небольшая победа
похоже, таки решил эту олимпиадную задачу имени Секефальви-Надя
(http://a-konst.livejournal.com/109012.html?thread=478164#t478164)
Решение:
Только пункт б), первый намного проще и похоже..
Не умаляя общности, будем считать старший коэффициент единицей, и разложим в произведение:
f(x) = x(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_m)(x-1) , где m = n-2.
Основная идея: смещать внутренние корни ближе к "середине" (точнее, к их центру масс) и показать,
что при этом расстояние между крайними корнями производной уменьшается. После чего посчитать его просто для предельного случая.
В деталях:
положим h(x) := x(x-b_1)(x-b_2)....(x-b_k)(x-1), где {b_k} - все внутренние корни f, кроме тех двух, которые мы будем смещать. Эти два обозначим p и q.
\varphi (x) := (x-p)(x-q) = x^2 - x (p+q) + pq.
\psi(x) := (x - (p+q)/2 )^2 = x^2 - x(p+q) + (p+q)^2/4.
Тогда
f(x) = h(x) \varphi(x),
g(x) = h(x) \psi(x). --- новая функция, со смещенными "к середине" корнями.
\psi(x) - \varphi(x) = (p-q)^2/4, поэтому
g(x) = f(x) + h(x) (p-q)^2/4
пусть v - крайний левый корень f'.
Тогда \varphi(v) > 0, и убывает, а h(v) одного знака с f(x).
заметим, что (h(x) \varphi(x) )' = h'(x) \varphi(x) + h(x) \varphi' (x)
а еще заметим, что f(0) = h(0) = 0, и что f и h имеют одинакового знака производные на [0, v), и что
\varphi'(v) < 0.
откуда h'(v) = - (h(v) \varphi'(v)) / (\varphi(v)) --- отрицательно, если f(v) < 0 и тем самым f' < 0 на [0, v) , и положительно, если f(v) > 0 и тем самым f' > 0 на [0, v)
Таким образом, g = f + h(умноженное на что-то положительное) имеет производную того же знака
на [0, v] (включая v!!! ) , что и f'(0).
То есть минимальный корень g' будет правее v.
С максимальным корнем аналогично.
последовательно смещая корни многочлена к их центру тяжести (обозначим его за m), получаем последовательность (к сожалению, почти всегда бесконечную) полиномов, которая сходится (в каком угодно смысле) к полиному x (x-m)^k (x-1), и у которой расстояине между крайними корнями производной монотонно убывает (интервалы просто вложены), а у предельного полинома оно вычисляется и равно
\sqrt { 1 - 2/n + ((2m - 1)^2) / (n^2) }
(http://a-konst.livejournal.com/109012.html?thread=478164#t478164)
Решение:
Только пункт б), первый намного проще и похоже..
Не умаляя общности, будем считать старший коэффициент единицей, и разложим в произведение:
f(x) = x(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_m)(x-1) , где m = n-2.
Основная идея: смещать внутренние корни ближе к "середине" (точнее, к их центру масс) и показать,
что при этом расстояние между крайними корнями производной уменьшается. После чего посчитать его просто для предельного случая.
В деталях:
положим h(x) := x(x-b_1)(x-b_2)....(x-b_k)(x-1), где {b_k} - все внутренние корни f, кроме тех двух, которые мы будем смещать. Эти два обозначим p и q.
\varphi (x) := (x-p)(x-q) = x^2 - x (p+q) + pq.
\psi(x) := (x - (p+q)/2 )^2 = x^2 - x(p+q) + (p+q)^2/4.
Тогда
f(x) = h(x) \varphi(x),
g(x) = h(x) \psi(x). --- новая функция, со смещенными "к середине" корнями.
\psi(x) - \varphi(x) = (p-q)^2/4, поэтому
g(x) = f(x) + h(x) (p-q)^2/4
пусть v - крайний левый корень f'.
Тогда \varphi(v) > 0, и убывает, а h(v) одного знака с f(x).
заметим, что (h(x) \varphi(x) )' = h'(x) \varphi(x) + h(x) \varphi' (x)
а еще заметим, что f(0) = h(0) = 0, и что f и h имеют одинакового знака производные на [0, v), и что
\varphi'(v) < 0.
откуда h'(v) = - (h(v) \varphi'(v)) / (\varphi(v)) --- отрицательно, если f(v) < 0 и тем самым f' < 0 на [0, v) , и положительно, если f(v) > 0 и тем самым f' > 0 на [0, v)
Таким образом, g = f + h(умноженное на что-то положительное) имеет производную того же знака
на [0, v] (включая v!!! ) , что и f'(0).
То есть минимальный корень g' будет правее v.
С максимальным корнем аналогично.
последовательно смещая корни многочлена к их центру тяжести (обозначим его за m), получаем последовательность (к сожалению, почти всегда бесконечную) полиномов, которая сходится (в каком угодно смысле) к полиному x (x-m)^k (x-1), и у которой расстояине между крайними корнями производной монотонно убывает (интервалы просто вложены), а у предельного полинома оно вычисляется и равно
\sqrt { 1 - 2/n + ((2m - 1)^2) / (n^2) }