Старые песни о главном: ahiin

ahiin

Старые песни о главном

Jun 12, 2020 15:01

Читатели моих давешних баек про условие Гёльдера-Липшица с такой регулярностью пишут, как все просто и как они сразу все поняли, что, похоже, часть из них в это действительно верит. Дабы слегка поправить ситуацию, я приведу вам один пример, с которым, в общем-то, тоже все просто и понятно.

Пусть $x\in[0,1]$
и $\alpha\in(0,1).$

Определим функцию $f\left ( x \right )$
следующим образом:

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x^\alpha\log x, \; x\neq 0, \\ 0, \; x=0. \end{matrix}\right.$

Внимание, вопрос: к какому классу $C^{n,\lambda}[0,1]$
принадлежит эта функция?

Очевидно, введенная функция непрерывна, но при этом ее производная имеет разрыв второго рода, поэтому лямбда, при которой норма становится конечной, должна по идее болтаться где-то между нулем и единицей.

[Для тех кто забыл, как определяется норма]
$\left \| f \right \|_{C^{0,\lambda}([a,b])} = \begin{matrix} \sup\\x\in[a,b] \end{matrix}\left | f(x) \right | + \begin{matrix} \sup\\ x_1,x_2\in[a,b], \\ x_1 \neq x2 \end{matrix} \frac{\left | f(x_1) - f(x_2) \right |}{\left | x_1 - x_2 \right |^\lambda}$

Под катом ответ, так что если хотите подумать, то сходу не жамкайте.

Хохма в том, что приведенная функция не имеет точной характеристики в шкале пространств $C^{0,\lambda}[0,1]$
. Очевидно, что при сколь угодно малом эпсилон $f(x)\in C^{0,\alpha-\epsilon}[0,1],$
а при $\lambda=\alpha$
норма из спойлера улетает в бесконечность (проверьте). Такие дела.

Для того, чтобы подобрать нашей функции родное пространство, в итоге приходится обращаться к модулям непрерывности. В качестве самостоятельного упражнения, можете попробовать разобраться, как работает введенное по указанной ссылке пространство "почти липшицевых" функций и построить аналогичное пространство для нашей бездомной.

математика