей неограниченной функции, и ядро полунормы оказывается бесконечномерным.
Reply
Может, я не уловил как-то сути, но норма ведь характеристика функции (ну или распределения) вцелом -- даже и вещи такой нету, ||u(x)||, есть ||u||. Из ваших условий слeдует, что вас интересуют пространства функций, определенных надо всем R, так что никаких заморочек с областью определения при любой человеческой замене переменных, типа y:= ax +b, а ≠ 0, не будет, и u(x) не станет уродом, если мы ее назовем u(y).
Reply
Соответственно, когда я пишу ||u(x)||, я имею в виду норму первой из этих функций, а когда ||u(2x)|| - норму второй. Вообще говоря, они не равны: например, если u(x)=1/(1+x²), а || . || - норма в пространстве L1, то
||u(x)||=\int_R 1/(1+x²)dx=π,
||u(2x)||=\int_R 1/(1+(2x)²)dx=π/2
(интегралы берутся по всей числовой прямой R).
Reply
Может быть xaxam знает ответ. Или знает, кто может знать.
Или еще zavr, только он тут редко появляется.
Reply
Рассмотрим функции вида e^{P(x)}, где P - многочлен чётной степени с положительным коэффициентом при старшем члене и минимальным значением 0. Тогда
1) Множество этих функций замкнуто относительно сдвигов и растяжений;
2) Эти функции линейно независимы, потому что из любых двух одна растёт бесконечно быстрее другой на плюс бесконечности;
2') Более того, никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в BMO.
Поэтому на пространстве их линейных комбинаций можно построить норму, инвариантную относительно сдвигов и растяжений (например, ||\sum_{i=1}^n c_i e^{P_i(x)}||, где все P_i разные - это max(|c_i|)), после чего построить норму на прямой сумме этого пространства и BMO как, например, опять же максимум норм прямых слагаемых.
Reply
PS Интересно, а можно ли построить пример с полным нормированным пространством?
В этом примере, если не путаю, элементами пополнения будут уже не функции, а формальные функциональные ряды - вообще говоря, расходящиеся.
Reply
Да, это очень искусственная норма, так что в пополнении вроде бы будут даже ряды, расходящиеся повсюду. Не знаю, можно ли придумать что-то более естественное.
Reply
Leave a comment