Равномерно темперированный строй и натуральные музыкальные интервалы
В последнее время возникло желание "подчистить хвосты", разобрать старые черновики и вынести на свет то из них, что достойно какого-то внимания. От военной темы перехожу, неожиданно, к музыке. Меня как технаря и музыканта-любителя в своё время поразило, что за музыкой стоит вполне стройная математическая теория, которую практически никто не изучает, но которая может помочь лучше разбираться в музыкальных терминах (которые для технаря, чаще всего, бессвязный тёмный лес) и в том, как вообще устроена музыка. Тут тезисно распишу свои "открытия" по теории музыки, не претендуя на научную точность и оригинальность.
1) Музыкальные звуки и ноты.
Звук, как известно, это колебания воздуха. Музыкальный звук - колебания определённой частоты, каждой ноте соответствует своя частота. Например, нота ля первой октавы - 440 Герц. Ещё в древности люди заметили, что равномерно колеблющееся с постоянной частотой тело (например, струна) создаёт красивый звук. Собственно, это и были музыкальные звуки. Более того, эти звуки можно было комбинировать, так и появилась музыка. Человеческое ухо способно распознать колебания в диапазоне примерно 20 - 20 000 Герц, но на практике крайние значения используются редко, в основном берутся ноты с частотами 100 - 1000 Герц.
2) Интервалы.
Пусть у нас есть два музыкальных звука, две ноты с частотами, соответственно, f1 и f2. Тогда интервалом между ними будет называться число f1/f2. Опять-таки, в древности заметили, что если интервал между двумя нотами равен простой дроби (например, 3/2, 4/3 или вообще равен целым числам 2, 3, и т. п.), то комбинация этих нот звучит красиво (например, если сыграть эти 2 ноты последовательно или одновременно). Такие интервалы, равные простым дробям, называются натуральными.
Конечно, в древности ещё не знали о частоте колебаний воздуха. Но дело в том, что эта частота пропорциональна размеру колеблющегося тела. К примеру, если мы возьмём одну струну в 2 раза короче другой, то она будет колебаться с частотой в 2 раза больше другой (а можно не брать другую струну, а так зажать эту, чтоб колебалась лишь её половина - так устроена, например, гитара). То есть интервал между их нотами будет равен f1/f2=2. Такой интервал называется "октава". Другие интервалы также имеют названия (например, 4/3 - натуральная кварта и т. п.).
3) Современный обычный строй музыкальных инструментов.
Большинство музыкальных инструментов не дают сыграть звук произвольной частоты. Они имеют клавиши (или лады, в случае гитары), каждой из которых соответствует определённая частота. Давайте поймём, что это за частоты. Возьмём для наглядности клавиши пианино.
Пускай частота ноты "до" будет равна равна f0. Интервал между нотами до первой и второй октавы - одна октава, то есть, f(до второй октавы)/f0 = 2. Между ними - 11 нот (если посчитать чёрные и белые клавиши), которые разделяет одинаковый интервал - полутон. Итого, получаем, что между "до" первой и второй октавы - 12 полутонов. Путём нехитрых математических вычислений получаем что полутон - интервал, равный корню 12й степени из 2. Такими же нехитрыми подсчётами получаем, что если между двумя нотами интервал в S полутонов, то в числовом выражении этот интервал равен корню 12й степени из 2 в степени S
Кстати, мы тут могли выбрать не "до", а любую другую ноту. Такая же нота следующей октавы будет отстоять от неё ровно на 12 полутонов и интервал от неё до начальной ноты будет равен 2 (поэтому, например, 12-й лад гитары делит струну пополам). Можем теперь посмотреть на другие известные интервалы - кварта, квинта. Кварта (чистая) = 2,5 тона = 5 полутонов = корень 12й степени из 2 в степени 5 = 1,3348..., что примерно равно натуральной кварте (4/3 = 1,3333....). Таким образом, в нашем нынешнем строе мы получаем очень хорошее приближение красивого натурального интервала.
3a) Значение интервала в центах
Иногда удобнее считать интервал не в абсолютных числах, а в центах. Для этого берут логарифм интервала по основанию 2 и умножают на 1200. Как нетрудно понять, 1 полутону в таком случае соответствует 100 центов (
). И поскольку берутся логарифмы, интервалы в таком виде надо не перемножать, а складывать, что существенно проще (например, 2 полутона = 200 центов и т.д.).
4) Транспонирование. Преимущества равномерно темперированного строя.
Итак, зная кроме этого, что частота ноты ля первой октавы = 440 Герц (так просто люди договорились), мы теперь можем вычислить абсолютные значения для всех нот. Это сделано, например, тут. Но мы этого делать не будем, так как красота созвучий определяется не абсолютными значениями частоты нот, а их соотношением, т.е. интервалом между ними. На этом основано транспонирование. Транспонирование - это когда одна и та же мелодия играется ниже или выше по звучанию (например, говорят, на полтона, или на 2 тона выше). Что это значит с точки зрения математики?
