о счете и сложении
Я написал небольшую заметку по-английски о том, как я вижу некоторые аспекты философии математики и применение математики к физическому миру. Вот ее перевод на русский язык:
В дискуссиях на тему о том, что есть математическая истина и как она воплощается в физической реальности, я часто натыкаюсь на ошибочный (на мой взгляд) вид рассуждений, которые формулируют по-разному, но типичные примеры выглядят например так: "камни ведут себя изоморфно натуральным числам, а капли воды - нет: одна капля плюс еще одна капля равняется все еще одна капля", или "два яблока плюс два яблока равно четыре яблока, если только никто не украл тайком одно из них", и так далее. Я попытаюсь объяснить, почему такие рассуждения мне кажутся ошибочными, в чем состоит ошибка и как правильнее смотреть на то, что происходит.
Не одна, а две разные ошибки сочетаются вместе и создают общее состояние путаницы. Я рассмотрю их в отдельности; на мой взгляд они независимы друг от друга и мои аргументы в случае каждой из них можно рассматривать отдельно.
1. Первая ошибка состоит в том, что путают счет и пространственное сближение. Эти две операции мы обычно проводим в уме совместно, потому что так мы учились считать - наблюдая наборы вещей, стоящих рядом - но вовсе необязательно их совмещать. Когда мы говорим "возьми два яблока, добавь еще два яблока, посчитай - теперь у тебя четыре яблока", мы автоматически представляем в уме, как два дополнительных яблока становятся рядом с двумя первоначальными - но это всего лишь удобная уловка, без которой можно легко обойтись. Я сейчас покажу, как. Представьте, что я попросил вас посчитать вместе двух овец в Англии и еще двух в Австралии. Вы представляете в уме английских овец и считаете: один, два. Теперь воздержитесь от соблазна телепортировать австралийских овец и поставить их рядом с английскими; вместо этого слетайте в уме за мгновение в Австралию и посмотрите на австралийское поле - вон они там стоят, три, четыре. Вот вы и посчитали 2+2 овцы, не совмещая их вместе в пространстве, ни в реальной жизни, ни в уме. Это совершенно нормальный способ счета, которым в отдельных ситуациях мы пользуемся все время - скажем, если кто-то попросит вас посчитать, сколько стульев стоит в большой и заполненной мебелью комнате, вы не будете совмещать все эти стулья перед собой в уме, вы просто окинете взглядом комнату и пересчитаете их по одному.
А теперь давайте посмотрим на то, какое отношение это имеет к счету таких объектов, как капли воды или облака. Скажем, кто-то говорит вам: "да, яблоки соблюдают законы арифметики, но одна капля воды плюс еще одна капля воды вместе равны одной капле воды побольше, а не двум". Из вышесказанного должно быть ясно, что ваш собеседник путает совмещение в пространстве с сложением/счетом. Сложение двух яблок и еще двух яблок - это не операция по пространственному их сближению, это умственный акт представления их в качестве одной целой группы, которую можно пересчитать. Просто пространственное сближение в вашем воображении (или на столе) - самый простой способ выполнить такое представление. Но когда речь идет о каплях воды или облаках, пространственная операция начинает мешать, а не помогать - так просто откажитесь от нее. Капля воды плюс капля воды? Несомненно, две капли воды: может, они лежат рядом друг с другом, а может, вообще в разных океанах. Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.
2. Вторая ошибка является примером путаницы между картой и территорией; а именно, мы наивно приписываем территории возможность держать в себе для нашего использования дискретные объекты. Может быть полезным продумать как следует и запомнить, что по крайней мере на нашей макро-шкале восприятия реальности, на шкале, которую дают нам наши чувства, отдельные, дискретные объекты существуют на карте, а не на территории: у нас в уме, а не в реальности. В реальности есть много разных атомов повсюду, и нет "естественного" способа разделить их на объекты в том виде, в каком мы их воспринимаем. (я несколько упрощаю, говоря об атомах - можно спуститься пониже и говорить об элементарных частицах, квантово-механических суперпозициях итд., но это несущественно тут).
