о бесконечно малых
Начну с цитаты:
"У меня внутри поднялась настоящая буря: "Ах, вот оно что! - пронеслось у меня, - нас, маленьких, учат одному, а сами-то взрослые, что между собою говорят. Значит, взаправду, дело не так уже стоит тут твердо, раз у них самих такие разговоры." Я впился глазами в них и чувствовал, как они у меня горели."
Это из письма Николая Лузина, патриарха московской математической школы. Лузин вспоминает свои студенческие годы (примерно 1904 год), и "настоящая буря" поднялась у него внутри оттого, что он услышал невольно, как два профессора говорили между собой, что символами полных дифференциалов (dy, dx) можно оперировать, как бесконечно малыми постоянными величинами. Он возмущен, потому что эти же профессора повторяли ему неоднократно как студенту, что производную надо понимать исключительно через определение пределами, т.е. dy/dx символически обозначает предельную величину, а не деление бесконечно малых.
Вот еще из этого же письма:
"Живо помню, как с величайшей болью я воспринимал кривую Weierstrass'a без касательной, не верил, пытался опровергнуть и десятки раз перечитывал доказательство Duhamel'a о том, что всякая непрерывная функция дифференцируема. Эта боль, действительно почти нестерпимая, при мысли о кривой Weierstrass'a понятна: ведь если у(х) есть функция Weierstrass'a, то она непрерывна, и раз существует dx, то должен существовать и dy. И однако нет dy/dx! Почему? [...] Борьба с кривой Weierstrass'a была для меня родом кошмара. Я ею грезил во
снах. Теперь я понимаю, что она была для меня чудовищем, с которым я нелепо боролся."
Все письмо, очень интересное, можно скачать здесь.
-----------------------------------
Лузин написал это письмо профессору Марку Выгодскому после того, как Выгодский прислал ему свой новый учебник матанализа, вышедший в 1931 году: "Основы исчисления бесконечно-малых". Оказывается, этот учебник (который можно скачать на либгене) вводит понятие интеграла и производной - в этом порядке - используя "наивные" понятия бесконечно малых и сознательно манкируя пределами. Не обоснованные математической логикой и теорией моделей - как в "нестандартном анализе" Робинсона - он появится только в 1960-х. А именно "наивные" понятия. Я не знал, что так бывает (в 20-м веке), и никогда не слышал раньше об этом учебнике; непохоже, чтобы он приобрел популярность.
Ну и еще один учебник в этой связи хочется упомянуть - "Intuitive Infinitesimal Calculus" Виктора Бласйо, шведского историка математики. Бласйо стремится развивать основные понятия матанализа с помощью интересных физических проблем, включая особенно те, которые собственно мотивировали изобретение матанализа в 17-м веке. Он тоже не пользуется пределами для определения интеграла или производной, но это еще ерунда по сравнению с другими крайне неожиданными и оригинальными особенностями этого учебника. Я недавно открыл для себя Бласйо (автора интересных полемических статей по истории математики, которые я постараюсь обсудить отдельно), и у меня нет твердого мнения по поводу его учебника, кроме того, что если он и подходит обычным смертным студентам, то скорее всего только самым сильным из них. Но всем интересующимся преподаванием матанализа рекомендую посмотреть, и поделитесь со мной вашим мнением, если составите.
"У меня внутри поднялась настоящая буря: "Ах, вот оно что! - пронеслось у меня, - нас, маленьких, учат одному, а сами-то взрослые, что между собою говорят. Значит, взаправду, дело не так уже стоит тут твердо, раз у них самих такие разговоры." Я впился глазами в них и чувствовал, как они у меня горели."
Это из письма Николая Лузина, патриарха московской математической школы. Лузин вспоминает свои студенческие годы (примерно 1904 год), и "настоящая буря" поднялась у него внутри оттого, что он услышал невольно, как два профессора говорили между собой, что символами полных дифференциалов (dy, dx) можно оперировать, как бесконечно малыми постоянными величинами. Он возмущен, потому что эти же профессора повторяли ему неоднократно как студенту, что производную надо понимать исключительно через определение пределами, т.е. dy/dx символически обозначает предельную величину, а не деление бесконечно малых.
Вот еще из этого же письма:
"Живо помню, как с величайшей болью я воспринимал кривую Weierstrass'a без касательной, не верил, пытался опровергнуть и десятки раз перечитывал доказательство Duhamel'a о том, что всякая непрерывная функция дифференцируема. Эта боль, действительно почти нестерпимая, при мысли о кривой Weierstrass'a понятна: ведь если у(х) есть функция Weierstrass'a, то она непрерывна, и раз существует dx, то должен существовать и dy. И однако нет dy/dx! Почему? [...] Борьба с кривой Weierstrass'a была для меня родом кошмара. Я ею грезил во
снах. Теперь я понимаю, что она была для меня чудовищем, с которым я нелепо боролся."
Все письмо, очень интересное, можно скачать здесь.
-----------------------------------
Лузин написал это письмо профессору Марку Выгодскому после того, как Выгодский прислал ему свой новый учебник матанализа, вышедший в 1931 году: "Основы исчисления бесконечно-малых". Оказывается, этот учебник (который можно скачать на либгене) вводит понятие интеграла и производной - в этом порядке - используя "наивные" понятия бесконечно малых и сознательно манкируя пределами. Не обоснованные математической логикой и теорией моделей - как в "нестандартном анализе" Робинсона - он появится только в 1960-х. А именно "наивные" понятия. Я не знал, что так бывает (в 20-м веке), и никогда не слышал раньше об этом учебнике; непохоже, чтобы он приобрел популярность.
Ну и еще один учебник в этой связи хочется упомянуть - "Intuitive Infinitesimal Calculus" Виктора Бласйо, шведского историка математики. Бласйо стремится развивать основные понятия матанализа с помощью интересных физических проблем, включая особенно те, которые собственно мотивировали изобретение матанализа в 17-м веке. Он тоже не пользуется пределами для определения интеграла или производной, но это еще ерунда по сравнению с другими крайне неожиданными и оригинальными особенностями этого учебника. Я недавно открыл для себя Бласйо (автора интересных полемических статей по истории математики, которые я постараюсь обсудить отдельно), и у меня нет твердого мнения по поводу его учебника, кроме того, что если он и подходит обычным смертным студентам, то скорее всего только самым сильным из них. Но всем интересующимся преподаванием матанализа рекомендую посмотреть, и поделитесь со мной вашим мнением, если составите.