Leave a comment

Comments 9

xgrbml July 18 2024, 12:15:49 UTC
Ну, кроме очевидной занудной поправки (элементами пространства должны быть не функции, а классы функций с точностью до совпадения п.в.) ничего сходу в голову не приходит.

А существенно, что функцию можно компоновать только со сдвигами и умножениями на константы? М.б. если разрешить, скажем, произвольные равномерно непрерывные биекции, задача станет более решаемой?

Reply

chyyr July 18 2024, 13:08:09 UTC
Да, вы правы, спасибо за замечание. Добавил в текст.

Если вместо сдвигов и растяжений брать более широкий класс биекций (например, липшицевы с липшицевыми же обратными), то там, если я нигде не ошибся, даже BMO не подходит. Стоит допустить существование достаточно хорошей неограниченной функции, и ядро полунормы оказывается бесконечномерным.

Reply

prosto_vitjok July 19 2024, 08:16:48 UTC

Может, я не уловил как-то сути, но норма ведь характеристика функции (ну или распределения) вцелом -- даже и вещи такой нету, ||u(x)||, есть ||u||. Из ваших условий слeдует, что вас интересуют пространства функций, определенных надо всем R, так что никаких заморочек с областью определения при любой человеческой замене переменных, типа y:= ax +b, а ≠ 0, не будет, и u(x) не станет уродом, если мы ее назовем u(y).

Reply

chyyr July 19 2024, 08:48:59 UTC
u(x) и u(2x) - это две разные функции (хотя и с одной областью определения).

Соответственно, когда я пишу ||u(x)||, я имею в виду норму первой из этих функций, а когда ||u(2x)|| - норму второй. Вообще говоря, они не равны: например, если u(x)=1/(1+x²), а || . || - норма в пространстве L1, то

||u(x)||=\int_R 1/(1+x²)dx=π,
||u(2x)||=\int_R 1/(1+(2x)²)dx=π/2

(интегралы берутся по всей числовой прямой R).

Reply


a_konst July 18 2024, 13:04:51 UTC

Может быть xaxam знает ответ. Или знает, кто может знать.
Или еще zavr, только он тут редко появляется.

Reply


lithovore July 18 2024, 17:20:30 UTC

Рассмотрим функции вида e^{P(x)}, где P - многочлен чётной степени с положительным коэффициентом при старшем члене и минимальным значением 0. Тогда

1) Множество этих функций замкнуто относительно сдвигов и растяжений;

2) Эти функции линейно независимы, потому что из любых двух одна растёт бесконечно быстрее другой на плюс бесконечности;

2') Более того, никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в BMO.

Поэтому на пространстве их линейных комбинаций можно построить норму, инвариантную относительно сдвигов и растяжений (например, ||\sum_{i=1}^n c_i e^{P_i(x)}||, где все P_i разные - это max(|c_i|)), после чего построить норму на прямой сумме этого пространства и BMO как, например, опять же максимум норм прямых слагаемых.

Reply

chyyr July 18 2024, 18:51:42 UTC
Вроде бы работает! Спасибо!

PS Интересно, а можно ли построить пример с полным нормированным пространством?
В этом примере, если не путаю, элементами пополнения будут уже не функции, а формальные функциональные ряды - вообще говоря, расходящиеся.

Reply

lithovore July 19 2024, 14:50:52 UTC

Да, это очень искусственная норма, так что в пополнении вроде бы будут даже ряды, расходящиеся повсюду. Не знаю, можно ли придумать что-то более естественное.

Reply


Leave a comment

Up