Новооткрытая апория Зенона.
Новооткрытая апория Зенона
Есть такой публицист и рыцарь свободы инсоровского типа, Николай Вардуль. Недавно он открыл новую апорию Зенона, которая дает хороший повод отметить важную черту старой апории. Открытие было сделано им в "Новой газете" ( http://www.novayagazeta.ru/data/2011/081/01.html ):
"Меня, однако, такой довод не убеждает. Он слишком похож на парадоксы Зенона. Древний философ утверждал, что стрела Ахиллеса никогда не убьет черепаху, как бы точно и быстро ни летела стрела и как бы медленно ни ползла черепаха, потому что в каждый данный момент времени расстояние между ними, сокращаясь, все равно остается. Это был толчок для развития математики, но черепахе Зенон не помог - она точно была убита".
Это изложение чарующе сливает воедино два совершенно разных парадокса Зенона - о летящей-покоящейся стреле и о том, догонит ли Ахиллес черепаху. У Зенона Ахиллес по черепахе не стрелял... (и никакого толчка математике упражнения 6-5 века до н.э. на темы о бесконечной делимости не дали). Важнее, однако, другой гэг Вардуля (из коего видно, что он вообще не понимает, о чем говорит): по его мнению, Зенон считал, что "в каждый данный момент времени расстояние между ними (Ахиллесом и черепахой), сокращаясь, все равно остается". Да то-то и оно, что не в КАЖДЫЙ ДАННЫЙ! Если Ахиллес бежит со скоростью 1000 стадиев в час, и в момент х отделен от черепахи, проползающей 1 стадий в час, расстоянием в 1000 стадиев, то в момент "через полтора часа от х" Ахиллес эту черепаху давно перегонит, что у Зенона, что не у Зенона. В том вся и прелесть, что Зенон заранее берет только те моменты, в которые Ахиллес всё еще остается ЗА черепахой, а вовсе не все. Как выглядит его рассуждение? "Возьмем момент х, в котором между Ахиллесом и черепахой расстояние а. Пусть Ахиллес пройдет все это расстояние; но за это время черепаха сдвинется на еще какое-то расстояние b, и к тому моменту, как Ахиллес пройдет все расстояние а, между ним и черепахой останется это расстояние b. Пусть Ахиллес пройдет все это расстояние b; но за это время черепаха сдвинется еще на какое-то расстояние с, и к тому моменту, как Ахиллес пройдет все расстояние b, между ним и черепахой останется расстояние c - и так до бесконечности; хотя b меньше а, с меньше b, и так далее, все эти расстояния ненулевые; итак, Ахиллес никогда не сведет расстояние между собой и черепахой к нулю".
На самом деле это ложный парадокс, поскольку он рассматривает только те моменты времени, когда Ахиллес остается ЗА черепахой, а вовсе не всякий момент времени. Каждый отрезок рассуждения начинается с того момента, когда Ахиллес все еще за спиной у черепахи и кончается тем моментом, когда он заведомо все еще остается за спиной у черепахи; иными словами, рассматриваются только те моменты, когда он покрывает лишь часть расстояния, отделяющего его на этот момент от черепахи, и констатируется, что ни в один из этих моментов он черепахи не догонит = что пока эти ситуации будут повторяться, он черепахи не догонит (это-то чистая правда), а повторяться-де они будут "бесконечно" (весь смысл апории в построении этого "бесконечного" ряда повторения таких ситуаций, и именно в этом пункте ее ложность, о чем ниже). Никакого парадокса здесь на самом деле не выходит, а выходит чистая тавтология: "Пока Ахиллес остается за спиной у черепахи, он не нагонит черепаху; пока Ахиллес догоняет черепаху, он никогда не догонит черепаху"," - и в самом деле, кто бы сомневался. Зенону кажется, что принципиально здесь именно то, что отрезков его рассуждения = отрезков "нагоняния" Ахиллесом черепахи - оказывается бесконечно много (это тоже чистая правда), а это кажется ему априори-равносильным тому, что и время, потраченное им на такое нагоняние, будет бесконечным - и рассуждение его можно было бы переформулировать таким образом (при котором, однако, ошибочность рассуждения современному глазу видна сразу, как, впрочем, и нефилософскому древнегреческому глазу): "Расстояние, которое пройдет Ахиллес, прежде чем догонит черепаху, как и время, которое он на это потратит, можно бесконечно делить на ненулевые отрезки; но бесконечность ненулевых отрезков - очевидно, бесконечна; следовательно, Ахиллес никогда не пройдет это бесконечное расстояние, так как ему на это потребовалось бы бесконечное время".
