Отдохни, знающий геометрию!
Cutting the losses
Цитата из свежего номера "Математического просвещения" (статья Алёши Сосинского про разные модели плоскости Лобачевского):
❝Читатель, возможно, удивился, что в этой статье, посвящённой геометрии Лобачевского, не сказано ни слова про аксиомы геометрии - евклидовой и неевклидовой. Это объясняется, во-первых, тем, что применение известных мне строгих (в современном смысле) изложений геометрии Лобачевского для доказательства содержательных теорем требует огромной предварительной работы (доказательства очень формализованных, скучных и не очень естественных утверждений).
Во-вторых, я считаю, что гениальную идею Евклида построения геометрии как дедуктивной системы - одно из высших достижений человеческого разума, идею, из которой в итоге возникло современное построение всей математики - сегодня скорее следует отнести к истории геометрии, а не к самой геометрии. Евклидова планиметрия - в наши дни лишь небольшая часть единой математики. Доказывать её теоремы на основании аксиом Гильберта крайне неудобно и непедагогично, проще это делать исходя из элементарной линейной алгебры. Однако и такой подход, особенно когда линейная алгебра и евклидово пространство изучаются в координатах, мне (как и большинству геометров) тоже не по душе. Именно поэтому в нашей статье рассматривался подход Клейна к построению геометрических теорий. Читатель мог убедиться на примерах моделей плоскости Лобачевского, что этот подход, по своей наглядности и строгости, наиболее близок сердцу истинного геометра.❞
На самом деле вопрос, конечно, существенно более глубокий. В сегодняшней школьной математике слова "теорема", "лемма", "доказательство" относятся почти исключительно к синтетической геометрии в духе Евклида. При этом те же формулы Виета, выражающие коэффициенты многочлена в виде симметрических функций его корней, болтаются в неопределённом статусе (а верно ли это для многочленов степени выше второй?).
При этом сама евклидова геометрия, на которую до сих пор тратят чудовищное количество времени в школьном курсе, давно выродилась в нечто типа древнегреческого языка, который преподавали в классических гимназиях. Синтетические доказательства (например, про доли, в которых биссектриса делит сторону, на которую падает, или пересечение срединных перпендикуляров в одной точке) зазубриваются и никак в дальнейшем не используются. Построения циркулем и линейкой - вообще нечто непостижимое (что это? зачем?). Единственное, что хоть как-то осталось в школьной геометрии - это "решение треугольников": дана какая-то конфигурация из отрезков и окружностей на плоскости, известны какие-то длины и углы, найти какие-то дополнительные элементы. Задачи, в которых конфигурация не жёсткая (неединственным образом определяется известными данными), а ответ тем не менее оказывается единственным - редки, как алмазы, и обычно вызывают оцепенение.
Это положение не случайно. После работ Римана и Гаусса под словом "геометрия" мы уже давно понимаем совершенно другую науку, с другим языком, другим кругом задач, другими приложениями. Никаких "чертежей" в классическом смысле слова, которыми изобиловали трактаты Ньютона, Эйлера, Лежандра, ... вплоть до "современных" школьных учебников в геометрии не осталось.
Это не значит, что вообще никакой геометрии не нужно. Школьника нельзя выпускать на волю, если он не знает, что такое прямая, окружность, угол, плоскость, если не знает, что такое прямой угол (и как это связано с касанием к окружности), что такое параллельные прямые. Теорему Пифагора и формулу косинусов тоже, конечно, надо оставить, равно как и формулы для длин, площадей и объёмов. Такой "белый" список займёт ещё пару строк, но и всё. Рассуждения оставить самые простейшие, все доказательства "с дополнительными построениями", рыдая, я бы выкинул (ну, может, за исключением самых-самых). Геометрические преобразования (движения, подобия, симметрии) - разбирал бы, пока ужинать не позовут.
Собственно, такая смена вех всего лишь убрала бы из жилой комнаты ребёнка прабабушкину горку, на которой на кружевных салфетках стоят прекрасные фаянсовые статуэтки столетней давности. А слово "теорема" я бы стал, ничтоже сумняшеся, применять к тем же формулам Виета в случае многочлена произвольной степени.