Рассмотрим повышение мелодии на полтона. Это означает, что вместо каждой ноты берётся нота на полтона выше. То есть частота каждой ноты в мелодии умножается на корень 12й степени из 2. Нетрудно понять, что соотношение частот между любыми двумя нотами мелодии остаётся тем же, что и раньше (если мы разделим эти частоты друг на друга, то множитель в числителе и знаменателе сократится). Это значит, что мелодия будет звучать так же красиво. Но это происходит именно благодаря тому, что интервалы между последовательно идущими нотами нашего строя одинаковые.
С музыкальной же точки зрения мелодия переносится из одной тональности в другую, следующую. Например, из до-мажор в до-диез-мажор. Аналогично обстоит дело с транспонированием на другие интервалы/переходом в другие тональности (только происходит умножение или деление на другое число).
Человечество достаточно долго шло к такому строю. Изначально использовались различные строи, основанные на натуральных интервалах. Но при транспонировании они не сохраняли интервалы между нотами, из-за чего могли возникать некрасивые созвучия, диссонансы (так называемая "волчья квинта", к примеру). Поэтому строй постепенно менялся, частоты нот немного смещались и так в итоге всё и пришло к "равномерной темперации", т.е. к такой настройке инструмента, при которой интервалы между соседними нотами были одинаковыми.
К нововведениям этим, к изменениям строя, тогда, понятное дело, относились скептически, они прижились лишь со временем. Кстати, известный музыкальный цикл Баха "Хорошо темперированный клавир" как раз является демонстрацией преимущества равномерной (а точнее, очень близкой к ней) темперации. В нём представлены 24 произведения, 12 минорных и 12 мажорных. В каждом из минорных и мажорных сочинений тональность определяется одной из всех 12 возможных нот в октаве (включая чёрные клавиши). Итак, лишь на инструменте с равномерной (или близкой к ней) темперацией все эти произведения будут звучать хорошо, красиво.
5) Другие варианты равномерно темперированного строя. Приближение натуральных интервалов.
Закономерным вопросом будет - а почему 12? Ведь никто не мешает разбить октаву на другое количество одинаковых интервалов. И действительно, в качестве экспериментов (или в других культурах) существовали и существуют другие примеры равномерной темперации. Но у числа 12 есть неоспоримые преимущества. Именно такой строй очень хорошо приближает красивые натуральные интервалы и содержит достаточное число нот для мелодий (но при этом нот и не чересчур много для восприятия). Это нетрудно показать математически!!!
Каков интервал между наилучшим приближением некоторого интервала в равномерно темперированной шкале с N ступенями и самим интервалом? Пускай этот интервал равен f. Одна ступень этого строя будет равна корню степени N из 2. Тогда номер ступени s, которая лучше всего его приближает, будет равен (квадратные скобки - ближайшее целое)
А интервал между исходным интервалом f и этой ступенью в центах будет равен
Посмотрим, как равномерно темперированные строи с различным числом ступеней приближают натуральную кварту.
Итак, лишь строи со значительно большим числом ступеней (29, 41, 53) могут переплюнуть 12-ступенчатый (будем использовать сокращённое обозначение, 12-TET) в приближении натуральных интервалов. Но представьте, что у вас в каждой октаве на пианино 53 клавиши - насколько бы сразу стало труднее играть! Впрочем, такие (и с другим количеством ступеней, 24, например) строи используются в экспериментальной музыке (это направление называется "микротонализм"). Ещё можно заметить, что 17-TET неплохо приближает интервалы. Он более распространён и в экспериментальных инструментах, вроде как, используется в арабской национальной музыке.
Также относительно неплохо приближает эти интеравлы 5-TET, та называемая равномерно-темперированная пентатоника. Она использовалась в древности, и сейчас используется в некоторых изолированных культурах (вроде как, на островах Океании). Впрочем, часто использовался не совсем равномерный, а близкий к нему строй из 5 нот.
6) Другие варианты строя.
Итак, теперь мы понимаем, что строй, т.е. набор нот для мелодии, сам по себе не жёстко фиксирован и может быть другим. Можно использовать не все 12 основных, а лишь некоторые из них ступени. Это придаёт мелодиям национальный окрас (так называемые, цыганская, арабская гамма, различные пентатоники и т.д.).
А можно вообще использовать другие частоты. Наибольшую свободу тут предоставляют инструменты без фиксированных нот, ладов, клавиш (скрипка, например). Можно делить октаву неравномерно. Можно вообще не использовать октавы, а выбрать другой интервал для повторения нот (например, 3). В общем, полная свобода творчества. Впрочем, результаты такого творчества не всегда по нраву обычному уху, но некоторым вполне может понравиться.