Это обычный сбой греческой философии: уверенность в том, что сумма бесконечного количества ненулевых отрезков сама должна быть самоочевидным образом бесконечна. В самом деле, на уровне дорационального, так сказать, "самочевидного" соотношения человеческих понятий и их ассоциаций так и получается; скажи неподготовленному человеку, что сумма бесконечного числа ненулевых положительных слагаемых должна быть бесконечна, и он найдет (т.е. найдет на уровне непосредственного восприятия наложения и связи словесных смыслов!), что это самоочевидно так, и никакой противоречивости тут не ощутит. Но греческая философия и строилась на том, что естественное соотношение и сцепление невыдуманных индивидуальным разумом понятий в наших головах точно соответствует соотношению реальных вещей, передаваемых этими понятиями, и, стало быть, что если непосредственное умозрение, обращающееся на некую словесную формулировку, не дает сигнала "противоречие!", а дает сигнал "ну да, натурально", то эта формулировка передает объективную истину, даже если следствия из нее противоречат всему опыту глаз и рук. Мы опираемся на эмпирический опыт, философия - на соотношение и сцепление словесных смыслов в нашей голове, считая, что это еще более приоритетный опыт, отражающий реальность более достоверно, чем органы чувств - ведь ни понятия, ни ощущения ассоциаций и оппозиций понятий и смыслов никто на коленке не придумывал, а между тем в головах у нас они есть; стало быть, они прямо отражают реальность, как зеркало.
Поэтому в наших школах так и учат в 4-м классе, что да, дорогие товарищи, точка имеет нулевую площадь и нулевую длину, а разные бесконечные множества таких точек тем не менее имеют разные, и при этом вполне конечные площади и длины. Каждый отрезок состоит из бесконечного числа точек нулевой длины, а длина у каждого, тем не менее, конечная и своя. Непротиворечиво представить это на уровне непосредственного умовосприятия невозможно - ну и черт с ним, таковы дефекты нашего непосредственного умовосприятия, оно не священная корова. Мы не оперируем в быту бесконечными количествами чего бы то ни было, мы не оперируем с точками нулевой размерности (их и вовсе в природе нет) и потому наше интуитивное восприятие смыслов, связанных с бесконечным делением и т.д. будет давать сбои. И потому на уроках математики в школе понятие "расстояние" вводится как "фундаментальное понятие", не могущее быть объясненным и
строго определенным через нечто иное / непротиворечиво умозрительно помышленным и не нуждающееся в этом. Это, так сказать, прививка от парадоксов Зеноновского типа. Сталкиваясь потом с геометрической прогрессией, имеющей предел - то есть именно с суммой бесконечного числа ненулевых слагаемых, которая при этом отлично укладывается в конечные рамки (догоняние Ахиллесом черепахи - как раз один из таких примеров, слагаемые прогрессии при этом - отрезки времени, которые он тратит на прохождение выделяемых Зенономом отрезков расстояния а, b, c..., или сами эти отрезки) - школьник ничуть не удивляется тому, что вот как это так - бесконечная сумма ненулевых слагаемых, а сама не только не бесконечна, а даже до предела своего дойти никогда не сможет. Точнее, удивляется - на том самом уровне интуитивно-непосредственного восприятия соотношения смыслов (здесь происходит возмущение, ощущение парадокса из-за столкновения понятий "сумма бесконечного числа ненулевых положительных слагаемых" и "конечность суммы"), но знает, что так и надо. А Зенон на его месте решил бы, что что-то тут не так, и на самом деле эта сумма бесконечна - а понятие предела ложно.
Бедный малограмотный Вардуль и не подозревает, каких важных вещей коснулся, сооружая свои сапоги всмятку на темы Зеноновых парадоксов. Впрочем, у него та заслуга, что он намного перекрыл латынинскую стрелку осциллографа и почти достиг оригинальной трактовки понятия "пантомима" в недавнем стихотворном фельетоне Быкова (в той же "Новой газете"), где сказано:
"Духовной жаждой обуян, в пустыне мрачной я влачился, и шестиногий таракан на перепутье мне явился. Я был измучен, гол и бос, страдал от жара, тихо бредил, - мне представлялся как бы Босх, осуществлялся типа Брейгель. В моих ушах гремел «Пророк», звуча размеренно и строго. Пред тараканом брел сурок, крича: «Идет посланник Бога!». Я замер, ужасом томим, при виде этой пантомимы. Ты ждал, что будет серафим? Теперь такие серафимы!"
Итак, когда сурок/сурков идет и кричит ("Идет посланник Бога"), - это в терминологии Быкова пантомима. Это несколько сильнее Вардуля.
