Hemifields (освежая в памяти...)
Напомню, что для поле (тело) можно эквивалентно определить как (коммутативное) кольцо, где
1) Для всякого x ≠ 0 существует x⁻¹ такое, что x⁻¹x = xx⁻¹ = 1;
2) Для всякого x ≠ 1 существует x*, такое что x* = 1 + xx* = 1 + x*x.
Дело в том, что можно определить x* через (1 - x)⁻¹, а x⁻¹ через x = 1 - x*⁻¹. Для полуколец в зависимости от того, что выбрать, получатся неэквивалентные результаты, т.к. там нет операции «-».
Если выбрать вариант (1), получатся широко известные полуполя, такие как полуполе неотрицательных рациональных чисел или тропическое полуполе. Они превосходно поддаются классификации: на самом деле, все полуполя либо являются полями, либо являются обобщениями указанных двух примеров - тропическими алгебрами частично-упорядоченных групп, либо неотрицательными частями частично-упорядоченных полей и их факторполуполями, см. https://arxiv.org/pdf/1709.06923.pdf.
Если выбрать вариант (2), получаются штуковина, устоявшегося названия которой я не нашёл, назовём пока гемиполями (hemifield) и гемителами. Сюда, разумеется, входят все поля/тела. Но кроме того гемителами являются по определению все полукольца со звездой (star semirings, см. http://stedolan.net/research/semirings.pdf), например полукольцо регулярных выражений, где сложение это |, умножение конкатенация, единица пустая строка, а звёздочка “нуль или более раз”. Канонические примеры гемиполей - гемиполя индуктивных типов данных с точностью до изоморфизма. Сложение это Either[X, Y], умножение Pair[X, Y], звёздочка - List[T]. Для индуктивных типов данных верно, что вообще всякое невырожденное уравнение X = Polynome[X] имеет решение. Это утверждение для обычных полей означало бы алгебраическую замкнутость.
Мне много-много лет интересна задача классификации алгебраически-замкнутых (в указанном выше смысле) гемиполей.
* * *
Напомню, что локальными кольцами называются кольца, у которых для всякого x существует по меньшей мере либо x*, либо x⁻¹. Попробуем назвать локальными полукольцами такие полукольца, у которых для всякого x существует по меньшей мере либо x*, либо x⁻¹. Это общее обобщение полутел и гемител. Имеют ли какие-то хорошие свойства локальные полукольца, являются ли они в каком-то смысле естественными? Имеют ли они какое-то отношение к локализациям, как в случае колец? Существует ли для них какой-то вариант теоремы о том, что все проективные модули (бисемимодули?) над ними обладают базисом?
1) Для всякого x ≠ 0 существует x⁻¹ такое, что x⁻¹x = xx⁻¹ = 1;
2) Для всякого x ≠ 1 существует x*, такое что x* = 1 + xx* = 1 + x*x.
Дело в том, что можно определить x* через (1 - x)⁻¹, а x⁻¹ через x = 1 - x*⁻¹. Для полуколец в зависимости от того, что выбрать, получатся неэквивалентные результаты, т.к. там нет операции «-».
Если выбрать вариант (1), получатся широко известные полуполя, такие как полуполе неотрицательных рациональных чисел или тропическое полуполе. Они превосходно поддаются классификации: на самом деле, все полуполя либо являются полями, либо являются обобщениями указанных двух примеров - тропическими алгебрами частично-упорядоченных групп, либо неотрицательными частями частично-упорядоченных полей и их факторполуполями, см. https://arxiv.org/pdf/1709.06923.pdf.
Если выбрать вариант (2), получаются штуковина, устоявшегося названия которой я не нашёл, назовём пока гемиполями (hemifield) и гемителами. Сюда, разумеется, входят все поля/тела. Но кроме того гемителами являются по определению все полукольца со звездой (star semirings, см. http://stedolan.net/research/semirings.pdf), например полукольцо регулярных выражений, где сложение это |, умножение конкатенация, единица пустая строка, а звёздочка “нуль или более раз”. Канонические примеры гемиполей - гемиполя индуктивных типов данных с точностью до изоморфизма. Сложение это Either[X, Y], умножение Pair[X, Y], звёздочка - List[T]. Для индуктивных типов данных верно, что вообще всякое невырожденное уравнение X = Polynome[X] имеет решение. Это утверждение для обычных полей означало бы алгебраическую замкнутость.
Мне много-много лет интересна задача классификации алгебраически-замкнутых (в указанном выше смысле) гемиполей.
* * *
Напомню, что локальными кольцами называются кольца, у которых для всякого x существует по меньшей мере либо x*, либо x⁻¹. Попробуем назвать локальными полукольцами такие полукольца, у которых для всякого x существует по меньшей мере либо x*, либо x⁻¹. Это общее обобщение полутел и гемител. Имеют ли какие-то хорошие свойства локальные полукольца, являются ли они в каком-то смысле естественными? Имеют ли они какое-то отношение к локализациям, как в случае колец? Существует ли для них какой-то вариант теоремы о том, что все проективные модули (бисемимодули?) над ними обладают базисом?