Мне лично нравится вот это произведение https://youtu.be/tDroa5WTU34?t=2021 (именно эта прелюдия, а не остальные). Здесь используется 24-TET. Но в целом звучит очень непривычно, для большинства, пожалуй, даже раздражающе.
1) Музыкальные звуки и ноты.
Звук, как известно, это колебания воздуха. Музыкальный звук - колебания определённой частоты, каждой ноте соответствует своя частота. Например, нота ля первой октавы - 440 Герц. Ещё в древности люди заметили, что равномерно колеблющееся с постоянной частотой тело (например, струна) создаёт красивый звук. Собственно, это и были музыкальные звуки. Более того, эти звуки можно было комбинировать, так и появилась музыка. Человеческое ухо способно распознать колебания в диапазоне примерно 20 - 20 000 Герц, но на практике крайние значения используются редко, в основном берутся ноты с частотами 100 - 1000 Герц.
2) Интервалы.
Пусть у нас есть два музыкальных звука, две ноты с частотами, соответственно, f1 и f2. Тогда интервалом между ними будет называться число f1/f2. Опять-таки, в древности заметили, что если интервал между двумя нотами равен простой дроби (например, 3/2, 4/3 или вообще равен целым числам 2, 3, и т. п.), то комбинация этих нот звучит красиво (например, если сыграть эти 2 ноты последовательно или одновременно). Такие интервалы, равные простым дробям, называются натуральными.
Конечно, в древности ещё не знали о частоте колебаний воздуха. Но дело в том, что эта частота пропорциональна размеру колеблющегося тела. К примеру, если мы возьмём одну струну в 2 раза короче другой, то она будет колебаться с частотой в 2 раза больше другой (а можно не брать другую струну, а так зажать эту, чтоб колебалась лишь её половина - так устроена, например, гитара). То есть интервал между их нотами будет равен f1/f2=2. Такой интервал называется "октава". Другие интервалы также имеют названия (например, 4/3 - натуральная кварта и т. п.).
3) Современный обычный строй музыкальных инструментов.
Большинство музыкальных инструментов не дают сыграть звук произвольной частоты. Они имеют клавиши (или лады, в случае гитары), каждой из которых соответствует определённая частота. Давайте поймём, что это за частоты. Возьмём для наглядности клавиши пианино.
Пускай частота ноты "до" будет равна равна f0. Интервал между нотами до первой и второй октавы - одна октава, то есть, f(до второй октавы)/f0 = 2. Между ними - 11 нот (если посчитать чёрные и белые клавиши), которые разделяет одинаковый интервал - полутон. Итого, получаем, что между "до" первой и второй октавы - 12 полутонов. Путём нехитрых математических вычислений получаем что полутон - интервал, равный корню 12й степени из 2. Такими же нехитрыми подсчётами получаем, что если между двумя нотами интервал в S полутонов, то в числовом выражении этот интервал равен корню 12й степени из 2 в степени S
Кстати, мы тут могли выбрать не "до", а любую другую ноту. Такая же нота следующей октавы будет отстоять от неё ровно на 12 полутонов и интервал от неё до начальной ноты будет равен 2 (поэтому, например, 12-й лад гитары делит струну пополам). Можем теперь посмотреть на другие известные интервалы - кварта, квинта. Кварта (чистая) = 2,5 тона = 5 полутонов = корень 12й степени из 2 в степени 5 = 1,3348..., что примерно равно натуральной кварте (4/3 = 1,3333....). Таким образом, в нашем нынешнем строе мы получаем очень хорошее приближение красивого натурального интервала.
3a) Значение интервала в центах
Иногда удобнее считать интервал не в абсолютных числах, а в центах. Для этого берут логарифм интервала по основанию 2 и умножают на 1200. Как нетрудно понять, 1 полутону в таком случае соответствует 100 центов (
). И поскольку берутся логарифмы, интервалы в таком виде надо не перемножать, а складывать, что существенно проще (например, 2 полутона = 200 центов и т.д.).
4) Транспонирование. Преимущества равномерно темперированного строя.
Итак, зная кроме этого, что частота ноты ля первой октавы = 440 Герц (так просто люди договорились), мы теперь можем вычислить абсолютные значения для всех нот. Это сделано, например, тут. Но мы этого делать не будем, так как красота созвучий определяется не абсолютными значениями частоты нот, а их соотношением, т.е. интервалом между ними. На этом основано транспонирование. Транспонирование - это когда одна и та же мелодия играется ниже или выше по звучанию (например, говорят, на полтона, или на 2 тона выше). Что это значит с точки зрения математики?
