Природа законов логики 2. Логика в квантовой физике
Размещено в сообществе dia_logic. Комментировать лучше там, хотя конечно можно и тут.
- Что читаешь?
- Квантовую механику.
- А чего книга вверх ногами?
- Да какая разница...
Квантовая механика - она как женщина! Понять её невозможно!
(бородатые анекдоты)
В первой части было высказано предположение, что законы классической логики основаны на том, что состояние классического физического объекта возможно представить точкой в фазовом пространстве. А к этим точкам применимы все обычные правила обращения с множествами и соответствующие правила формальной логики (ФЛ). Но помимо классической физики существует и квантовая физика, причем хорошо известно, что законы квантовой механики кардинально отличаются от законов механики классической. Соответственно, можно предположить, что логика, пригодная для описания квантовых объектов, будет отличаться от классической логики.
Дальнейшее изложение базируется в основном на следующей статье: А.И. Ахиезер, Р.В. Половин, Почему невозможно ввести в квантовую механику скрытые параметры. УФН. 1972. Т.107. В.3. С.463, которая в свою очередь основана на идеях фон Неймана. Но рассматриваемы здесь примеры я частично придумал сам, поэтому вполне возможны ошибки и неточности. А посему, не судите строго, а замечания и уточнения принимаются с благодарностью. Кто знает кванты, вполне может ограничиться данной статьей, читать дальше нет особого смысла (разве что для поиска ошибок).
И так, классическая ФЛ основана на том, что состояние объекта может быть представлено точкой в фазовом пространстве. А состояние квантового объекта задается вектором в гильбертовом пространстве. Это не слишком сложно. Рассмотрим для начала двухмерное эвклидово пространство, т.е. просто обычную плоскость. Вектор есть некий отрезок, характеризующийся длиной (абсолютной величиной) и направлением. На плоскости можно ввести систему координат и совместить ее с началом вектора. Тогда такой вектор может быть представлен парой чисел, которые являются проекциями его на оси координат.
Эта пара чисел (ax, ay) задает вектор a и может сама рассматриваться как вектор. (Только не любая пара чисел является вектором.) Также вектор может быть представлен как векторная сумма векторов, расположенных вдоль осей.
Теперь осталось сделать следующие обобщения. Первое, количество взаимно перпендикулярных осей может быть любым, даже бесконечным. Второе, эти оси не имеют никакого отношение к обычному пространству. И третье, числа, задающие вектор могут быть не только действительными, но и комплексными. Вот тогда мы получим гильбертово пространство.
Для квантовой физики наиболее важно направление вектора, его длина всегда может быть найдена из условия нормировки, которой мы тут касаться не будем. Тогда состояние квантового объекта будет выражаться неким подпространством гильбертово пространства. Например, прямой (подпространство единичной размерности), вдоль которой располагается вектор, или плоскостью (подпространство 2х измерений), в которой могут лежать вектора, соответствующие некому состоянию. Надеюсь, из дальнейшего изложения все это будет яснее.
Над этими подпространствами можно ввести операции, аналогичные операциям над множествами, которые есть основа классической ФЛ. Операции конъюнкция (умножение, логическое «и») будет соответствовать пересечение подпространств.
Сложнее с операцией дизъюнкция (сложение, логическое «или»). Рассмотрим пример для классических объектов. Пусть у нас есть две дырки (В и Н).
Будем говорить о свойствах предметов проходить или нет через эти отверстия.
Предмет 1 проводит через дырку Н, предмет 2 проходит через дырку В, а предмет 3 через обе дырки. Если мы возьмем множество предметов, обладающих свойством «проходит через В» и множество предметов со свойством «проходит через Н», то множество предметов со свойством «проходит через В» ИЛИ «проходит через Н» будет объединением этих множеств. Все три предмета принадлежат этому объединенному множеству.