Обычно нет особой причины настаивать на этом - нет никакого вреда в том, чтобы представлять реальность состоящей из яблок, камней, облаков и чего угодно еще. Но представьте себе теперь такой аргумент, который нередко встречается: "Математические истины: придуманы ли они людьми или существуют независимо от нас? Было ли 2+2=4 верным до того, как появились люди и изобрели это равенство? Я думаю, что задолго до существования людей, на безжизненной Земле миллирады лет назад, когда два камня выкатились на пляж, на котором уже лежало три камня, всего на пляже оказалось пять камней". Что происходит в этой истории, если подробней присмотреться? Ну во-первых, тут есть использование пространственного совмещения, о котором я писал выше: нам проще представить два камня, вкатывающихся на пляж, чем складывать в уме три камня и еще два из другого места. Но оставим это, еще до самой операции сложения, присмотритесь к этим трем камням, которые лежат на пляже. Что это за объекты? Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства; но в этой гипотетической картинке Земли далекого прошлого нет ни нас, ни наших чувств. Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.
С другой стороны, это не означает, на мой взгляд, что существование трех камней на этом пляже - в некотором виде "субъективное" утверждение. Представьте себе, что на пляже везде существуют гипотетические инопланетные наноботы, которые записывают во всех подробностях движения всех атомов и сохраняют этот гигантские массив данных где-нибудь; потом, спустя миллиард лет, вы находите этот архив, расшифровываете его, реконструируете ситуацию - конечно же, тогда вам будет очевидно, что на пляже находилось три камня. То, что на пляже лежат три камня - объективный факт природы; но смысл этого утверждения зависит от конкретной процедуры дискретизации, процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами. Вот почему счет - и сложение - являются именно что ментальными операциями, которые мы выполняем в уме над ментальными конструкциями; операциями на карте, а не на территории.
Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"; мой анализ оставляет место как для платонизма, так и для формализма, на мой взгляд. Просто пример пяти камней на пляже до появления человечества не помогает разрешить этот вопрос: без дискретизации "по-человечески" нет смысла у утверждения о том, что там было пять камней, а не просто куча атомов. Все равно может быть верным - и я лично считаю верным - что законы, определяющие поведение дискретных объектов, хоть они обычно и являются ментальными объектами, универсальны, и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян.
(Наконец, надо отметить, что реальность может оказаться дискретной на микро-уровне - пространство-время может оказаться дискретным, мы вполне можем говорить об отдельных фотонах итд. Но все это не имеет отношения к уровню восприятия наших чувств - уровню яблок, камней, облаков итд.)
В дискуссиях на тему о том, что есть математическая истина и как она воплощается в физической реальности, я часто натыкаюсь на ошибочный (на мой взгляд) вид рассуждений, которые формулируют по-разному, но типичные примеры выглядят например так: "камни ведут себя изоморфно натуральным числам, а капли воды - нет: одна капля плюс еще одна капля равняется все еще одна капля", или "два яблока плюс два яблока равно четыре яблока, если только никто не украл тайком одно из них", и так далее. Я попытаюсь объяснить, почему такие рассуждения мне кажутся ошибочными, в чем состоит ошибка и как правильнее смотреть на то, что происходит.
Не одна, а две разные ошибки сочетаются вместе и создают общее состояние путаницы. Я рассмотрю их в отдельности; на мой взгляд они независимы друг от друга и мои аргументы в случае каждой из них можно рассматривать отдельно.
1. Первая ошибка состоит в том, что путают счет и пространственное сближение. Эти две операции мы обычно проводим в уме совместно, потому что так мы учились считать - наблюдая наборы вещей, стоящих рядом - но вовсе необязательно их совмещать. Когда мы говорим "возьми два яблока, добавь еще два яблока, посчитай - теперь у тебя четыре яблока", мы автоматически представляем в уме, как два дополнительных яблока становятся рядом с двумя первоначальными - но это всего лишь удобная уловка, без которой можно легко обойтись. Я сейчас покажу, как. Представьте, что я попросил вас посчитать вместе двух овец в Англии и еще двух в Австралии. Вы представляете в уме английских овец и считаете: один, два. Теперь воздержитесь от соблазна телепортировать австралийских овец и поставить их рядом с английскими; вместо этого слетайте в уме за мгновение в Австралию и посмотрите на австралийское поле - вон они там стоят, три, четыре. Вот вы и посчитали 2+2 овцы, не совмещая их вместе в пространстве, ни в реальной жизни, ни в уме. Это совершенно нормальный способ счета, которым в отдельных ситуациях мы пользуемся все время - скажем, если кто-то попросит вас посчитать, сколько стульев стоит в большой и заполненной мебелью комнате, вы не будете совмещать все эти стулья перед собой в уме, вы просто окинете взглядом комнату и пересчитаете их по одному.
