Автодифференциальные функции
Автодифференциальные функции порядка n - дифференцируемые функции, совпадающие со своей производной n-го порядка:
f (n)x = f (x),
где f (0)x = f (x), f (k)x = d f (k-1)x / dx, k = 1,2,...n.
Отметим, что если f (x) = b e cx, то f (1)x = c f (x) и, сл-но, f (n)x = cn f (x),
стало быть cn = 1, откуда c = cos 2π k/n + i sin 2π k/n, k=1,2,...,n.
Тогда
f (1)x = f (x) = b e x, f (2)x = f (x) = b e -x, f (3)x = f (x) = b e (I √3 - 1) / 2 x,
f (4)x = f (x) = b e i x = b (cos x + i sin x) (или просто b cos x или b sin x),
Т.о. Автодифференциальные функции - это экспоненты и две тригонометрические функции, которые хорошо разлагаются в ряд Макларена
f (x) = f (0)x (0) + x f (1)x (0) + x2/ 2 f (2)x (0) + ... + xn / n! f (n)x (0) + ...
f (n)x = f (x),
где f (0)x = f (x), f (k)x = d f (k-1)x / dx, k = 1,2,...n.
Отметим, что если f (x) = b e cx, то f (1)x = c f (x) и, сл-но, f (n)x = cn f (x),
стало быть cn = 1, откуда c = cos 2π k/n + i sin 2π k/n, k=1,2,...,n.
Тогда
f (1)x = f (x) = b e x, f (2)x = f (x) = b e -x, f (3)x = f (x) = b e (I √3 - 1) / 2 x,
f (4)x = f (x) = b e i x = b (cos x + i sin x) (или просто b cos x или b sin x),
Т.о. Автодифференциальные функции - это экспоненты и две тригонометрические функции, которые хорошо разлагаются в ряд Макларена
f (x) = f (0)x (0) + x f (1)x (0) + x2/ 2 f (2)x (0) + ... + xn / n! f (n)x (0) + ...