ЖЖ о социологии математического знания
Откуда мы знаем, что мы знаем
http://pigbig.livejournal.com/449647.html
Формулировка математики с мировым именем проверяли верность решения и пришли к выводу, что оно правильное - полностью по Людвику Флеку, Бурдье и др.: "научная истина" является результатом консенсуса. Как "на самом деле", мы не знаем (нам неоткуда взять это знание), но мы делаем утверждение на основание таких-то соображений, и правильность наших выводов о том, как на самом деле, определяется через согласие значимых ("математики с мировым именем") акторов, т.е. экспертов, а это уже вопрос о власти.
Однако широко распространена или даже общепринята точка зрения, что ученые "открывают законы природы" (которые существуют именно как "законы", т.е. логические утверждения) и что они знают, правильно они открыли или нет: "это же очевидно", "можно провести эксепримент", "если работает на практике" "если есть повторяемость" и пр. Эти взгляды обычно поддерживаются естественниками или "технарями", хотя историков, доказывающих, что история - это "факт", достаточно.
Любопытно сопоставить с позицией проф. Успенского
http://a-bugaev.chat.ru/uspensky.html#t6
Современная математика имеет сложное строение, которое почти перестает быть обозримым. Доказательства некоторых теорем оказываются столь громоздкими, что надо иметь чрезвычайно большое желание, терпение и время, чтобы их проверить. О том, что надо иметь специальные знания, нечего и говорить - для ряда теорем не только изобретение их доказательств, но и проверка этих доказательств оказывается доступной лишь узкому кругу изощренных специалистов.
Иногда интересуются объемом доказательства той или иной теоремы. При этом обычно имеют в виду, что в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, установленные ранее. Будет ли такое рассуждение доказательством - т. е. убеждающим текстом - для того, кто не знаком с доказательствами этих «установленных ранее» теорем? Мы не беремся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим еще, что само слово «ранее» вносит дополнительный субъективный «релятивистский» момент (две почти одновременно доказанные теоремы могут по-разному хронологически упорядочиваться разными наблюдателями). Если же запретить ссылаться в доказательстве на какие бы то ни было ранее доказанные теоремы и восходить непосредственно к определениям и первичным, неопределяемым понятиям (о которых мы рассуждали в нашем первом размышлении), то такое полное доказательство может в ряде случаев простираться на тысячи страниц математического текста (и быть затруднительным для восприятия даже еще более, чем доказательство, опирающееся хотя бы и на неизвестные читателю, но ясно сформулированные факты).
Изучение трудных математических доказательств можно сравнить с альпинистским восхождением на вершину. Уровень моря соответствует начальным понятиям. Восхождение от уровня моря может занимать месяцы, а его математический аналог (понимание доказательства) - годы. В обоих случаях - много промежуточных остановок. Сперва добираются до общего высокогорного лагеря, в котором собираются альпинисты, направляющиеся на различные окрестные вершины. Этому этапу соответствует получение серьезной математической подготовки, достаточной для владения более специальными темами. Затем начинается движение к избранной вершине, опять-таки с промежуточными лагерями и остановками. Для математика роль этих лагерей и остановок играют, соответственно, теории и теоремы. Как альпинист может совершить за свою жизнь ограниченное число восхождений, так и математик - узнать ограниченное число доказательств.
Следующая общая для альпинизма и математики черта является существенной - известная условность в выборе точки отсчета. Собственно восхождение начинается не с уровня моря, а с точки, куда профессиональные альпинисты могут добраться как бы без труда, хотя для обычных людей попадание в эту точку может представить весьма большие трудности. Собственно доказательство начинается с аналогичной точки: эта точка расположена на некоем общекультурном (имеется в виду математическая культура) уровне. Впрочем, при современном состоянии математики общность приставки «обще-» непрерывно снижается, и ныне многие доказательства начинаются с точки, доступной лишь узким специалистам. Вторая общая черта - расчлененность на этапы, наличие достаточного числа промежуточных остановок.
Откуда же в математике берется убеждение, что доказанные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнает, действительно являются доказанными, т. е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеждение основано не на чем ином, как на доверии. Это положение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь для тех, кто его не видел, убеждение в том, что этот остров существует, также основано в конечном счете на доверии. Но если современное доказательство основано на доверии к авторитету, то в чем же его принципиальное отличие от древнеегипетского?