Есть такой публицист и рыцарь свободы инсоровского типа, Николай Вардуль. Недавно он открыл новую апорию Зенона, которая дает хороший повод отметить важную черту старой апории. Открытие было сделано им в "Новой газете" ( http://www.novayagazeta.ru/data/2011/081/01.html ):
"Меня, однако, такой довод не убеждает. Он слишком похож на парадоксы Зенона. Древний философ утверждал, что стрела Ахиллеса никогда не убьет черепаху, как бы точно и быстро ни летела стрела и как бы медленно ни ползла черепаха, потому что в каждый данный момент времени расстояние между ними, сокращаясь, все равно остается. Это был толчок для развития математики, но черепахе Зенон не помог - она точно была убита".
Это изложение чарующе сливает воедино два совершенно разных парадокса Зенона - о летящей-покоящейся стреле и о том, догонит ли Ахиллес черепаху. У Зенона Ахиллес по черепахе не стрелял... (и никакого толчка математике упражнения 6-5 века до н.э. на темы о бесконечной делимости не дали). Важнее, однако, другой гэг Вардуля (из коего видно, что он вообще не понимает, о чем говорит): по его мнению, Зенон считал, что "в каждый данный момент времени расстояние между ними (Ахиллесом и черепахой), сокращаясь, все равно остается". Да то-то и оно, что не в КАЖДЫЙ ДАННЫЙ! Если Ахиллес бежит со скоростью 1000 стадиев в час, и в момент х отделен от черепахи, проползающей 1 стадий в час, расстоянием в 1000 стадиев, то в момент "через полтора часа от х" Ахиллес эту черепаху давно перегонит, что у Зенона, что не у Зенона. В том вся и прелесть, что Зенон заранее берет только те моменты, в которые Ахиллес всё еще остается ЗА черепахой, а вовсе не все. Как выглядит его рассуждение? "Возьмем момент х, в котором между Ахиллесом и черепахой расстояние а. Пусть Ахиллес пройдет все это расстояние; но за это время черепаха сдвинется на еще какое-то расстояние b, и к тому моменту, как Ахиллес пройдет все расстояние а, между ним и черепахой останется это расстояние b. Пусть Ахиллес пройдет все это расстояние b; но за это время черепаха сдвинется еще на какое-то расстояние с, и к тому моменту, как Ахиллес пройдет все расстояние b, между ним и черепахой останется расстояние c - и так до бесконечности; хотя b меньше а, с меньше b, и так далее, все эти расстояния ненулевые; итак, Ахиллес никогда не сведет расстояние между собой и черепахой к нулю".
На самом деле это ложный парадокс, поскольку он рассматривает только те моменты времени, когда Ахиллес остается ЗА черепахой, а вовсе не всякий момент времени. Каждый отрезок рассуждения начинается с того момента, когда Ахиллес все еще за спиной у черепахи и кончается тем моментом, когда он заведомо все еще остается за спиной у черепахи; иными словами, рассматриваются только те моменты, когда он покрывает лишь часть расстояния, отделяющего его на этот момент от черепахи, и констатируется, что ни в один из этих моментов он черепахи не догонит = что пока эти ситуации будут повторяться, он черепахи не догонит (это-то чистая правда), а повторяться-де они будут "бесконечно" (весь смысл апории в построении этого "бесконечного" ряда повторения таких ситуаций, и именно в этом пункте ее ложность, о чем ниже). Никакого парадокса здесь на самом деле не выходит, а выходит чистая тавтология: "Пока Ахиллес остается за спиной у черепахи, он не нагонит черепаху; пока Ахиллес догоняет черепаху, он никогда не догонит черепаху"," - и в самом деле, кто бы сомневался. Зенону кажется, что принципиально здесь именно то, что отрезков его рассуждения = отрезков "нагоняния" Ахиллесом черепахи - оказывается бесконечно много (это тоже чистая правда), а это кажется ему априори-равносильным тому, что и время, потраченное им на такое нагоняние, будет бесконечным - и рассуждение его можно было бы переформулировать таким образом (при котором, однако, ошибочность рассуждения современному глазу видна сразу, как, впрочем, и нефилософскому древнегреческому глазу): "Расстояние, которое пройдет Ахиллес, прежде чем догонит черепаху, как и время, которое он на это потратит, можно бесконечно делить на ненулевые отрезки; но бесконечность ненулевых отрезков - очевидно, бесконечна; следовательно, Ахиллес никогда не пройдет это бесконечное расстояние, так как ему на это потребовалось бы бесконечное время".
