Да забыли про овраги

[ahiin]

В этой части я расскажу мое собственно решение задачи об остывании шара, ну и байки обещанные, да. Это продолжение, первая часть здесь.

Итак, в прошлый раз мы, используя подстановку

Comments

[alex_dvorak]

Всё хорошо, всё правильно, всё красиво.
Автору - респект и уважуха.
Но позволю себе влезть на плечи классика и вставить свои 5 копеек.
"Механик не тот, кто умеет составлять дифференциальные уравнения, а тот, кто умеет их составлять так, что они решаются" - не проверял, откуда цитата не скажу, но я последние лет 40 уверен, что так говорил Заратустра это утверждение (не дословно, а по сути) принадлежит Н.Е.Жуковскому.
Так вот, уже от себя: не надо численные методы матфизики (явно, или по умолчанию) трактовать как конечноразностные методы.
Немного аналитики (как здесь у автора, еще раз респект) , немного здравого смысла (здесь же) и оч-чень многие неустойчивые и некорректные задачи (оба термина в математическом, а не бытовом смысле) вполне себе решаются численно. Например, методом петли и палки трапеций. С достаточной (для практики) точностью.

И еще.
"В этом момент, как сейчас помню, я жизнерадостно заржал. "
Ну лично я бы "заржал" после третьего коэффициента (как и сделал в своем решении).
И попробовал бы оценить невязочку - "вторую компоненту" (что автор собственно и почти полностью сделал)

Но для "олимпиадной чистоты" я бы еще повозился вот на какую тему.
Добавив в условие задачи требование монотонного убывания температуры по r при всех t (внутри шара, разумеется), полагаю, вполне можно исключить всякие паразитные источники тепла и осцилляции решения в минус бесконечности. Т.е. обеспечить любую требуемую точность и вперед и назад по времени на любой конечный промежуток времени.
Интересно, я прав в своём предположении?

[ahiin]

Ну я бы не стал так прямо бочку катить на конечные разности. Если область простая, это в большинстве случаев вполне себе лекарство первой линии, тем более, когда начинают считать более реалистичные вещи, всякую квазилинейщину и т.п. Все-таки эта конкретная задача специально придумана, чтобы создать на этом пути трудности. Хотя головой думать полезно, кто бы спорил.

Я собственно, недостаточно четко выразился, видимо. Разглагольствуя о регуляризации по Тихонову, я как раз и подразумеваю, что монотонность по r накладывается во все времена, не только в нуле. Осцилляции и неустойчивость в отрицательном времени это вполне заборет, но как я писал, по уму этот матаппарат жестковат для олимпиады (в основном из-за нехватки времени). Паразитные источники тепла задавить таким способом совсем скорее всего не получится, но на то есть свои методы при желании. Мне как-то Пальцев подарил свой препринт, например, так там шикарно совершенно, с помощью тех же конечных разностей принудительно организовывались бездивергентные решения Навье-Стокса.

[alex_dvorak]

Практически полностью согласен.
По мелочам:

"Ну я бы не стал так прямо бочку катить на конечные разности" - ничуть не собирался. Всякому инструменту своя область применения. Считаю лишь, что для этого инструмента сфера действий "исторически сложилась" чуть больше оптимальной.

"подразумеваю, что монотонность по r накладывается во все времена" - ок, принято, хотя и не люблю допущений с умолчаниями.

"Паразитные источники тепла задавить таким способом совсем скорее всего не получится" - скорее всего (не берусь утверждать, что так, но ...) справедливо следующее:
- любые источники тепла локализованные в отрезке, вложенном в интервал (0;1) (по r) и в конечном интервале времени обязательно приведут к немонотонности распределения температуры по r в какой-либо точке вне этих промежутков (по r и по t );
- а вот отсутствие "паразитного источника" в точке r=0 для отрицательных t, полагаю, также необходимо декларировать, иначе, "скорее всего не получится" (с).

"шикарно совершенно, с помощью тех же конечных разностей принудительно организовывались бездивергентные решения Навье-Стокса" - любопытно. "Схемная вязкость" строго равнялась нулю? Очень любопытно. Вангую: сделано в каком-то частном случае геометрии сетки, слабо применимом (если вообще применимом) для практики. Но даже если так, то, как минимум, любопытно.

[ahiin]

Не поленился найти:
Б.В. Пальцев, И.И. Чечель Многосеточный метод для двумерной системы типа Стокса (алгоритм с удвоением сетки), М.: Вычислительный центр АН СССР, 1990.

[alex_dvorak]

Спасибо за ссылку. Не поленился, погуглил, скачал, пробежался .
1. Был не прав. Подход вполне применим в реальных задачах (насколько вообще применимы двумерные задачи).
2. Был прав в своих сомнениях. Конечноэлементный, но никак не конечноразностный (в классическом смысле) подход.
Ну, если я правильно понял смысл, разумеется.
Жаль, не видел эту работу в те годы.... Впрочем, тогда я уже по-снобистски игнорировал сеточные методы и те подходы, которые считал принципиально двумерными, без очевидных выходов на трехмерную турбулентность...

[ahiin]

Я в свое время тоже другим путем пошел в получении бездивергентного поля. Но, тем не менее, как подход интересно.