алгеброй по гармонии
В 1722 году Бах написал первый том “Хорошо темперированного клавира”. В него вошли 24 прелюдии и фуги. По одной прелюдии и фуге для каждой возможной тональности. Это великое произведение. Моцарт его перекладывал для струнных коллективов. Бетховен его знал наизусть с 11 лет и считал музыкальной Библией.
Вот так выглядит титульный лист, написанный рукой Баха.
С ним связана самая очаровательная теория заговора в музыке, которая требует знания простых музыкальных основ.
Задание: вам нужно настроить полностью расстроенное пианино.
У вас есть
1. Настроечный ключ.
2. Прибор, который показывает, с какой частотой колеблется струна.
3. Учебник музыки для начинающих.
Первым делом вы узнаете, что ля первой октавы звучит, когда струна колеблется с частотой 440 колебаний в секунду (440 Герц). И вы сразу же настраиваете первую ноту пианино - ля первой октавы.
Потом вы читаете в учебнике о том, как Пифагор узнал, что если натянутую струну прижать посередине и ущипнуть, то она будет колебаться в два раза чаще и звучать очень похоже. И вы понимаете, что частота ля второй октавы это 880 Гц, а частота ля третьей октавы - 1760 Гц. Ну и низкие ля вы строите точно так же: 220 Гц, 110 Гц и 55 Гц.
Вы и без учебника знаете, что в каждой октаве двенадцать полутонов. А если не знаете, то просто считаете, сколько белых и черных клавиш между двумя соседними ля - их одиннадцать. Но как найти их частоты?
Снова учебник, снова Пифагор. Оказывается, он прижимал струну не только посередине, но и на расстоянии одна треть от начала. Он выяснил, что если делить струну на пропорциональные интервалы, то звучать они будут слаженно, гармонично, приятно на слух. И две трети струны будут колебаться не в два (как в случае с октавой), а в полтора раза чаще. А нота будет не на двенадцать (как в случае с октавой), а на семь полутонов выше. Называется это квинта.
Ура, вы нашли решение: строите квинту, то есть умножаете 440 на 1.5. Находите новую ноту, и строите её октавы. Потом от новой ноты опять квинту, и снова октавы. И так одиннадцать раз. А через одиннадцать раз вернётесь обратно в ля. Круг замкнулся, частоты найдены, пианино настроено.
Но потом вы решаете проверить вычисления. Допустим для простоты, что частота ноты это 1 Гц. Тогда частоты ее семи следующих октав будут 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. А если строить квинты, то частоты следующих двенадцати квинт будут 1.5, 2.25, …, 129.75. A 129.75 немножко больше, чем 128. Нестыковка.
Что же случилось? Вы взяли расстояние в 12*7 полутонов и прошли его два раза: октавами (это 7 октав) и квинтами (это 12 квинт). Вы понадеялись, что итоговая частота окажется одинаковой. То есть, что 2 в 7-й степени будет равно 1.5 в 12-й степени. Но эти числа немного отличаются.
Хорошо, думаете вы - вместо числа 1.5 мы возьмем число чуть меньше. Так, чтобы оно в 12 степени давало на 129.75, а ровно 128. Это просто: корень 12-й степени из 128 это 1.498. Каждая квинта будет звучать почти неуловимо ниже, чем чистое соотношение 1.5, но очень близко. Поздравляю! Вы только что изобрели равномерную темперацию.
Особенность равномерной темперации в том, что в ней все тональности звучат одинаково, и нет ни одной чистой квинты. А музыкантам хочется, чтобы некоторые квинты были чистыми. К примеру, струны скрипки настроены по квинтам: соль-ре-ля-ми. Когда исполняются произведения, где играют и пианино и скрипка, скрипачи могут по слуху подстраивать под звучание пианино любую ноту, кроме открытой струны.
Поэтому при настройке пианино есть три квинты, которые хотелось бы сохранить чистыми. Платой за чистоту этих квинт будет то, что остальные квинты будут дальше от чистых. И тут пришло время обратиться к высшему авторитету в музыке - Иоганну Себастьяну Баху. Это ведь он написал “Хорошо темперированный клавир”, в котором каждая пара из прелюдии и фуги иллюстрирует свою тональность. Ведь, хорошая темперация это способ настройки. Он отличается от равномерной темперации, при которой все тональности звучат одинаково.
Итак, как Бах настраивал свои клавишные? Как именно он распределял по квинтам тот небольшой хвостик, на который 12 квинт отличаются от 7 октав?
А мы не знаем.
Не сохранилось никаких указаний. Мы знаем, что Бах настраивал инструменты лично и очень тщательно. А как именно - неизвестно.
Но совсем недавно появилась прелюбопытная теория. Исследователи присмотрелись к титульному листу Баха и заметили, что на самом верху рукой Баха нарисованы 12 петелек.
Четыре петельки с одним колечком внутри, три петельки без колечка и пять - с двумя колечками. Гипотеза исследователей состоит в том, что эти колечки указывают на темперацию квинт: три квинты из двенадцати должны быть чистыми, а разницу между 129.75 и 128 надо распределить по девяти оставшимся квинтам: на четыре - поменьше, на пять - в два раза побольше. Этот подход хорошо сочетается с идеей о том, что три чистые квинты должны соответствовать квинтам между струн скрипки.