Это обычный сбой греческой философии: уверенность в том, что сумма бесконечного количества ненулевых отрезков сама должна быть самоочевидным образом бесконечна. В самом деле, на уровне дорационального, так сказать, "самочевидного" соотношения человеческих понятий и их ассоциаций так и получается; скажи неподготовленному человеку, что сумма бесконечного числа ненулевых положительных слагаемых должна быть бесконечна, и он найдет (т.е. найдет на уровне непосредственного восприятия наложения и связи словесных смыслов!), что это самоочевидно так, и никакой противоречивости тут не ощутит. Но греческая философия и строилась на том, что естественное соотношение и сцепление невыдуманных индивидуальным разумом понятий в наших головах точно соответствует соотношению реальных вещей, передаваемых этими понятиями, и, стало быть, что если непосредственное умозрение, обращающееся на некую словесную формулировку, не дает сигнала "противоречие!", а дает сигнал "ну да, натурально", то эта формулировка передает объективную истину, даже если следствия из нее противоречат всему опыту глаз и рук. Мы опираемся на эмпирический опыт, философия - на соотношение и сцепление словесных смыслов в нашей голове, считая, что это еще более приоритетный опыт, отражающий реальность более достоверно, чем органы чувств - ведь ни понятия, ни ощущения ассоциаций и оппозиций понятий и смыслов никто на коленке не придумывал, а между тем в головах у нас они есть; стало быть, они прямо отражают реальность, как зеркало.
Поэтому в наших школах так и учат в 4-м классе, что да, дорогие товарищи, точка имеет нулевую площадь и нулевую длину, а разные бесконечные множества таких точек тем не менее имеют разные, и при этом вполне конечные площади и длины. Каждый отрезок состоит из бесконечного числа точек нулевой длины, а длина у каждого, тем не менее, конечная и своя. Непротиворечиво представить это на уровне непосредственного умовосприятия невозможно - ну и черт с ним, таковы дефекты нашего непосредственного умовосприятия, оно не священная корова. Мы не оперируем в быту бесконечными количествами чего бы то ни было, мы не оперируем с точками нулевой размерности (их и вовсе в природе нет) и потому наше интуитивное восприятие смыслов, связанных с бесконечным делением и т.д. будет давать сбои. И потому на уроках математики в школе понятие "расстояние" вводится как "фундаментальное понятие", не могущее быть объясненным и
строго определенным через нечто иное / непротиворечиво умозрительно помышленным и не нуждающееся в этом. Это, так сказать, прививка от парадоксов Зеноновского типа. Сталкиваясь потом с геометрической прогрессией, имеющей предел - то есть именно с суммой бесконечного числа ненулевых слагаемых, которая при этом отлично укладывается в конечные рамки (догоняние Ахиллесом черепахи - как раз один из таких примеров, слагаемые прогрессии при этом - отрезки времени, которые он тратит на прохождение выделяемых Зенономом отрезков расстояния а, b, c..., или сами эти отрезки) - школьник ничуть не удивляется тому, что вот как это так - бесконечная сумма ненулевых слагаемых, а сама не только не бесконечна, а даже до предела своего дойти никогда не сможет. Точнее, удивляется - на том самом уровне интуитивно-непосредственного восприятия соотношения смыслов (здесь происходит возмущение, ощущение парадокса из-за столкновения понятий "сумма бесконечного числа ненулевых положительных слагаемых" и "конечность суммы"), но знает, что так и надо. А Зенон на его месте решил бы, что что-то тут не так, и на самом деле эта сумма бесконечна - а понятие предела ложно.
Бедный малограмотный Вардуль и не подозревает, каких важных вещей коснулся, сооружая свои сапоги всмятку на темы Зеноновых парадоксов. Впрочем, у него та заслуга, что он намного перекрыл латынинскую стрелку осциллографа и почти достиг оригинальной трактовки понятия "пантомима" в недавнем стихотворном фельетоне Быкова (в той же "Новой газете"), где сказано:
"Духовной жаждой обуян, в пустыне мрачной я влачился, и шестиногий таракан на перепутье мне явился. Я был измучен, гол и бос, страдал от жара, тихо бредил, - мне представлялся как бы Босх, осуществлялся типа Брейгель. В моих ушах гремел «Пророк», звуча размеренно и строго. Пред тараканом брел сурок, крича: «Идет посланник Бога!». Я замер, ужасом томим, при виде этой пантомимы. Ты ждал, что будет серафим? Теперь такие серафимы!"
Итак, когда сурок/сурков идет и кричит ("Идет посланник Бога"), - это в терминологии Быкова пантомима. Это несколько сильнее Вардуля.