Рассмотрим теперь квантовый объект: электрон в спиновых состояниях. Электрон, пропущенный через прибор Штерна-Герлаха (ПШГ) может отклониться в одну сторону или в противоположную. Нам сейчас совершенно не принципиально, что такое спин и как работает ПШГ, важно, что при прохождении электрона через этот прибор возможно только два указанных результата. Сразу отметим особенность квантовой физики. Для экспериментального определения состояния необходимо провести не один опыт, а множество одинаковых опытов над идентичными квантовыми объектами (как говорят, ансамблем), поскольку в результате опыта исходное квантовое состояние разрушается. Если электроны всегда будут отклоняться в одну сторону (условно назовем ее верх), то говорят, что он находится в состоянии со спином +1/2 (1/2 вверх), если всегда будет отклоняться в противоположную сторону, то он будет находиться в состоянии со спином -1/2 (1/2 вниз), такие состояния будем называть базисными. Эти состояния похожи на предметы 1 и 2 из предыдущего примера. Каждый из этих предметов обладает свойством проходить только через «свое» отверстие.
Пространство спиновых состояний двумерно. В первом случае вектор состояния будет направлен вдоль одной из осей, а во втором - вдоль другой, перпендикулярной первой. Любое другое спиновое состояние электрона может быть представлено в виде вектора в этой плоскости, т.е. как сумма двух векторов, лежащих вдоль этих осей.
Рассмотрим теперь, чему же будет соответствовать следующая дизъюнкция высказываний: «электрон имеет спин 1/2 вверх» ИЛИ «электрон имеет спин 1/2 вниз». Если мы возьмем просто объединение множеств векторов вдоль каждой из осей, то мы получим такое множество состояний (две перпендикулярные прямые), что электрон, состояние которого принадлежит этому множеству, будет откланяться ПШГ только в одну сторону. Однако, в кантовой физике возможна суперпозиция состояний. В этом случае электрон может отклониться ПШГ как вверх, так и вниз. Т.е. если мы проделаем опыт над ансамблем одинаковых электронов, то часть из них отклонится вверх, а часть вниз. Вот такое состояние и будет дизъюнкцией, которая аналогична приведенному выше примеру для классических объектов.
Но состояние электрона, которое отвечает возможности отклонится как вверх, так и вниз, есть состояние, вектор которого есть сумма векторов, лежащих вдоль осей базисных состояний.
Но такие векторы отвечают всей плоскости. Операции дизъюнкции отвечает подпространство, которое, как говорят, прямая сумма подпространств. Каждый вектор, принадлежащей прямой сумме, может быть представлен как сумма векторов, принадлежащих каждому из подпространств, образующих прямую сумму.
Но пока, в общем-то, ничего удивительного во всем этом не было. Но давайте рассмотрим более сложную ситуацию. Опять начнем с классической аналогии. Рассмотрим еще пару дырок Л и П.
Предметы 1, 2 и 3 проходят через дырку Л. Мы можем написать следующие сложное высказывание: «проходит через Л» И («проходит через В» ИЛИ «проходит через Н»). Применение высказывания к предметам 1, 2 и 3 делает его истинным. Раскроем скобки и получим следующее высказывание: («проходит через Л» И «проходит через В») ИЛИ («проходит через Л» ИЛИ «проходит через Н»). В нем операцией дизъюнкции соединены два высказывания, причем для истинности всего высказывания необходима истинность хотя бы одного из них. Например, первое высказывание («проходит через Л» И «проходит через В») будет истинно для предметов 2 и 3.
Вернемся опять к спиновым состоянием электрона. Положим ПШГ на бок, тогда он будет делить электроны на летящие вправо и влево. Рассмотрим электроны, которые всегда летят вправо («спин 1/2 вправо»). Этому состоянию отвечает вектор, который имеет равные компоненты вдоль осей «спин вверх» и «спин вниз». Опять образуем сложное высказывание: А = «спин 1/2 вправо» И («спин 1/2 вверх» ИЛИ «спин 1/2 вниз») = П*(В+Н). Тут введены обозначения А, П, В и Н для высказываний, и знаки * и + для логических операций И и ИЛИ. Такое высказывание вполне может быть истинным. Высказывание (В+Н) соответствует плоскости, Высказывание П соответствует прямой в этой плоскости. Их пересечение будет той же самой прямой, т.е. в данном случае, А = П.