Ответ на этот непростой вопрос заключается, возможно, в том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явлений опыта коллективного. Тенденция к выдвижению на первый план коллективного вообще характерна для истории цивилизации. Хорошо известно (и много обсуждено), что с развитием человеческого общества возникает и неуклонно усиливается разделение и кооперация труда. Лишь в глубокой древности человек мог сам, лично производить все необходимое для себя: сейчас каждый вынужден пользоваться результатами труда других. Известно (хотя и в меньшей степени обсуждено), что одновременно происходит разделение и кооперация научных знаний. Трудно сказать, когда - по-видимому, в средние века - еще находились отдельные ученые, способные охватить всю доступную их современникам сумму знаний. Сейчас каждый вынужден так или иначе использовать знания других. Аналогично обстоит дело и с доказательствами: деятельность в сфере производства и потребления доказательств стала в такой же степени объектом разделения и кооперации, как и деятельность в сфере производства и потребления знаний. Само понятие убедительности начинает терять свой индивидуализированный оттенок и все больше приобретает характер «коллективной убедительности». По-видимому, следует постепенно приучаться говорить об убедительности не для отдельного индивидуума, а для некоторого научного коллектива. При этом коллективная убедительность отнюдь не означает равную «непосредственную убедительность» для каждого в отдельности члена коллектива. Коллектив выступает не как простая сумма членов, а как единое целое. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдется свой «отвечающий за нее» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие члены коллектива полагаются в данном вопросе на этого члена).
(Интересно, что мои неоднократные рекомендации статьи Успенского некоторым особо рьяным спорщикам успеха не имели - видимо, спорщики сами лучше знают)
Отклики с известного берега
http://trurle.livejournal.com/910268.html
http://posic.livejournal.com/396916.html
http://gr-s.livejournal.com/702400.htm
А вот ella_p хоть и с того же берега, но - с другим образованием.
И там уже идет разговор по существу
http://pigbig.livejournal.com/449647.html?thread=5927535&format=light#t5927535
http://pigbig.livejournal.com/449647.html
Формулировка математики с мировым именем проверяли верность решения и пришли к выводу, что оно правильное - полностью по Людвику Флеку, Бурдье и др.: "научная истина" является результатом консенсуса. Как "на самом деле", мы не знаем (нам неоткуда взять это знание), но мы делаем утверждение на основание таких-то соображений, и правильность наших выводов о том, как на самом деле, определяется через согласие значимых ("математики с мировым именем") акторов, т.е. экспертов, а это уже вопрос о власти.
Однако широко распространена или даже общепринята точка зрения, что ученые "открывают законы природы" (которые существуют именно как "законы", т.е. логические утверждения) и что они знают, правильно они открыли или нет: "это же очевидно", "можно провести эксепримент", "если работает на практике" "если есть повторяемость" и пр. Эти взгляды обычно поддерживаются естественниками или "технарями", хотя историков, доказывающих, что история - это "факт", достаточно.
Любопытно сопоставить с позицией проф. Успенского
http://a-bugaev.chat.ru/uspensky.html#t6
Современная математика имеет сложное строение, которое почти перестает быть обозримым. Доказательства некоторых теорем оказываются столь громоздкими, что надо иметь чрезвычайно большое желание, терпение и время, чтобы их проверить. О том, что надо иметь специальные знания, нечего и говорить - для ряда теорем не только изобретение их доказательств, но и проверка этих доказательств оказывается доступной лишь узкому кругу изощренных специалистов.
Иногда интересуются объемом доказательства той или иной теоремы. При этом обычно имеют в виду, что в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, установленные ранее. Будет ли такое рассуждение доказательством - т. е. убеждающим текстом - для того, кто не знаком с доказательствами этих «установленных ранее» теорем? Мы не беремся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим еще, что само слово «ранее» вносит дополнительный субъективный «релятивистский» момент (две почти одновременно доказанные теоремы могут по-разному хронологически упорядочиваться разными наблюдателями). Если же запретить ссылаться в доказательстве на какие бы то ни было ранее доказанные теоремы и восходить непосредственно к определениям и первичным, неопределяемым понятиям (о которых мы рассуждали в нашем первом размышлении), то такое полное доказательство может в ряде случаев простираться на тысячи страниц математического текста (и быть затруднительным для восприятия даже еще более, чем доказательство, опирающееся хотя бы и на неизвестные читателю, но ясно сформулированные факты).