Рассмотрим повышение мелодии на полтона. Это означает, что вместо каждой ноты берётся нота на полтона выше. То есть частота каждой ноты в мелодии умножается на корень 12й степени из 2. Нетрудно понять, что соотношение частот между любыми двумя нотами мелодии остаётся тем же, что и раньше (если мы разделим эти частоты друг на друга, то множитель в числителе и знаменателе сократится). Это значит, что мелодия будет звучать так же красиво. Но это происходит именно благодаря тому, что интервалы между последовательно идущими нотами нашего строя одинаковые.
С музыкальной же точки зрения мелодия переносится из одной тональности в другую, следующую. Например, из до-мажор в до-диез-мажор. Аналогично обстоит дело с транспонированием на другие интервалы/переходом в другие тональности (только происходит умножение или деление на другое число).
Человечество достаточно долго шло к такому строю. Изначально использовались различные строи, основанные на натуральных интервалах. Но при транспонировании они не сохраняли интервалы между нотами, из-за чего могли возникать некрасивые созвучия, диссонансы (так называемая "волчья квинта", к примеру). Поэтому строй постепенно менялся, частоты нот немного смещались и так в итоге всё и пришло к "равномерной темперации", т.е. к такой настройке инструмента, при которой интервалы между соседними нотами были одинаковыми.
К нововведениям этим, к изменениям строя, тогда, понятное дело, относились скептически, они прижились лишь со временем. Кстати, известный музыкальный цикл Баха "Хорошо темперированный клавир" как раз является демонстрацией преимущества равномерной (а точнее, очень близкой к ней) темперации. В нём представлены 24 произведения, 12 минорных и 12 мажорных. В каждом из минорных и мажорных сочинений тональность определяется одной из всех 12 возможных нот в октаве (включая чёрные клавиши). Итак, лишь на инструменте с равномерной (или близкой к ней) темперацией все эти произведения будут звучать хорошо, красиво.
5) Другие варианты равномерно темперированного строя. Приближение натуральных интервалов.
Закономерным вопросом будет - а почему 12? Ведь никто не мешает разбить октаву на другое количество одинаковых интервалов. И действительно, в качестве экспериментов (или в других культурах) существовали и существуют другие примеры равномерной темперации. Но у числа 12 есть неоспоримые преимущества. Именно такой строй очень хорошо приближает красивые натуральные интервалы и содержит достаточное число нот для мелодий (но при этом нот и не чересчур много для восприятия). Это нетрудно показать математически!!!
Каков интервал между наилучшим приближением некоторого интервала в равномерно темперированной шкале с N ступенями и самим интервалом? Пускай этот интервал равен f. Одна ступень этого строя будет равна корню степени N из 2. Тогда номер ступени s, которая лучше всего его приближает, будет равен (квадратные скобки - ближайшее целое)
А интервал между исходным интервалом f и этой ступенью в центах будет равен
Посмотрим, как равномерно темперированные строи с различным числом ступеней приближают натуральную кварту.
Итак, лишь строи со значительно большим числом ступеней (29, 41, 53) могут переплюнуть 12-ступенчатый (будем использовать сокращённое обозначение, 12-TET) в приближении натуральных интервалов. Но представьте, что у вас в каждой октаве на пианино 53 клавиши - насколько бы сразу стало труднее играть! Впрочем, такие (и с другим количеством ступеней, 24, например) строи используются в экспериментальной музыке (это направление называется "микротонализм"). Ещё можно заметить, что 17-TET неплохо приближает интервалы. Он более распространён и в экспериментальных инструментах, вроде как, используется в арабской национальной музыке.
Также относительно неплохо приближает эти интеравлы 5-TET, та называемая равномерно-темперированная пентатоника. Она использовалась в древности, и сейчас используется в некоторых изолированных культурах (вроде как, на островах Океании). Впрочем, часто использовался не совсем равномерный, а близкий к нему строй из 5 нот.
6) Другие варианты строя.
Итак, теперь мы понимаем, что строй, т.е. набор нот для мелодии, сам по себе не жёстко фиксирован и может быть другим. Можно использовать не все 12 основных, а лишь некоторые из них ступени. Это придаёт мелодиям национальный окрас (так называемые, цыганская, арабская гамма, различные пентатоники и т.д.).
А можно вообще использовать другие частоты. Наибольшую свободу тут предоставляют инструменты без фиксированных нот, ладов, клавиш (скрипка, например). Можно делить октаву неравномерно. Можно вообще не использовать октавы, а выбрать другой интервал для повторения нот (например, 3). В общем, полная свобода творчества. Впрочем, результаты такого творчества не всегда по нраву обычному уху, но некоторым вполне может понравиться.
Мне лично нравится вот это произведение https://youtu.be/tDroa5WTU34?t=2021 (именно эта прелюдия, а не остальные). Здесь используется 24-TET. Но в целом звучит очень непривычно, для большинства, пожалуй, даже раздражающе.