Опять раскроем скобки, как и ранее, получим: Б = («спин 1/2 вправо» И «спин 1/2 вверх») ИЛИ («спин 1/2 вправо» И «спин 1/2 вниз») = (П*В)+(П*Н). Чтобы высказывание Б было истинным надо, что бы было истинным хотя бы одно из составляющих высказываний (П*В), (П*Н). Но эти высказывания оба ложны. Состояния, соответствующие высказываниям П, В, Н описываются в пространстве разными прямыми, которые пересекаются лишь в точке и никакого подпространства высказываниям (П*В), (П*Н) не соответствует. В квантовой механике невозможны состояния, описываемые высказываниями: «электрон имеет спин 1/2 вправо И спин 1/2 вверх», «электрон имеет спин 1/2 вправо И спин 1/2 вниз». Если электрон находится в состоянии «спин 1/2 вправо», то ПШГ он будет отклоняться как вверх, так и вниз. Таким образом, получаем, что высказывание А = П*(В+Н) истинно, и при этом высказывание Б = (П*В)+(П*Н) ложно. Т.е. в такой логике не выполняется дистрибутивность.
При обсуждении предыдущей части и ранее я задавал вопрос: существуют ли примеры, когда нечто соответствует посылкам, но не соответствует ФЛ следствиям из них? Такой пример легко получить, если выйти из области применимости обычной ФЛ, т.е. из области описания классической физики. Действительно, пусть в качестве исходной посылки примем истинность высказывания А = П*(В+Н). Высказывание Б = (П*В)+(П*Н) получается из А при использовании выполняющегося в обычной ФЛ свойства дистрибутивности. Тогда, согласно таблицы истинности для дизъюнкции, хотя бы одно из высказываний, связанных операцией дизъюнкции в высказывании Б (т.е. высказывания П*В, П*Н) должно быть истинным. Однако, электрон находящийся в состоянии П = «спин 1/2 вправо» не может находится в состоянии В = «спин 1/2 вверх» или в состоянии Н = «спин 1/2 вниз». Т.е. утверждение, что «хотя бы одно из высказываний П*В, П*Н должно быть истинным» является ложным.
Таким образом, правила логики (в данном случае, правила операций над высказываниями) являются отображением неких общих закономерностей, которые присуще предметам, про которые строится логическое описание. Этим то и объясняется «принудительность» законов логики, невозможность их «безнаказанно» нарушать. Но всегда следует помнить, что законы логики не есть абсолютно универсальные законы, верные всегда и всюду, с ним надо обращаться также осторожно, как и с другими законами ( типа 2+2=4).
- Что читаешь?
- Квантовую механику.
- А чего книга вверх ногами?
- Да какая разница...
Квантовая механика - она как женщина! Понять её невозможно!
(бородатые анекдоты)
В первой части было высказано предположение, что законы классической логики основаны на том, что состояние классического физического объекта возможно представить точкой в фазовом пространстве. А к этим точкам применимы все обычные правила обращения с множествами и соответствующие правила формальной логики (ФЛ). Но помимо классической физики существует и квантовая физика, причем хорошо известно, что законы квантовой механики кардинально отличаются от законов механики классической. Соответственно, можно предположить, что логика, пригодная для описания квантовых объектов, будет отличаться от классической логики.
Дальнейшее изложение базируется в основном на следующей статье: А.И. Ахиезер, Р.В. Половин, Почему невозможно ввести в квантовую механику скрытые параметры. УФН. 1972. Т.107. В.3. С.463, которая в свою очередь основана на идеях фон Неймана. Но рассматриваемы здесь примеры я частично придумал сам, поэтому вполне возможны ошибки и неточности. А посему, не судите строго, а замечания и уточнения принимаются с благодарностью. Кто знает кванты, вполне может ограничиться данной статьей, читать дальше нет особого смысла (разве что для поиска ошибок).
И так, классическая ФЛ основана на том, что состояние объекта может быть представлено точкой в фазовом пространстве. А состояние квантового объекта задается вектором в гильбертовом пространстве. Это не слишком сложно. Рассмотрим для начала двухмерное эвклидово пространство, т.е. просто обычную плоскость. Вектор есть некий отрезок, характеризующийся длиной (абсолютной величиной) и направлением. На плоскости можно ввести систему координат и совместить ее с началом вектора. Тогда такой вектор может быть представлен парой чисел, которые являются проекциями его на оси координат.
Эта пара чисел (ax, ay) задает вектор a и может сама рассматриваться как вектор. (Только не любая пара чисел является вектором.) Также вектор может быть представлен как векторная сумма векторов, расположенных вдоль осей.
