2) Если у какой-то точки А шесть или больше соседей, то есть такие два соседа B и C, что угол BAC ≤ 60 градусов. Но тогда не получится, чтобы отрезок BC было длиннее и AB, и AC.
Кажется, это не совсем строго, т.к. необязательно, чтобы BC был длиннее и AB, и AC, потому что один из этих двух отрезков, например ΑΒ, может быть проведен "из-за A", и тогда BC может гипотетически быть короче его, не приводя к противоречию. Но док-во спасено, если заметить, что в таком случае ΑΒ < AC, и BC < AB действительно влечет также BC < AC, и отрезку AC поэтому нет оправдания.
2 понятно: если A соединена с B_1 и B_2, то в треугольнике B_1AB_2 сторона B_1B_2 --- строго наибольшая, так что угол B_1AB_2 больше 60 градуcов (в случае коллинеарности обе точки B_1 и B_2 не могут лежать по одну сторону от A, а если по разные, то получается аж 180>60).
Со второй проще. Единственный способ соединить точку с шестью так, чтобы она была ближе к ним, чем они между собой это разместить ее в центре а шестерых в окрестностях окружности. Но получится, что между отрезками нужно делать по 60 градусов и как минимум 2 подряд из точек нужно будет выставить за окружность, иначе до соседа будет ближе чем до центра, а значит расстояние от центра до любой них опять станет больше, чем до соседней.
2. Если у какой то точки А шесть связей, то есть связи В и С такие что угол ВАС не более 60 градусов. Пусть В - дальняя от А; возьмем на ребре АВ точку К на расстоянии АС от А. Тогда для расстояния СВ верно СВ < СК+КВ<=(так как угол ВАС не более 60) <= АК+КВ = АВ. То есть С находится ближе к В чем А и значит связь АВ существвать не может.
Comments 30
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Leave a comment