Решение задачи с бусинами
Условие здесь.
До основной идеи додумались многие, но при этом большинство додумавшихся впали в соблазн счесть, что достаточно рассмотреть одну бусину. Этим мне задача и нравится: наглядная демонстрация, как поведение ансамблей существенно отличается от уединенных частиц.
Первым верное решение дал nabbla1, снова. Его объяснения здесь. Я расскажу немного другой вариант.
Сегодня буду по необходимости телеграфно краток. Если что-то непонятно, не стесняйтесь, спрашивайте.
Так как удары центральные, абсолютно упругие, а бусины одинаковые, то из закона сохранения импульса при столкновениях бусины будут просто "обмениваться" скоростями. А так как размеры бусин пренебрежимы и учет положения конкретных бусин нам неинтересен, то можно считать, что бусины проходят друг сквозь друга без взаимодействия.
Отсюда автоматически имеем ответ на вопрос 1б): какова бы ни была начальная позиция бусины, ей для покидания стержня потребуется не более секунды.
Здесь, как я уже упоминал, многие впали в соблазн решить, что поведение системы сводится к поведению единственной бусины. Однако, цитируя nabbla1: "При N стремящемся к бесконечности получим 1 секунду, т.к всё выше вероятность, что найдётся одна сволочь на самом краю, идущая не в ту сторону!"
Осталось немного: обратите внимание, что если рассматривать случайную величину "дистанция, которую нужно пройти частице, чтобы свалиться со стержня", то она окажется случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке от нудя до единицы. Это избавляет нас от учета направлений.
Таким образом, для единичной частицы
Для системы из N частиц (ответ к вопросу 1а):dx_1...dx_N&space;=&space;\frac{N}{N+1}.)
Что касается пункта 2, то здесь все предельно просто:
}{v}\max(x_1,&space;...&space;x_N)dx_1...dx_Ndv&space;=&space;\frac{N}{N+1}\int_{0}^{\infty}\frac{p(v)}{v}dv.)
Таким образом, вопрос сводится к конечности интеграла}{v}dv.)
Подобные интегралы встречаются, кстати, не так уж редко (см., например, признак Дини).
До основной идеи додумались многие, но при этом большинство додумавшихся впали в соблазн счесть, что достаточно рассмотреть одну бусину. Этим мне задача и нравится: наглядная демонстрация, как поведение ансамблей существенно отличается от уединенных частиц.
Первым верное решение дал nabbla1, снова. Его объяснения здесь. Я расскажу немного другой вариант.
Сегодня буду по необходимости телеграфно краток. Если что-то непонятно, не стесняйтесь, спрашивайте.
Так как удары центральные, абсолютно упругие, а бусины одинаковые, то из закона сохранения импульса при столкновениях бусины будут просто "обмениваться" скоростями. А так как размеры бусин пренебрежимы и учет положения конкретных бусин нам неинтересен, то можно считать, что бусины проходят друг сквозь друга без взаимодействия.
Отсюда автоматически имеем ответ на вопрос 1б): какова бы ни была начальная позиция бусины, ей для покидания стержня потребуется не более секунды.
Здесь, как я уже упоминал, многие впали в соблазн решить, что поведение системы сводится к поведению единственной бусины. Однако, цитируя nabbla1: "При N стремящемся к бесконечности получим 1 секунду, т.к всё выше вероятность, что найдётся одна сволочь на самом краю, идущая не в ту сторону!"
Осталось немного: обратите внимание, что если рассматривать случайную величину "дистанция, которую нужно пройти частице, чтобы свалиться со стержня", то она окажется случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке от нудя до единицы. Это избавляет нас от учета направлений.
Таким образом, для единичной частицы
Для системы из N частиц (ответ к вопросу 1а):
Что касается пункта 2, то здесь все предельно просто:
Таким образом, вопрос сводится к конечности интеграла
Подобные интегралы встречаются, кстати, не так уж редко (см., например, признак Дини).