Теперь осталось сделать следующие обобщения. Первое, количество взаимно перпендикулярных осей может быть любым, даже бесконечным. Второе, эти оси не имеют никакого отношение к обычному пространству. И третье, числа, задающие вектор могут быть не только действительными, но и комплексными. Вот тогда мы получим гильбертово пространство.
Для квантовой физики наиболее важно направление вектора, его длина всегда может быть найдена из условия нормировки, которой мы тут касаться не будем. Тогда состояние квантового объекта будет выражаться неким подпространством гильбертово пространства. Например, прямой (подпространство единичной размерности), вдоль которой располагается вектор, или плоскостью (подпространство 2х измерений), в которой могут лежать вектора, соответствующие некому состоянию. Надеюсь, из дальнейшего изложения все это будет яснее.
Над этими подпространствами можно ввести операции, аналогичные операциям над множествами, которые есть основа классической ФЛ. Операции конъюнкция (умножение, логическое «и») будет соответствовать пересечение подпространств.
Сложнее с операцией дизъюнкция (сложение, логическое «или»). Рассмотрим пример для классических объектов. Пусть у нас есть две дырки (В и Н).
Будем говорить о свойствах предметов проходить или нет через эти отверстия.
Предмет 1 проводит через дырку Н, предмет 2 проходит через дырку В, а предмет 3 через обе дырки. Если мы возьмем множество предметов, обладающих свойством «проходит через В» и множество предметов со свойством «проходит через Н», то множество предметов со свойством «проходит через В» ИЛИ «проходит через Н» будет объединением этих множеств. Все три предмета принадлежат этому объединенному множеству.
Рассмотрим теперь квантовый объект: электрон в спиновых состояниях. Электрон, пропущенный через прибор Штерна-Герлаха (ПШГ) может отклониться в одну сторону или в противоположную. Нам сейчас совершенно не принципиально, что такое спин и как работает ПШГ, важно, что при прохождении электрона через этот прибор возможно только два указанных результата. Сразу отметим особенность квантовой физики. Для экспериментального определения состояния необходимо провести не один опыт, а множество одинаковых опытов над идентичными квантовыми объектами (как говорят, ансамблем), поскольку в результате опыта исходное квантовое состояние разрушается. Если электроны всегда будут отклоняться в одну сторону (условно назовем ее верх), то говорят, что он находится в состоянии со спином +1/2 (1/2 вверх), если всегда будет отклоняться в противоположную сторону, то он будет находиться в состоянии со спином -1/2 (1/2 вниз), такие состояния будем называть базисными. Эти состояния похожи на предметы 1 и 2 из предыдущего примера. Каждый из этих предметов обладает свойством проходить только через «свое» отверстие.
Пространство спиновых состояний двумерно. В первом случае вектор состояния будет направлен вдоль одной из осей, а во втором - вдоль другой, перпендикулярной первой. Любое другое спиновое состояние электрона может быть представлено в виде вектора в этой плоскости, т.е. как сумма двух векторов, лежащих вдоль этих осей.
Рассмотрим теперь, чему же будет соответствовать следующая дизъюнкция высказываний: «электрон имеет спин 1/2 вверх» ИЛИ «электрон имеет спин 1/2 вниз». Если мы возьмем просто объединение множеств векторов вдоль каждой из осей, то мы получим такое множество состояний (две перпендикулярные прямые), что электрон, состояние которого принадлежит этому множеству, будет откланяться ПШГ только в одну сторону. Однако, в кантовой физике возможна суперпозиция состояний. В этом случае электрон может отклониться ПШГ как вверх, так и вниз. Т.е. если мы проделаем опыт над ансамблем одинаковых электронов, то часть из них отклонится вверх, а часть вниз. Вот такое состояние и будет дизъюнкцией, которая аналогична приведенному выше примеру для классических объектов.
Но состояние электрона, которое отвечает возможности отклонится как вверх, так и вниз, есть состояние, вектор которого есть сумма векторов, лежащих вдоль осей базисных состояний.
Но такие векторы отвечают всей плоскости. Операции дизъюнкции отвечает подпространство, которое, как говорят, прямая сумма подпространств. Каждый вектор, принадлежащей прямой сумме, может быть представлен как сумма векторов, принадлежащих каждому из подпространств, образующих прямую сумму.