Изучение трудных математических доказательств можно сравнить с альпинистским восхождением на вершину. Уровень моря соответствует начальным понятиям. Восхождение от уровня моря может занимать месяцы, а его математический аналог (понимание доказательства) - годы. В обоих случаях - много промежуточных остановок. Сперва добираются до общего высокогорного лагеря, в котором собираются альпинисты, направляющиеся на различные окрестные вершины. Этому этапу соответствует получение серьезной математической подготовки, достаточной для владения более специальными темами. Затем начинается движение к избранной вершине, опять-таки с промежуточными лагерями и остановками. Для математика роль этих лагерей и остановок играют, соответственно, теории и теоремы. Как альпинист может совершить за свою жизнь ограниченное число восхождений, так и математик - узнать ограниченное число доказательств.
Следующая общая для альпинизма и математики черта является существенной - известная условность в выборе точки отсчета. Собственно восхождение начинается не с уровня моря, а с точки, куда профессиональные альпинисты могут добраться как бы без труда, хотя для обычных людей попадание в эту точку может представить весьма большие трудности. Собственно доказательство начинается с аналогичной точки: эта точка расположена на некоем общекультурном (имеется в виду математическая культура) уровне. Впрочем, при современном состоянии математики общность приставки «обще-» непрерывно снижается, и ныне многие доказательства начинаются с точки, доступной лишь узким специалистам. Вторая общая черта - расчлененность на этапы, наличие достаточного числа промежуточных остановок.
Откуда же в математике берется убеждение, что доказанные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнает, действительно являются доказанными, т. е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеждение основано не на чем ином, как на доверии. Это положение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь для тех, кто его не видел, убеждение в том, что этот остров существует, также основано в конечном счете на доверии. Но если современное доказательство основано на доверии к авторитету, то в чем же его принципиальное отличие от древнеегипетского?
Ответ на этот непростой вопрос заключается, возможно, в том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явлений опыта коллективного. Тенденция к выдвижению на первый план коллективного вообще характерна для истории цивилизации. Хорошо известно (и много обсуждено), что с развитием человеческого общества возникает и неуклонно усиливается разделение и кооперация труда. Лишь в глубокой древности человек мог сам, лично производить все необходимое для себя: сейчас каждый вынужден пользоваться результатами труда других. Известно (хотя и в меньшей степени обсуждено), что одновременно происходит разделение и кооперация научных знаний. Трудно сказать, когда - по-видимому, в средние века - еще находились отдельные ученые, способные охватить всю доступную их современникам сумму знаний. Сейчас каждый вынужден так или иначе использовать знания других. Аналогично обстоит дело и с доказательствами: деятельность в сфере производства и потребления доказательств стала в такой же степени объектом разделения и кооперации, как и деятельность в сфере производства и потребления знаний. Само понятие убедительности начинает терять свой индивидуализированный оттенок и все больше приобретает характер «коллективной убедительности». По-видимому, следует постепенно приучаться говорить об убедительности не для отдельного индивидуума, а для некоторого научного коллектива. При этом коллективная убедительность отнюдь не означает равную «непосредственную убедительность» для каждого в отдельности члена коллектива. Коллектив выступает не как простая сумма членов, а как единое целое. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдется свой «отвечающий за нее» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие члены коллектива полагаются в данном вопросе на этого члена).
(Интересно, что мои неоднократные рекомендации статьи Успенского некоторым особо рьяным спорщикам успеха не имели - видимо, спорщики сами лучше знают)
Отклики с известного берега
http://trurle.livejournal.com/910268.html
http://posic.livejournal.com/396916.html
http://gr-s.livejournal.com/702400.htm
А вот ella_p хоть и с того же берега, но - с другим образованием.
И там уже идет разговор по существу
http://pigbig.livejournal.com/449647.html?thread=5927535&format=light#t5927535