Вот любопытное исполнение первой прелюдии в трех различных темперациях (начинается в 10:22). У меня нет абсолютного слуха, поэтому я был уверен, что не услышу разницы между ними. Но, на удивление, даже я почувствовал разницу. Третья темперация мне показалась гораздо объемнее, что ли.
Вот так выглядит титульный лист, написанный рукой Баха.
С ним связана самая очаровательная теория заговора в музыке, которая требует знания простых музыкальных основ.
Задание: вам нужно настроить полностью расстроенное пианино.
У вас есть
1. Настроечный ключ.
2. Прибор, который показывает, с какой частотой колеблется струна.
3. Учебник музыки для начинающих.
Первым делом вы узнаете, что ля первой октавы звучит, когда струна колеблется с частотой 440 колебаний в секунду (440 Герц). И вы сразу же настраиваете первую ноту пианино - ля первой октавы.
Потом вы читаете в учебнике о том, как Пифагор узнал, что если натянутую струну прижать посередине и ущипнуть, то она будет колебаться в два раза чаще и звучать очень похоже. И вы понимаете, что частота ля второй октавы это 880 Гц, а частота ля третьей октавы - 1760 Гц. Ну и низкие ля вы строите точно так же: 220 Гц, 110 Гц и 55 Гц.
Вы и без учебника знаете, что в каждой октаве двенадцать полутонов. А если не знаете, то просто считаете, сколько белых и черных клавиш между двумя соседними ля - их одиннадцать. Но как найти их частоты?
Снова учебник, снова Пифагор. Оказывается, он прижимал струну не только посередине, но и на расстоянии одна треть от начала. Он выяснил, что если делить струну на пропорциональные интервалы, то звучать они будут слаженно, гармонично, приятно на слух. И две трети струны будут колебаться не в два (как в случае с октавой), а в полтора раза чаще. А нота будет не на двенадцать (как в случае с октавой), а на семь полутонов выше. Называется это квинта.
Ура, вы нашли решение: строите квинту, то есть умножаете 440 на 1.5. Находите новую ноту, и строите её октавы. Потом от новой ноты опять квинту, и снова октавы. И так одиннадцать раз. А через одиннадцать раз вернётесь обратно в ля. Круг замкнулся, частоты найдены, пианино настроено.
Но потом вы решаете проверить вычисления. Допустим для простоты, что частота ноты это 1 Гц. Тогда частоты ее семи следующих октав будут 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. А если строить квинты, то частоты следующих двенадцати квинт будут 1.5, 2.25, …, 129.75. A 129.75 немножко больше, чем 128. Нестыковка.
Что же случилось? Вы взяли расстояние в 12*7 полутонов и прошли его два раза: октавами (это 7 октав) и квинтами (это 12 квинт). Вы понадеялись, что итоговая частота окажется одинаковой. То есть, что 2 в 7-й степени будет равно 1.5 в 12-й степени. Но эти числа немного отличаются.
Хорошо, думаете вы - вместо числа 1.5 мы возьмем число чуть меньше. Так, чтобы оно в 12 степени давало на 129.75, а ровно 128. Это просто: корень 12-й степени из 128 это 1.498. Каждая квинта будет звучать почти неуловимо ниже, чем чистое соотношение 1.5, но очень близко. Поздравляю! Вы только что изобрели равномерную темперацию.
Особенность равномерной темперации в том, что в ней все тональности звучат одинаково, и нет ни одной чистой квинты. А музыкантам хочется, чтобы некоторые квинты были чистыми. К примеру, струны скрипки настроены по квинтам: соль-ре-ля-ми. Когда исполняются произведения, где играют и пианино и скрипка, скрипачи могут по слуху подстраивать под звучание пианино любую ноту, кроме открытой струны.
Поэтому при настройке пианино есть три квинты, которые хотелось бы сохранить чистыми. Платой за чистоту этих квинт будет то, что остальные квинты будут дальше от чистых. И тут пришло время обратиться к высшему авторитету в музыке - Иоганну Себастьяну Баху. Это ведь он написал “Хорошо темперированный клавир”, в котором каждая пара из прелюдии и фуги иллюстрирует свою тональность. Ведь, хорошая темперация это способ настройки. Он отличается от равномерной темперации, при которой все тональности звучат одинаково.
Итак, как Бах настраивал свои клавишные? Как именно он распределял по квинтам тот небольшой хвостик, на который 12 квинт отличаются от 7 октав?
А мы не знаем.
Не сохранилось никаких указаний. Мы знаем, что Бах настраивал инструменты лично и очень тщательно. А как именно - неизвестно.
Но совсем недавно появилась прелюбопытная теория. Исследователи присмотрелись к титульному листу Баха и заметили, что на самом верху рукой Баха нарисованы 12 петелек.
Четыре петельки с одним колечком внутри, три петельки без колечка и пять - с двумя колечками. Гипотеза исследователей состоит в том, что эти колечки указывают на темперацию квинт: три квинты из двенадцати должны быть чистыми, а разницу между 129.75 и 128 надо распределить по девяти оставшимся квинтам: на четыре - поменьше, на пять - в два раза побольше. Этот подход хорошо сочетается с идеей о том, что три чистые квинты должны соответствовать квинтам между струн скрипки.
Вот любопытное исполнение первой прелюдии в трех различных темперациях (начинается в 10:22). У меня нет абсолютного слуха, поэтому я был уверен, что не услышу разницы между ними. Но, на удивление, даже я почувствовал разницу. Третья темперация мне показалась гораздо объемнее, что ли.
Click to view