теория золотых чисел и рядов Фибоначчи
Напомним: m-арное золотое число - это максимальный действительный корень золотого m-арного золотого распределения
(1) φm + φm2 +...+ φmm= 1
или
(2) φmm+1 - 2φm +1 = 0
со значениями φ1 = 1, φ2 ≈ 0.618..., φ3 ≈ 0.543..., φ4 ≈ 0.519... и т.д.
В пределе с ростом числа частей φm стремится к 1/2, являясь
пределом отношения соседних членов обобщенного m-ряда Фибоначчи:
(3) F (m)1 =...= F (m)m-1 = 0, F (m)m = 1, ..., F (m)k+1 = F (m)k + F (m)k-1 +...+ F (m)k-m+1
Понятно, что золотые числа иррациональны и отсюда из (1) и (2) вытекает несуществование таких натуральных p и q, что p < q и
(4) qm - pm - pm-1q -...- pqm-1 = 0.
и
(5) pm+1 + qm+1 - 2pqm = 0.
Однако если p и q - соседние члены некоторого 2-ряда Фибоначчи, то выражение (4) постоянно до знака, который меняется на противополжный при сдвиге на один член вправо, для всех его членов:
(6) q2 - p2 - pq = с
и
(7) p3 + q3 - 2pq2 = cp.
и обозначив p' = q, q' = p+q, получаем
(8) q'2 - p'2 - p'q' = -с
и
(9) p'3 + q'3 - 2p'q'2 = -cp.
Доя стандартного 2-ряда с начальными членами 0,1 c = 1.
При этом p' = p2 + q2 и q' = 2pq + q2 также соседние члены ряда.
Отношение p / q стремится к φm