архимедовы геодезические линии и метрика на плоскости

[az118]

напомним:

геодезическая линия - обобщение прямой линии на неэвклидовы пространства размерности 2 и выше.

если в пространстве размерности n даны две точки с координатами p0 = (x0,1,...,x0,n) и p0+Δp = (x0,1+Δx1,...,x0,n+Δxn), то проходящая через через них геодезическая линия L представляет собой множество точек с параметрическими координатами p(t) = p0+Δp t = (x1(t)=x0,1+Δx1t,...,xn(t)=x0,n+Δxnt), где параметр t - ЛДЧ.

расстоянием между точками p0 и p0+Δp будет длина их соединяющего геодезического отрезка.

на плоскости, при n=2, имеем p0 = (x0, y0), p0+Δp = (x0+Δx1, y0+Δyn) и p(t) = p0+Δp t = (x(t)=x0+Δx t, y(t)=y0+Δy t).

из последних двух соотношений вытекает t = (x(t)-x0) / Δx и

(1) y(t) = y0 + (Δy/Δx) (x(t)-x0) = b + c x(t),

где c = (Δy/Δx) и b = y0 - с x0.

если координаты x и y декартовы, то уравнение (1) описывает обычную евклидову прямую.

но если координаты x и y полярные и x=ф - угол, а y=r=b+cф - радиус-вектор, то уравнение (1) описывает
спираль Архимеда на полярной плоскости, в декартовых координатах имеющую представление

(2) u(t) = r(t) cos ф(t), v(t) = r(t) sin ф(t), r(t) = b + с ф(t)

с тремя типами геодезических линий:

1) полярные прямые при Δф=0: u(t) = r(t) cos ф0, v(t) = r(t) sin ф0, r(t) = b + c t;
2) полярные окружности при Δr=0: u(t) = r0 cos t, v(t) = r0 sin t;
3) спирали Архимеда (2) в остальных случаях.