Вопрос сугубо математический, по теории функций.
Вдруг задался вопросом:
Существуют пространства измеримых функций действительного аргумента (функции, равные почти всюду, отождествляем между собой), на которых задана норма (или полунорма с ядром конечной размерности), инвариантная относительно сдвигов и растяжений в следующем смысле: если u(x) -- функция из нашего пространства, то для любых действительных чисел a и k≠0 функции u(x-a) и u(kx) также будут функциями из нашего пространства, причем
||u(x)|| = ||u(x-a)|| = ||u(kx)||.
Примерами таких пространств могут послужить пространство существенно ограниченных функций L∞, пространство функций ограниченной вариации BV, пространство функций с ограниченной средней осцилляцией BMO.
Понятно, что список ими не исчерпывается: тем же свойством могут обладать их подпространства (например, ограниченные непрерывные функции Cb, абсолютно непрерывные функции W11, функции с исчезающей средней осцилляцией VMO) и их различные интерполяции (видимо, сюда попадут соболевские пространства с дробным порядком производной Wp1/p).
Из перечисленных пространств самое "большое" - BMO.
Так вот, не могу понять: есть ли что-то еще больше?
(Понятно, можно рассмотреть прямую сумму BMO с пространством линейных функций {cx} и положить ||u+cx||=||u||BMO.
Размерность ядра полунормы увеличится на единицу: раньше в ядре были только константы, теперь все функции вида {cx+d}; свойство инвариантности сохранится. Но хотелось бы чего-нибудь более интересного, чтобы фактор-пространства по ядру полунормы у BMO и у нового пространства были разными.)
Существуют пространства измеримых функций действительного аргумента (функции, равные почти всюду, отождествляем между собой), на которых задана норма (или полунорма с ядром конечной размерности), инвариантная относительно сдвигов и растяжений в следующем смысле: если u(x) -- функция из нашего пространства, то для любых действительных чисел a и k≠0 функции u(x-a) и u(kx) также будут функциями из нашего пространства, причем
||u(x)|| = ||u(x-a)|| = ||u(kx)||.
Примерами таких пространств могут послужить пространство существенно ограниченных функций L∞, пространство функций ограниченной вариации BV, пространство функций с ограниченной средней осцилляцией BMO.
Понятно, что список ими не исчерпывается: тем же свойством могут обладать их подпространства (например, ограниченные непрерывные функции Cb, абсолютно непрерывные функции W11, функции с исчезающей средней осцилляцией VMO) и их различные интерполяции (видимо, сюда попадут соболевские пространства с дробным порядком производной Wp1/p).
Из перечисленных пространств самое "большое" - BMO.
Так вот, не могу понять: есть ли что-то еще больше?
(Понятно, можно рассмотреть прямую сумму BMO с пространством линейных функций {cx} и положить ||u+cx||=||u||BMO.
Размерность ядра полунормы увеличится на единицу: раньше в ядре были только константы, теперь все функции вида {cx+d}; свойство инвариантности сохранится. Но хотелось бы чего-нибудь более интересного, чтобы фактор-пространства по ядру полунормы у BMO и у нового пространства были разными.)