А теперь давайте посмотрим на то, какое отношение это имеет к счету таких объектов, как капли воды или облака. Скажем, кто-то говорит вам: "да, яблоки соблюдают законы арифметики, но одна капля воды плюс еще одна капля воды вместе равны одной капле воды побольше, а не двум". Из вышесказанного должно быть ясно, что ваш собеседник путает совмещение в пространстве с сложением/счетом. Сложение двух яблок и еще двух яблок - это не операция по пространственному их сближению, это умственный акт представления их в качестве одной целой группы, которую можно пересчитать. Просто пространственное сближение в вашем воображении (или на столе) - самый простой способ выполнить такое представление. Но когда речь идет о каплях воды или облаках, пространственная операция начинает мешать, а не помогать - так просто откажитесь от нее. Капля воды плюс капля воды? Несомненно, две капли воды: может, они лежат рядом друг с другом, а может, вообще в разных океанах. Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.
2. Вторая ошибка является примером путаницы между картой и территорией; а именно, мы наивно приписываем территории возможность держать в себе для нашего использования дискретные объекты. Может быть полезным продумать как следует и запомнить, что по крайней мере на нашей макро-шкале восприятия реальности, на шкале, которую дают нам наши чувства, отдельные, дискретные объекты существуют на карте, а не на территории: у нас в уме, а не в реальности. В реальности есть много разных атомов повсюду, и нет "естественного" способа разделить их на объекты в том виде, в каком мы их воспринимаем. (я несколько упрощаю, говоря об атомах - можно спуститься пониже и говорить об элементарных частицах, квантово-механических суперпозициях итд., но это несущественно тут).
Обычно нет особой причины настаивать на этом - нет никакого вреда в том, чтобы представлять реальность состоящей из яблок, камней, облаков и чего угодно еще. Но представьте себе теперь такой аргумент, который нередко встречается: "Математические истины: придуманы ли они людьми или существуют независимо от нас? Было ли 2+2=4 верным до того, как появились люди и изобрели это равенство? Я думаю, что задолго до существования людей, на безжизненной Земле миллирады лет назад, когда два камня выкатились на пляж, на котором уже лежало три камня, всего на пляже оказалось пять камней". Что происходит в этой истории, если подробней присмотреться? Ну во-первых, тут есть использование пространственного совмещения, о котором я писал выше: нам проще представить два камня, вкатывающихся на пляж, чем складывать в уме три камня и еще два из другого места. Но оставим это, еще до самой операции сложения, присмотритесь к этим трем камням, которые лежат на пляже. Что это за объекты? Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства; но в этой гипотетической картинке Земли далекого прошлого нет ни нас, ни наших чувств. Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.
С другой стороны, это не означает, на мой взгляд, что существование трех камней на этом пляже - в некотором виде "субъективное" утверждение. Представьте себе, что на пляже везде существуют гипотетические инопланетные наноботы, которые записывают во всех подробностях движения всех атомов и сохраняют этот гигантские массив данных где-нибудь; потом, спустя миллиард лет, вы находите этот архив, расшифровываете его, реконструируете ситуацию - конечно же, тогда вам будет очевидно, что на пляже находилось три камня. То, что на пляже лежат три камня - объективный факт природы; но смысл этого утверждения зависит от конкретной процедуры дискретизации, процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами. Вот почему счет - и сложение - являются именно что ментальными операциями, которые мы выполняем в уме над ментальными конструкциями; операциями на карте, а не на территории.
Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"; мой анализ оставляет место как для платонизма, так и для формализма, на мой взгляд. Просто пример пяти камней на пляже до появления человечества не помогает разрешить этот вопрос: без дискретизации "по-человечески" нет смысла у утверждения о том, что там было пять камней, а не просто куча атомов. Все равно может быть верным - и я лично считаю верным - что законы, определяющие поведение дискретных объектов, хоть они обычно и являются ментальными объектами, универсальны, и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян.
(Наконец, надо отметить, что реальность может оказаться дискретной на микро-уровне - пространство-время может оказаться дискретным, мы вполне можем говорить об отдельных фотонах итд. Но все это не имеет отношения к уровню восприятия наших чувств - уровню яблок, камней, облаков итд.)