обобщенные mv-алгебры
Пусть A = < V, 0, + > - коммутативный моноид с законом поглощения:
x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+x = x+0 = x
такой, что существует обратимый оператор φ: V → V, индуцирующий
обобщенную mv-алгебру A(φ) = < V, 0, +, φ >:
x+φ0 = φ0, φ-1(φx+y)+y = φ-1(φy+x)+x.
Определим φ-дуальную к + операцию •(φ) :
x •(φ) y = φ-1(φx+φy) и константу 1 = φ-10.
Тогда
0 = φ1, x •(φ) φ-1y + y = y •(φ) φ-1x + x,
x •(φ) 0 = φ-1(φx+φ0) = φ-1φ0 = 0,
x •(φ) 1 = φ-1(φx+φφ-10) = φ-1(φx+0) = φ-1φx = x,
x •(φ) х = φ-1(φx+φх) = φ-1φx = x,
x •(φ) y •(φ) z = φ-1(φx+φ(y •(φ) z) ) =
= φ-1(φx+φφ-1(φy+φz) ) = φ-1(φx+φy+φz) =
= x •(φ) (y •(φ) z) = (x •(φ) y) •(φ) z.
Поскольку одно из φkх имеет значение φ0,
в силу аксиомы x+φ0 = φ0 справедливы
закон исключения лишнего
x + φх +...+ φ-1х = φ0
и закон несовместимости степеней
x •(φ) φх •(φ) ... •(φ) φ-1х = 0.
Действительно,
x •(φ) φх •(φ)...•(φ) φ-1х = φ-1(x + φх +...+ φ-1х) = φ-1φ0 = 0,
Константы 0 и φ0 естественно интерпретировать
как невозможность и необходимость
В целом, оператор φ порождает на исходном моноиде A
семейство операций x •(φ,k) y = x •k y = φ-k(φkx+φky) ( (φ,k)-конъюнкций ),
для которых справедливы тождества
x •k φ1-k0 = φ-k(φkx+φkφ1-k0) = φ-k(φkx+φ0) = φ-kφ0 = φ1-k0,
x •k φ1-k1 = φ-k(φkx+φkφ1-kφ-10) = φ-k(φkx+0) = φ-kφkx = x,
x •k х = φ-k(φkx+φkх) = φ-kφkx = x,
x •k y •k z = x •k (y •k z) = (x •k y) •k z
а также
законы де Моргана
φk(x •k y) = φkx+φky,
φ-kx •k φ-ky = φ-k(x+y),
закон исключения лишнего
φkx + φk+1х +...+ φk-1х = φ0
и закон инварианта цикла
x •k φх •k ... •k φ-1х = φ1-k0.
Исходная операция "+" соответствует •0
и связана с константой необходимости c = φ0:
"φ-1x" эквивалентно "необходимо x";
операция •1 -- с константой невозможности 0:
"φx" эквивалентно "невозможно x";
операция •2 -- с константой возможности 1 = φ-10:
"x" эквивалентно "возможно x".
В общем, операция •k связана с константой φ1-k0:
Очевидно, что φ0 и 1 = φ-10 совпадают лишь при φ = φ-1,
т.е. при |φ|=2. Тогда необходимо x+1 = x+φx = 1. Если |V|>2,
в V могут быть φ-неподвижные отличные от 1 элементы x = φx,
для которых x+φx = x, что невозможно в силу x+φx = 1. При
нечетном |V| хотя бы один такой элемент необходимо есть.
Стало быть, mv-алгебр с нечетным |V| и |φ|=2 не существует.
В общем, в mv-алгебре |V| кратно |φ|.
вот.
__________________________________________________
Примеры
Положим V = {0,c,1}
1. Система Лукасевича L3
0 - ложность, c - неопр., 1 - истинность
┌───┬───────┬───┬───┬───────┐
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │
├───┼───────┼───┼───┼───────┤
│ 0 │ 0 c 1 │ 1 │ 0 │ 0 0 0 │
│ с │ c c 1 │ с │ c │ 0 c c │
│ 1 │ 1 1 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │
└───┴───────┴───┴───┴───────┘
x•y = ~(~x+~y),
~0=1, ~c=c, ~1=0, ~~x = x,
0+~0 = 1+~1 = 1, c+~c = c.
2. Система P3
0 - невозможность, c - необходимость, 1 - возможность
┌───┬───────┬───┬───┬───────┬───┬───────┐
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ * │ 0 c 1 │
├───┼───────┼───┼───┼───────┼───┼───────┤
│ 0 │ 0 c 1 │ с │ 0 │ 0 0 0 │ 0 │ 0 0 1 │
│ с │ c c c │ 1 │ c │ 0 c c │ c │ 0 c 1 │
│ 1 │ 1 c 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 1 │ 1 1 1 │
└───┴───────┴───┴───┴───────┴───┴───────┘
x•y = ~~(~x+~y) = ~(~~x*~~y),
x*y = ~(~~x+~~y) = ~~(~x•~y),
~0 = ~~1 = c, ~c = ~~0 = 1, ~1 = ~~c = 0, ~~~x = x,
0+~0+~~0 = c+~c+~~c = 1+~1+~~1 = c,
0*~0*~~0 = c*~c*~~c = 1*~1*~~1 = 1.
Система L3 не является mv-алгеброй
поскольку не всегда x+~x = ~0.
В P3 не действуют законы
противоречия и исключенного третьего,
но x+~x+~~x = ~0 и x•~x•~~x = 0,
т.е.
необходимо чтобы было
невозможно или необходимо или возможно,
а четвертого нет,
и
невозможно чтобы было
невозможно и необходимо и возможно.
"~~x" эквивалентно "необходимо x",
"~x" эквивалентно "невозможно x",
"x" эквивалентно "возможно x",
~(~~x) = x и ~~(~x) = x, т.е.
невозможность необходимости есть возможность
и
необходимость невозможности есть возможность.
p.s.
Любая операция в многозначной системе представляется композицией
степеней отрицания-транспозиции и полноциклического отрицания.