Но пока, в общем-то, ничего удивительного во всем этом не было. Но давайте рассмотрим более сложную ситуацию. Опять начнем с классической аналогии. Рассмотрим еще пару дырок Л и П.
Предметы 1, 2 и 3 проходят через дырку Л. Мы можем написать следующие сложное высказывание: «проходит через Л» И («проходит через В» ИЛИ «проходит через Н»). Применение высказывания к предметам 1, 2 и 3 делает его истинным. Раскроем скобки и получим следующее высказывание: («проходит через Л» И «проходит через В») ИЛИ («проходит через Л» ИЛИ «проходит через Н»). В нем операцией дизъюнкции соединены два высказывания, причем для истинности всего высказывания необходима истинность хотя бы одного из них. Например, первое высказывание («проходит через Л» И «проходит через В») будет истинно для предметов 2 и 3.
Вернемся опять к спиновым состоянием электрона. Положим ПШГ на бок, тогда он будет делить электроны на летящие вправо и влево. Рассмотрим электроны, которые всегда летят вправо («спин 1/2 вправо»). Этому состоянию отвечает вектор, который имеет равные компоненты вдоль осей «спин вверх» и «спин вниз». Опять образуем сложное высказывание: А = «спин 1/2 вправо» И («спин 1/2 вверх» ИЛИ «спин 1/2 вниз») = П*(В+Н). Тут введены обозначения А, П, В и Н для высказываний, и знаки * и + для логических операций И и ИЛИ. Такое высказывание вполне может быть истинным. Высказывание (В+Н) соответствует плоскости, Высказывание П соответствует прямой в этой плоскости. Их пересечение будет той же самой прямой, т.е. в данном случае, А = П.
Опять раскроем скобки, как и ранее, получим: Б = («спин 1/2 вправо» И «спин 1/2 вверх») ИЛИ («спин 1/2 вправо» И «спин 1/2 вниз») = (П*В)+(П*Н). Чтобы высказывание Б было истинным надо, что бы было истинным хотя бы одно из составляющих высказываний (П*В), (П*Н). Но эти высказывания оба ложны. Состояния, соответствующие высказываниям П, В, Н описываются в пространстве разными прямыми, которые пересекаются лишь в точке и никакого подпространства высказываниям (П*В), (П*Н) не соответствует. В квантовой механике невозможны состояния, описываемые высказываниями: «электрон имеет спин 1/2 вправо И спин 1/2 вверх», «электрон имеет спин 1/2 вправо И спин 1/2 вниз». Если электрон находится в состоянии «спин 1/2 вправо», то ПШГ он будет отклоняться как вверх, так и вниз. Таким образом, получаем, что высказывание А = П*(В+Н) истинно, и при этом высказывание Б = (П*В)+(П*Н) ложно. Т.е. в такой логике не выполняется дистрибутивность.
При обсуждении предыдущей части и ранее я задавал вопрос: существуют ли примеры, когда нечто соответствует посылкам, но не соответствует ФЛ следствиям из них? Такой пример легко получить, если выйти из области применимости обычной ФЛ, т.е. из области описания классической физики. Действительно, пусть в качестве исходной посылки примем истинность высказывания А = П*(В+Н). Высказывание Б = (П*В)+(П*Н) получается из А при использовании выполняющегося в обычной ФЛ свойства дистрибутивности. Тогда, согласно таблицы истинности для дизъюнкции, хотя бы одно из высказываний, связанных операцией дизъюнкции в высказывании Б (т.е. высказывания П*В, П*Н) должно быть истинным. Однако, электрон находящийся в состоянии П = «спин 1/2 вправо» не может находится в состоянии В = «спин 1/2 вверх» или в состоянии Н = «спин 1/2 вниз». Т.е. утверждение, что «хотя бы одно из высказываний П*В, П*Н должно быть истинным» является ложным.
Таким образом, правила логики (в данном случае, правила операций над высказываниями) являются отображением неких общих закономерностей, которые присуще предметам, про которые строится логическое описание. Этим то и объясняется «принудительность» законов логики, невозможность их «безнаказанно» нарушать. Но всегда следует помнить, что законы логики не есть абсолютно универсальные законы, верные всегда и всюду, с ним надо обращаться также осторожно, как и с другими законами ( типа 2+2=4).