Адаптер RTL8111(RTL8168) неверно определяется как RTL8169 при загрузке?
Вы даже скачали и собрали драйвер с сайта производителя - всё равно сначала система загружает r8169, и только потом r8168?
И в выводе lsmod | grep r81 они висят вместе?
Ага. Есть такое дело. Нет-нет, НЕ НАДО запускать autorun.sh, поставляемый коварными китайцами в архиве с драйвером.
Есть решение проще.
Добавьте в файл /etc/initramfs-tools/modules строчку "r8168" и пересоберите образ загрузки.
update-initramfs -vu ; reboot
Всё. Драйвер будет загружен правильный.